福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的. 1. (5 分)命题“若 a>b,则 a﹣1>b﹣1”的否命题是() A.若 a>b,则 a﹣1≤b﹣1 B. 若 a>b,则 a﹣1<b﹣1 C. 若 a≤b,则 a﹣1≤b﹣1 D.若 a<b,则 a﹣1<b﹣1 2. (5 分)已知点 A(﹣3,1,﹣4) ,则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为() A.(﹣3,﹣1,4) B.(﹣3,﹣1,﹣4) C. (3,1,4) D. (3, ﹣1,﹣4) 3. (5 分)若椭圆经过点 P(2,3) ,且焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,则这个椭圆的离心 率等于() A. B. C. D.

4. (5 分)“p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. ( 5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 为棱 AB 与 AD 的中点,则异面直线 MN 与 BD1 所成角的余弦值是() A. B. C. D.

6. (5 分)设双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过点 F2 的直线交

双曲线右支于不同的两点 M、N.若△ MNF1 为正三角形,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.

7. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的余弦值为()

A.

B.
2

C.

D.

8. (5 分)已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax﹣a>0 的解集是 R,q:﹣1<a<0,则 p 是 q 的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 9. (5 分)已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,﹣1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ∞,﹣2 +∞) )∪(2 ,+∞) B.(﹣∞,﹣ D. )∪( ,+∞) C. (﹣ )∪( ,
2

(﹣∞,﹣

10. (5 分)给定空间中的直线 l 及平面 α,条件“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的()条件. A.充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D.既非充分又非必要 11. (5 分)“x≠2 或 y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的() A.必要而不充分条件 B. 充分而不要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 12. (5 分)过抛物线 y=ax (a>0)的焦点 F 作一条斜率不为 0 的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AF、BF 的长分别为 m、n,则 A. B. 等于() C.2a D.
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 13. (4 分)已知 =(2,﹣1,2) , =(﹣4,2,x) ,且 ∥ ,则 x=.

14. (4 分)若 m>0,点 P(m, )在双曲线 离为. 15. (4 分)“x>1”是“x >x”的条件.
2



=1 上,则点 P 到该双曲线左焦点的距

16. (4 分)已知抛物线 y=2x 上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2= ﹣ ,那么 m 的值为.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (12 分)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC (1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值.

18. (12 分)已知椭圆

过点

,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过 定点 ,求 k 的取值范围.

19. (12 分)如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

20. (12 分)已知一动圆 M,恒过点 F(1,0) ,且总与直线 l:x=﹣1 相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,当 y1y2=﹣16 时,直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由. 21. (12 分)如图,已知点 H 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 B1D1 上,∠HDA=60°. (Ⅰ)求 DH 与 CC1 所成角的大小; (Ⅱ)求 DH 与平面 A1BD 所成角的正弦值.

22. (14 分)已知椭圆 C: 距离为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值.

,求△ AOB 面积

福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的.

1. (5 分)命题“若 a>b,则 a﹣1>b﹣1”的否命题是() A.若 a>b,则 a﹣1≤b﹣1 B. 若 a>b,则 a﹣1<b﹣1 C. 若 a≤b,则 a﹣1≤b﹣1 D.若 a<b,则 a﹣1<b﹣1 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的否命题是“若¬p,则¬q”,直接写出它的否命题. 解答: 解:命题“若 a>b,则 a﹣1>b﹣1”的否命题是 “若 a≤b,则 a﹣1≤b﹣1”. 故选:C. 点评: 本题考查了命题与它的否命题之间的关系,解题时应熟悉四种命题之间的关系,是 基础题. 2. (5 分)已知点 A(﹣3,1,﹣4) ,则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为() A.(﹣3,﹣1,4) B.(﹣3,﹣1,﹣4) C. (3,1,4) D. (3, ﹣1,﹣4) 考点: 空间向量的概念. 分析: 根据在空间直角坐标系中关于 x 轴对称的点的坐标是横标不变,纵标和竖标变为原 来的相反数,写出点 A 关于 x 轴对称的点的坐标. 解答: 解:∵在空间直角坐标系中关于 x 轴对称的点的坐标横标不变,纵标和竖标变为原 来的相反数, ∵点 A(﹣3,1,﹣4) , ∴关于 x 轴对称的点的坐标是(﹣3,﹣1,4) , 故选 A. 点评: 本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点,关于三个坐标轴对称的点的坐标特 点,关于三个坐标平面对称的坐标特点,我们一定要掌握,这是一个基础题. 3. (5 分)若椭圆经过点 P(2,3) ,且焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,则这个椭圆的离心 率等于() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先设出椭圆方程,根据椭圆过的定点坐标和椭圆的焦点坐标,即可求出椭圆方程, 得到 a 的值,再根据焦点坐标求出 c 的值,利用椭圆的离心率 e= 求出椭圆的离心率.
2

