贵州省铜仁市2016_2017学年高一数学下学期期中试题

2016—2017 学年高一第二学期半期考试 数 学 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-12 题,共 60 分,第Ⅱ 卷为 13-22 题,共 90 分.全卷共计 150 分.考试时间为 120 分钟. 第Ⅰ卷(本卷共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.不等式 ? 3x ? 1??1 ? 2 x ? ? 0 的解集是( )

1 1 1 1 1 B. {x | ? ? x ? } C. { x | x ? } D. {x | x ? ? } 2 3 2 2 3 2.在 ??? C 中,角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,且 A ? 30? , B ? 15? , a ? 3 ,则 c 的
A. {x | x ? ? 或x ? }
值为( )

1 3

A. 6

B.

3 2

C. 3 3

D. 3 2


3.设 M ? 2a(a ? 2) ? 4, N ? (a ? 1)(a ? 3) ,则 M , N 的大小关系为(

A. M ? N

B. M ? N

C. M ? N

D.不能确定


4.已知 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 7) , an ? f (n) ,则 ?an ? 的第五项为(

A.3

B.4

C.5
2

D.6
2 2

5.在 ??? C 中,角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? a ? b ? ab ,则角 C= (

)

A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3


6.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? a3 ? ? a7 ? (

A. 14

B. 21
)

C. 28

D. 35

7.下列不等式一定成立的是( A. x ?
2

1 ? x ( x ? 0) 4

B. sin x ? D.
2

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 x ( x ? R)
2

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

8.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,且 b =ac,则△ABC 的形状是(



A.等边三角形

B. 直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

1

9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? A. 2 ?

1 ,则 an =( n(n ? 1)
C. 1 ?

) D. 2 ?

1 n ?1
2

B.

1 n

1 n

1 n


10. 不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A. ( ? ? ,2)

B. (﹣2,2]

C.[﹣2,2]

D. ( ? ? ,﹣2)


11.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是(

A.14

B.16

C.18

D.20

12 . 已 知 m, n 是 满 足 m ? n ? 1 , 且 使

1 9 ? 取 得 最 小 值 的 正 实 数 , 若 函 数 y ? x? 过 点 m n

? 2 ? P ? m, n ? ,则 ? 的值为( ? 3 ?
A. 3 B. 2



C.

1 2

D. ?1

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为________. 14.在 ?ABC 中,若 A ? 120 ? ,AB=5,BC=7,则 ?ABC 的面积 S=________.

?2 x ? y ? 2 ? 15.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ,目标函数 z=x+2y,则 z 的取值范围为________. ? y ? ?1 ?
16. 两 个 等 差 数 列 {an } 和 {bn } , 其 前 n 项 和 分 别 为 S n , Tn , 且 ________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 17(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a sin C ? 3c cos A ? 0 . (1)求角 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 18. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次不等式 ax +x+b>0 的解集为( ? ? ,﹣2)∪(1, ? ? ) .
2

S n 7n ? 2 a ? a 20 等于 ? ,则 2 Tn n?3 b7 ? b15

2

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)求不等式 ax ﹣(c+b)x+bc<0 的解集. 19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn ;数列 ?an ? 为等差数列,且 a5 ? 10 , a7 ? 14 . (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c n ?
2

1 a n bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和. 求 Tn . 4

20. (本小题满分 12 分) 如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 6 海里,渔船乙以 5 海里/小 时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.

21 . (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 10 ? 2log 3 an , 求 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)设 cn ? ? log 3 an ? ,求证:
2

1 1 1 1 7 ? ? ??? ? . c1 c2 c3 cn 4

22. (本小题满分 10 分) 选修 4﹣5:不等式选讲
3

(1)解不 等式|2x+1|﹣|x﹣4|>2; (2)已知: a ? 0, b ? 0 ,求证:

a b ? ? a ? b. b a

2016—2017 学年高一第二学期半期考试 数学参考答案 一.选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

B

D

A

C

D

C

C

A

D

B

B

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 15 14.

