高中数学解题思路大全:利用相关点法巧解对称问题

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利用相关点法巧解对称问题
尤新建

对称问题在高考试题中经常出现,常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新, 情境不断变化,甚至不落俗套,但经研究可以发现,其解法的普遍规律还是可以归纳总结 的。笔者认为,图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称,因此,抓住对称点之间 的数量关系及其内在联系,可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开 研究是解决对称问题的有效方法,亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。 一. 函数中的对称问题 例 1 (2001 年高考)设 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对 称。证明 y ? f ( x ) 是周期函数。 证明:设(x,y)为 y ? f ( x ) 图象上任意一点,则其关于 x ? 1 的对称点可求得:

(2 ? x , y ) ,于是根据函数关系有: y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ,又因为 y ? f ( x ) 是定义在 R 上
的偶函数,故有: f ( x ) ? f ( ? x ) ,因此结合上式有: f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (2 ? x ) ,故由

f ( ? x ) ? f ( ? x ? 2) 知: y ? f ( x ) 是周期函数, T ? 2 。
例 2 (1997 年高考文)设 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则函数 y ? f ( x ? 1) 与

f ? f (1 ? x ) 的图象关于(
A. 直线 y ? 0 对称 C. 直线 y ? 1 对称



B. 直线 x ? 0 对称 D. 直线 x ? 1 对称

解:可设(x1,y)为 y ? f ( x ? 1) 上任意一点,则有 y ? f ( x1 ? 1) ; 若(x2,y)为 y ? f (1 ? x ) 上一点,也有 y ? f (1 ? x 2 ) ,一般地,由

f ( x1 ? 1) ? f (1 ? x 2 ) 可知: x1 ? 1 ? 1 ? x 2 ,所以
y)关于直线 x ? 1 对称,故选(D)。

x1 ? x 2 ? 1 ,即(x1,y)与(x2, 2

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评注: 例 1 是一个函数图象本身内在对称问题, 例 2 是两个函数图象之间的对称问题, 尽管问题情境不同,但解法有相通之处,均可抓住对称点(即相关点)加以讨论。 二. 三角函数中的对称问题 例 3 (2003 年高考江苏卷)已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 是 R 上 的偶函数, 其图象关于点 M (

3? ? ?? 且在区间 ?0, ? 上是单调函数, 求 ?和? 的值。 , 0) 对称, 4 ? 2?

解:由 f ( x ) 是偶函数,得 f ( ? x ) ? f ( x ) 即 sin( ??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ) 所以 ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意 x 都成立,且 ? ? 0 ,所以得

cos? ? 0
依题设 0 ? ? ? ? ,所以解得 ? ?

?
2

,这时 f ( x ) ? sin(?x ?

?
2

)

由 y ? f ( x ) 的图象关于点 M 对称,可设 P(x,y)是其图象上任意一点,P 点关于

M(

3? 3? , 0) 的对称点可求得为: ( ? x , ? y ) 4 2
即有 y ? f ( x ) ? ? f (

3? ? x ) ,(*) 2 3? ? 3? ? ) ,所以, sin ? ? sin( ? ? ) ? 1 2 2 2 2

取 x=0,得 f (0) ? ? f ( 所以 sin( 所以 ? ?

3? ? ? ? ) ? ?1 2 2 2 (2 k ? 1), k ? 1,2,3... 3

当 k ? 1 时, ? ?

2 2 ? ? ?? , f ( x ) ? sin( x ? ) 在 ?0, ? 上是减函数; 3 3 2 ? 2?

当 k ? 2 时, ? ? 2, f ( x ) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) 在 ?0, ? 上是减函数; 2 ? 2?

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当 k ? 2 时, ? ?

10 ? ? ?? , f ( x ) ? sin(?x ? ) 在 ?0, ? 上不是单调函数; 3 2 ? 2?
2 或? ? 2 3

所以,综合得 ? ?

评注:本题是三角函数中含有中心对称问题,抓住对称点之间的中心对称关系,利用 中点坐标公式求出对称点(或称相关点),寻求两相关点(对称点)之间的函数等量关系 (见*)是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题 例 4 (1998 年高考理)设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别 平行移动 t、s 单位长度后得曲线 C1 (I)写出曲线 C1 的方程; (II)证明曲线 C 与 C1 关于 A( , ) 点对称; (I)解:曲线 C1 的方程为:

t s 2 2

y ? (x ? t)3 ? (x ? t) ? s
(II)证明:在曲线 C 上任取一点 B1(x1,y1)。设 B2(x2,y2)是 B1 关于点 A 的对称 点,则有:

x1 ? x 2 t y1 ? y 2 s ? , ? 2 2 2 2
所以 x1 ? t ? x 2 , y1 ? s ? y 2 代入曲线 C 的方程,得 x2 和 y2 满足方程:

s ? y 2 ? (t ? x 2 ) 3 ? (t ? x 2 ) 即y 2 ? ( x 2 ? t ) 3 ? ( x 2 ? t ) ? s
可知点 B2 ( x 2 , y 2 ) 在曲线 C1 上 反过来,同样可以证明,在曲线 C1 上的点关于点 A 的对称点在曲线 C 上。因此,曲 线 C 与 C1 关于点 A 对称。

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例 5 (1997 年高考文) 椭圆 C 与椭圆 C1: 对称,椭圆 C 的方程是( )

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 9 4

A.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9

B.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 C. ? ?1 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 D. ? ?1 4 9

解:设(x,y)是椭圆 C 上任意一点,则其关于直线 x ? y ? 0 的对称点可求得为

( ? y , ? x ) ,该点在椭圆 C1 上,故其坐标适合椭圆 C1 的方程,将其代入有:
( ? y ? 3) 2 ( ? x ? 2) 2 ? ? 1 ,化简后知选 A。 9 4
从以上几个方面的研究可以发现,相关点法是解决数学对称问题的有效方法,因为它 抓住了图象对称的基本元素(即图象上点与点之间的一一对应的对称关系)和核心,并且 将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外,相关点法在解决几何中才 被得以提出并加以运用于解决对称问题,这一点从例 4,例 5 可以感觉到,实际上,函数 及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的,因此,相关点法完全可以加以推广, 实行方法共享。 哈尔滨师范大学(150080)

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