数学建模小论文 正弦函数与气温曲线图

数学建模小论文·正弦型函数与气温变化曲线
原问题:
从教材上的一道习题(人教 B 版必修四 P71—7)谈起 如图所示 , 某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y 低温度)和最大值(最高温度).

=

Asin ωx + φ + b,其中 A>0,且函数在 6 时与 14 时分别取得最小值(最
(一)对原题的解答【对应作业 2.1】 由图像可直接得到: 最低温度为 10℃,在 6h 时达到,最高气温为 30℃,在 14h 时达到; 这段时间的最大温差为 30-10=20℃.T(周期)=16h. 根据y = Asin ωx + φ + b,A=10,b=20; 又ω = 2π/T,解得ω = π/8. 由 x=10 时为中心对称点得 2 πk = π ? 10 + φ 8

解得φ = 3/4 ? π 故,此图象拟合为正弦型函数后表达式为 = / ? + / ? + (二)日气温变化规律与其科学依据【对应作业中 2.1&2.2】
北京每小时天气预报(12-06 及 12-07)

12-06

00:00 2℃ 09:00 0℃ 18:00 6℃

01:00 1℃ 10:00 3℃ 19:00 5℃ 01:00

02:00 0℃ 11:00 5℃ 20:00 4℃ 02:00

03:00 -1℃ 12:00 8℃ 21:00 4℃ 03:00

04:00 -1℃ 13:00 9℃ 22:00 3℃ 04:00

05:00 -2℃ 14:00 11℃ 23:00 2℃ 05:00

06:00 -2℃ 15:00 10℃

07:00 -3℃ 16:00 8℃

08:00 -2℃ 17:00 6℃

12-07

00:00

06:00

07:00

08:00

1℃ 09:00 2℃ 18:00 4℃ 散点图象:

1℃ 10:00 4℃ 19:00 3℃

0℃ 11:00 6℃ 20:00 2℃

0℃ 12:00 8℃ 21:00 1℃

-1℃ 13:00 9℃ 22:00 0℃

-2℃ 14:00 10℃ 23:00 -1℃

-2℃ 15:00 9℃

-1℃ 16:00 7℃

1℃ 17:00 5℃

拟合曲线方程: y = 7 sin 拟合图: π ? x ? 8.8 + 4 12

图像分析与科学依据: 图像可得每日的最高温出现在 14:00,不是 12:00;最低温出现在 6:00 附近(日出前)。 天气的冷热,主要决定于空气温度的高低,而影响空气温度的主要因素,是由太阳辐射 强度所决定的。但是,太阳光热并不是直接使气温升高的主要原因。空气直接吸收阳光的热 能总共只有 14%左右,而有 43%左右被地面吸收了。当地面吸收了太阳的辐射热量之后, 再通过辐射、对流等形式向空气中传导,这是气温升高的主要原因。 太阳光照射到地面上,晒热了地面,地面吸收的热再释放出去烘热空气,所以地面受热 以后,还需要一段时间,才能使气温升高。在中午以后,地面放出的热量,仍少于太阳供给 的热量.直到下午二、三点钟,地面温度才能升到最高,气温也才是最高。 同理, 太阳下山后, 失去了阳光热的供应, 因此, 开始不断散失热量, 气流也就不断降低, 到了凌晨,这时地面温度降到最低值,所以气温在此时为最低。

这也是每日气温变化并不十分对称,也就不能与正弦型函数十分契合。 (三)月平均气温变化和月极端气温变化规律【对应作业中的 2.2&2.3】
北京各月份天气(2012 年)

月份 平均高温 极高温度 平均低温 极低温度 月份 平均高温

1 1℃ 4℃ -8℃ -13℃ 7 31℃

2 4℃ 8℃ -6℃ -12℃ 8 30℃

3 11℃ 21℃ 1℃ -6℃ 9 26℃

4 21℃ 28℃ 11℃ 0℃ 10 21℃

5 29℃ 34℃ 17℃ 12℃ 11 9℃

6 30℃ 38℃ 20℃ 15℃ 12 -1℃

极高温度 平均低温 极低温度

36℃ 23℃ 19℃

35℃ 22℃ 16℃

30℃ 15℃ 10℃

27℃ 8℃ 1℃

15℃ -1℃ -7℃

3℃ -8℃ -15℃

平均高温 平均值 高低差 17.7 32

极高温度 23.3 35

平均低温 7.8 31

极低温度 1.7 34

散点图象: (将 2012 年的数据进行两次平移以便进行函数图象拟合)

拟合曲线方程: 极高温度 y = 18 sin 平均高温 y = 16 sin 平均低温 y = 17 sin 极低温度 y = 17 sin 拟合图:
π 6 π 6 π 6

? x ? 2 + 22

? x ? 2 + 16.5 ? x ? 2 + 7.5 ?x?2 +1

π 6

图像分析: 1 月各项温度指标最低,7 月各项温度指标最高,而对于北半球海洋气候的地区,最高 气温出现在 8 月,低温在 2 月。这是由于水的比热容比陆地大,陆地升温和降温都比海洋 大且幅度也更大。 另外, 也并未了解到具体的理论依据以证明极高温度的变化幅度最大的原因, 我认为这 是更大的随机性所导致的,当年的情况并不能延伸到各年之中,不具真正的普适性。 也可以发现,平均高温与极高温度之差和平均低温与极低温度之差是相近的。

经验总结: 关于如何快速将各月气温(包括平均高低和极高低温四者)拟合入正弦型函数中,有以下想法. ①由于气温变化的周期为 1 年,所以y = Asin ωx + φ + b中的角速度可确定为 .
6 π

②根据经验发现,φ值总等于-2 时正弦型函数的平移位置较准确. ③y = Asin ωx + φ + b中, A 值常常近似约等于:(高低差)/2 b 值常常等于各月温度的平均值


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