解答: 解:∵椭圆焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,∴设椭圆方程为 >0) 又∵椭圆经过点 P(2,3) ,∴

(a ﹣4

解得,a =16 或 a =1, 2 2 ∵a ﹣4>0,∴a =16∴a=4, ∵焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,∴c=2 ∴e= = 故选 C 点评: 本题主要考查椭圆标准方程的求法和离心率的求法.属于椭圆的常规题. 4. (5 分)“p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 分析: “p 或 q 为假命题”p 和 q 都是假命题,而非 P 是真命题表示 P 是一个假命题,前者可 以推出后者,后者不一定能推出前者. 解答: 解:“p 或 q 为假命题”表示 p 和 q 都是假命题, 而非 P 是真命题表示 P 是一个假命题, 前者可以推出后者,后者不一定能推出前者, ∴前者是后者的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,本题解题的关键是理解命题真假 的判断中真值表的应用,本题是一个基础题. 5. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 为棱 AB 与 AD 的中点,则异面直线 MN 与 BD1 所成角的余弦值是() A. B. C. D.

2

2

考点: 异面直线及其所成的角. 分析: 求异面直线所成的角,可以做适当的平移,把异面直线转化为相交直线,然后在相 关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角. 平移时主要是根据中位线和中点条件, 或者 是特殊的四边形,三角形等. 解答: 解:连接 BD,∵MN∥BD, ∴异面直线 MN 与 BD1 所成的角即为直线 BD 与 BD1 所成的角:∠D1BD ∵在 Rt△ D1DB 中,设 D1D=1,则 DB= ,D1B= ∴cos∠D1BD= ∴异面直线 MN 与 BD1 所成的角的余弦值为 故选 D.

点评: 本小题考查空间中的线面关系,异面直线所成的角、解三角形等基础知识,考查空 间想象能力和思维能力.

6. (5 分)设双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过点 F2 的直线交

双曲线右支于不同的两点 M、N.若△ MNF1 为正三角形,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题中所给条件可知 M,N 关于 x 轴对称,|NF2|= 正三角形,得到( )× ,|F1F2|=2c,根据△ MNF1 为

=2c,整理此方程可得双曲线的离心率.

解答: 解:由题意可知,M,N 关于 x 轴对称, ∴|NF2|= ,|F1F2|=2c,

∵△MNF1 为正三角形, 结合双曲线的定义,得到 MF1=MF2+2a, ∴( ∴
2

×2)×
2

=2c,

(c +a )=4ac,
2

两边同除以 a ,得到

,解得 e=

或 e=

<1(舍去) ;

故选 B. 点评: 本题考查了双曲线的离心率,关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质,找 出几何量 a,c 之间的关系,解题时要注意双曲线的离心率要大于 1.

7. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 A1C1 交 B1D1 于点 O,连接 BO,在长方体中由 AB=BC=2,可得 CO1⊥B1D1, 由长方体的性质可证有 OC1⊥BB1,且 由直线与平面垂直的判定定理可得 OC1⊥平面 BB1D1D,则∠C1BO 为则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 在 Rt△ BOC1 中,可求 解答: 解:连接 A1C1 交 B1D1 于点 O,连接 BO 由 AB=BC=2,可得 A1B1C1D1 为正方形即 CO1⊥B1D1 由长方体的性质可知 BB1⊥面 A1B1C1D1,从而有 OC1⊥BB1,且 BB1∩B1D1=B1 ∴OC1⊥平面 BB1D1D 则∠C1BO 为则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 在 Rt△ BOC1 中,

∴ 故选 C.