15 3 4

15. ? ? , 6 ? ? 2 ?

? 3

?

16.

149 24

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 17 解: (1)sinAsinC﹣ ∴sinA﹣

sinCcosA=0,∵ C 为三角形的内角,∴sinC≠0,
,则 A= ; ,

cosA=0,整理得:tanA=

(2)∵a=2,sinA= ∴ bcsinA=

,cosA= ,△ABC 的面积为 ,即 bc=4①;
2 2 2 2

bc=
2

∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12, 整理得:b+c=4②,联立①②解得:b=c=2. 18 解: (Ⅰ)由题意知﹣2 和 1 是方程 ax +x+b=0 的两个根,
2

2

2

由根与系数的关系,得

,解得



(Ⅱ)由 a=1、b=﹣2, 不等式可化为 x ﹣(c﹣2)x﹣2c<0, 即(x+2) (x﹣c)<0; 所以,①当 c=﹣2 时,不等式为(x+2) <0,它的解集为 ? ;
2

2

②当 c>﹣2 时,不等式的解集为(﹣2,c) ;
4

②当 c<﹣2 时,不等式的解集为(c, ﹣2) . 19.解: (1)数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 可得 an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n 由 bn ? 2-2Sn ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2S1 ,又 S1 ? b1 ,所以 b1 ?

a7 ? a5 ? 2, 2

2 . 3

当 n ? 2 时,由 bn ? 2-2Sn ,可得 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn . 即 所以 ?bn ? 是以 b1 ? (2) c n ? ∴ Tn ?

bn 1 = . bn-1 3

2 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn ? 2 ? n . 3 3 3

1 1 2 n a n bn ? ? 2n ? n ? n 4 4 3 3

1 1 1 1 ? 2? 2 ? 3? 3 ??? n ? n 3 3 3 3 1? 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 2 3 3 3 3

1 Tn ? 3


2 1 1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? n ?1 . 3 3 3 3 3 3

?

1? 1 ?1 ? n 2? 3

n 1 2n ? 3 1 ? , ? ? n ?1 ? ? 2 6 3n ? 3

从而 Tn ?

3 2n ? 3 1 3 3 1 n ? ? n .(写成 Tn ? ? ? n ? 也可) 4 4 4 4 3 3 2 ? 3n

20、解: (1)依题意,∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10,∠BCA=α . 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC =AB +AC ﹣2AB×AC×cos∠BAC =6 +10 ﹣2×6×10×cos120°=196. 解得 BC=14,所以渔船甲的速度为
2 2 2 2 2

BC ? 7 海里/小时. 2

答:渔船甲的速度为 7 海里/小时. (2)在△ABC 中,因为 AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α , 由正弦定理,得 .

即 sin ? ?

AB sin 120 ? ? BC

6?

3 2 ?3 3. 14 14

5

答:sinα 的值为 21. (本小题 12 分)



2 3 2 解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4
2

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列 ?an ? 的通项式为 an=

1 。 3n

(2) bn ? 10 ? 2log3 an ? 10 ? 2n

? ?n2 ? 9n, n ? 5 Sn ? ? 2 ?n ? 9n ? 40, n ? 5
2 (3) cn ? ? log 3 an ? ? n , 则 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 ? 2 ??? 2 c1 c2 c3 cn 1 2 n ? 1 1 ?1 1 1 1 1 1? 7 1 7 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? 2 1 2 ?2 3 2 3 n ?1 n ? 4 n 4

21、 解: (1)解:由不等式|2x+1|﹣|x﹣4|>2 可得 ① ,或 ② ,或③ .

解①得 x<﹣7,解②得 4>x> ,解③得 x≥4. 故不等式的解集为 {x|x<﹣7,或 x> }. (2)证明:∵ a ? 0, b ? 0



a b

?

b a

? a? b ?

a a ?b b ?a b ?b a ab ?0

?

(a ? b) a ? (b ? a) b ab


?

( a ? b )2 ( a ? b ) ab

a b ? ? a ? b. b a

6


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