点评: 本题以长方体为基本模型,考查了直线与平面所成角的秋季解,解决本题的关键是 熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线,进而找出线面角,然后在直角三角形中求解角.

8. (5 分)已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax﹣a>0 的解集是 R,q:﹣1<a<0,则 p 是 q 的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,由关于 x 的不等式 x +2ax﹣a>0 的解集是 R,我们易得对应方的判别式△ 小于 0,由此可构造一个关于 a 的不等 式,解不等式即可得到 a 的取值范围,与命题 q 中的 a 的范围比较后,结合“谁小谁充分,谁 大谁必要”的原则,即可得到答案. 2 解答: 解:依题意得△ =4a +4a<0,解得﹣1<a<0, 即 p:﹣1<a<0, 又因为 q:﹣1<a<0, 所以 p 是 q 的充分必要条件. 故选 C 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分 条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假 命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 9. (5 分)已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,﹣1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ∞,﹣2 +∞) )∪(2 ,+∞) B.(﹣∞,﹣ D. )∪( ,+∞) C. (﹣ )∪( ,
2 2

2

(﹣∞,﹣

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 设过 A 的直线方程,与抛物线方程联立,根据判别式求得 k,求得过 A 的抛物线的 切线与 y=3 的交点,则当过点 A(0,﹣1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,进 而求得 t 的范围. 解答: 解:如图,设过 A 的直线方程为 y=kx﹣1,与抛物线方程联立得 x ﹣ kx+ =0, △ = k ﹣2=0,k=±2
2 2

,求得过 A 的抛物线的切线与 y=3 的交点为(±

,3) ,

则当过点 A(0,﹣1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点, 实数 t 的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) , 故选 D.

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个 公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题, 此时 要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 10. (5 分)给定空间中的直线 l 及平面 α,条件“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的()条件. A.充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D.既非充分又非必要 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 由垂直的定义, 我们易得“直线 l 与平面 α 垂直”?“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂 直”为真命题,反之,“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”?“直线 l 与平面 α 垂直”却不一定 成立,根据充要条件的定义,即可得到结论. 解答: 解:直线与平面 α 内的无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面 α 垂直; 即“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”?“直线 l 与平面 α 垂直”为假命题; 但直线 l 与平面 α 垂直时,l 与平面 α 内的每一条直线都垂直, 即“直线 l 与平面 α 垂直”?“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”为真命题; 故“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的必要非充分条件 故选 C 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分 条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假 命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 11. (5 分)“x≠2 或 y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的() A.必要而不充分条件 B. 充分而不要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 结合充分必要条件的定义进行判断,从而得到结论. 解答: 解:∵x≠2 或 y≠﹣2 能推出 xy≠﹣4,是充分条件, xy≠﹣4 推不出 x≠﹣2 或 y≠﹣2,不是必要条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,是一道基础题.

12. (5 分)过抛物线 y=ax (a>0)的焦点 F 作一条斜率不为 0 的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AF、BF 的长分别为 m、n,则 A. B. 等于() C.2a D.

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程,设过 F 的直线方程,与抛物线方程联 立,整理后,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)根据韦达定理可求得 x1x2 的值,又根据抛物线定义 可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1 代入答案可得. 解答: 解:易知 F 坐标(0, 设过 F 点直线方程为 y=kx+ 代入抛物线方程,得 ax ﹣kx﹣ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则有 x1x2= ,x1+x2= , ∴y1+y2=k(x1+x2)+ y1y2= = , = ,
2

)准线方程为 x=﹣

.÷

=0.

根据抛物线性质可知,m=y1+ ,n=y2+ ∴m+n=y1+y2+ = mn= , +

=





=

=

故选 B. 点评: 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义.对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系, 常用抛物线的定义来解决. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 13. (4 分)已知 =(2,﹣1,2) , =(﹣4,2,x) ,且 ∥ ,则 x=.

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 计算题. 分析: 利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等,列出方程求出 x 的值. 解答: 解:∵ ∥ , ∴2×2=﹣2×x ∴x=﹣4. 故答案为:﹣4 点评: 解决向量共线问题,一般利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘的积相等找解决 的思路.

14. (4 分)若 m>0,点 P(m, )在双曲线 离为 .



=1 上,则点 P 到该双曲线左焦点的距

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 把点 P(m, )代入双曲线 出. 解答: 解:∵m>0,点 P(m, )在双曲线 ﹣ =1 上, ﹣ =1 可得 m,再利用两点之间的距离公式即可得

∴ ∴P

=1,解得 m=3. .

双曲线的左焦点 F(﹣3,0) , ∴点 P 到该双曲线左焦点的距离= 故答案为: . = .

点评: 本题考查了点与双曲线的关系、两点之间的距离公式,属于基础题. 15. (4 分)“x>1”是“x >x”的充分不必要条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 由题意把 x >x,解出来得 x>1 或 x<0,然后根据命题 x>1 与命题 x>1 或 x<0, 是否能互推,再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:∵x >x,
2

∴x>1 或 x<0, ∴x>1?x >x, 2 ∴x>1 是 x >x 充分不必要, 故答案为充分不必要. 点评: 此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基础题. 16. (4 分)已知抛物线 y=2x 上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2= ﹣ ,那么 m 的值为 .
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先假设出直线 AB 的方程为 y=﹣x+b, 然后代入到抛物线方程中消去 y 得到两根之和、 两根之积,再由 x1x2=﹣ 可求出 b 的值从而确定直线 AB 的方程,再设 AB 的中点坐标 M, 根据 A,B,M 坐标之间的关系可得 M 的坐标,然后代入到直线 y=x+m 求出 m 的值. 解答: 解:设直线 AB 的方程为 y=﹣x+b,代入 y=2x 得 2x +x﹣b=0, ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= =﹣ .
2 2

∴b=1,即 AB 的方程为 y=﹣x+1. 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x0= =﹣ ,代入 y0=﹣x0+1,

得 y0= .又 M(﹣ , )在 y=x+m 上, ∴ =﹣ +m.∴m= . 点评: 本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题,解决该题的关键是充分利用对称条 件.属中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (12 分)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC (1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题. 分析: (1) 以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 , (2)由 , ,同理得平面 BDE 的法向量为 ,由向量法能证明 A1C⊥平面 BED. ,得到平面 A1DE 的法向量 ,由向量法能求 ,

出二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值. 解答: 解: (1)如图,以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A1(2,0,4) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,0) ,E(0,2,1) , ∵ , ∴ , , , , ,

∴A1C⊥平面 BED (2)∵ 设平面 A1DE 的法向量为 由 及 , , , ,

得﹣2x+2y﹣3z=0,﹣2x﹣4z=0, 取 同理得平面 BDE 的法向量为 ,

∴cos<

>=

=

=﹣



所以二面角 A1﹣DE﹣B 的余弦值为



点评: 本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值,解题时要认真审题,仔细解 答,注意向量法的灵活运用.

18. (12 分)已知椭圆

过点

,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过 定点 ,求 k 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ) 由题意知椭圆的离心率 在椭圆上,由此能导出椭圆的方程.
2 2 2

, 故椭圆方程为

, 又点

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由

,消去 y 并整理得(3+4k )x +8kmx+4m

﹣12=0,由直线 y=kx+m 与椭圆有两个交点,知 m <4k +3.又 中点 P 的坐标为 ,由此能求出 k 的范围. ∴a=2c∴b =a ﹣c =3c
2 2 2 2

2

2

,知 MN

解答: 解: (Ⅰ)由题意椭圆的离心率∴

∴椭圆方程为

又点

在椭圆上∴

∴c =1

2

∴椭圆的方程为

…(4 分)

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)由
2 2 2

消去 y 并整理得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0…(6 分) 2 2 2 2 2 ∵直线 y=kx+m 与椭圆有 两个交点△ =(8km) ﹣4(3+4k ) (4m ﹣12)>0,即 m <4k +3… (8 分) 又 ∴MN 中点 P 的坐标为 …(9 分)

设 MN 的垂直平分线 l'方程: ∵p 在 l'上∴ ∴ …(11 分) 即 4k +8km+3=0
2

将上式代入得 ∴ 即 或 ,∴k 的取值范围为

点评: 本题考查椭圆方程和 k 的取值范围,解题时要认真审题,仔细解答,注意椭圆的灵 活运用,合理地进行等价转化. 19. (12 分)如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角.

分析: (I)欲证 AO⊥平面 BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AO 与平面 BCD 内两相交直线垂直,而 CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,满足定理; (II)设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.在△ ACD 中,CA=CD=2,AD= ,故 S△ ACD= = ,由 AO=1,知 S△ CDE= = ,由此能求出点 E

到平面 ACD 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:连接 OC, ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△ AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= . 而 AC=2, 2 2 2 ∴AO +CO =AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵BD∩OC=O, ∴AO⊥平面 BCD (Ⅱ)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. ∵VE﹣ACD=VA﹣CDE, ∴ 在△ ACD 中,CA=CD=2,AD= ∴S△ ACD= ∵AO=1,S△ CDE= ∴h= , . = , , = ,

∴点 E 到平面 ACD 的距离为

点评: 本小题主要考查直线与平面的位置关系以及点到平面的距离基本知识,考查空间想 象能力、逻辑思维能力和运算能力. 20. (12 分)已知一动圆 M,恒过点 F(1,0) ,且总与直线 l:x=﹣1 相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,当 y1y2=﹣16 时,直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;恒过定点的直线;轨迹方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)因为动圆 M,过点 F(1,0)且与直线 l:x=﹣1 相切,所以圆心 M 到 F 的距 离等于到直线 l 的距离.由此能得到所求的轨迹方程. (2)假设存在 A,B 在 y =4x 上,所以,直线 AB 的方程:
2



令 y=0,得 x=4,所以,无论 y1,y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) . 解答: 解: (1)因为动圆 M,过点 F(1,0)且与直线 l:x=﹣1 相切,所以圆心 M 到 F 的 距离等于到直线 l 的距离. 所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y =4x(5 分) 2 (2)假设存在 A,B 在 y =4x 上, 所以, 直线 AB 的方程: , 即
2

,p=2,

(7 分) 即 AB 的方程为: 即: (y1+y2)y+(16﹣4x)=0, (10 分) 令 y=0,得 x=4, 所以,无论 y1,y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) (12 分) 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用. 21. (12 分)如图,已知点 H 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 B1D1 上,∠HDA=60°. (Ⅰ)求 DH 与 CC1 所成角的大小; (Ⅱ)求 DH 与平面 A1BD 所成角的正弦值. ,即(y1+y2)y﹣y1 ﹣y1y2=4x﹣y1
2 2

考点: 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 专题: 综合题;空间角. 分析: (Ⅰ)建立空间直角坐标系,设 H(m,m,1) (m>0) ,求出 的夹角公式可求 DH 与 CC′所成角的大小; 、 ,利用向量

(Ⅱ)求出平面 A1BD 的法向量,利用向量的夹角公式,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)建立如图所示的坐标系,设 H(m,m,1) (m>0) , 则 则 =(1,0,0) , =(0,0,1) ,连接 BD,B1D1.

=(m,m,1) (m>0) , , , , >=60°,∴可得 2m= ,1) , >= , ,解得 m= ,

由已知< ∴ =(

∴cos< ∴< ,

>=45°,即 DH 与 CC′所成角的大小为 45°;

(Ⅱ)设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z) ,则 令 x=1 得 =(1,﹣1,﹣1)是平面 A1BD 的一个法向量.…(9 分) 设 DH 与平面 A1BD 所成的角为 θ, ∴sinθ=cos< , >=﹣ .…(12 分

点评: 本题考查向量知识的运用,考查空间角,正确运用向量的夹角公式是关键.

22. (14 分)已知椭圆 C: 距离为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右焦点的

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值.

,求△ AOB 面积

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,依题意求出 a,b 的值,从而得到所求椭圆的方程. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, . (2)当 AB 与 x 轴不垂 直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m.

由已知
2 2

,得

.把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)

2

x +6kmx+3m ﹣3=0,然后由根与系数的关系进行求解. 解答: 解: (Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 c, 依题意 ∴b=1, ∴所求椭圆方程为 .

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知 ,得
2


2 2

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0, ∴ , .

∴|AB| =(1+k ) (x2﹣x1) =

2

2

2

=

=

=

=



当且仅当

,即

时等号成立.当 k=0 时,



综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△ AOB 面积取最大值



点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,认真审题,仔细 解答.


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