高二数学数列练习题含答案

















1. S n

与 an

的关系:an

?

??S1 ? ?? Sn

?

(n Sn?1

? 1) (n ? 1)

,已知 S n 求 an ,应分 n ? 1时 a1 ?

两步,最后考虑 a1 是否满足后面的 an .
2.等差等比数列

;n ? 2时,an =

等差数列
定义 an ? an?1 ? d ( n ? 2 )

等比数列

通项 an ? a1 ? (n ?1)d , an ? am ? (n ? m)d , (n ? m)



如果 a, A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与

中项 项. A ? a ? b 。 2
等差中项的设法:

b 的等比中项. 等比中项的设法: a , a , aq
q

前n 项和

Sn

?

n 2

(a1

? an )

, Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N*, m ? n ? p ? q) 若

性 2m ? p ? q ,则


若 m ? n ? p ? q ,则

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列

函数 看数 列

(1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N * ) 为一个常数;

判定 方法

(2)等差中项:证明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N * ,n ? 2) (3)通项公式: an ? kn ? b(k, b 为常数)( n ? N* )

(4) sn ? An2 ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N* )

(1)定义法:证明 an?1 (n ? N * ) 为一个常数 an
(2)中项:证明 an2 ? an?1 ?an?1(n ? N *, n ? 2)
(3)通项公式: an ? cqn (c, q 均是不为 0 常
数)
( 4 ) sn ? Aqn ?A ( A, q 为 常 数 ,
A ? 0,q ? 0,1)

3.数列通项公式求法。(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法

(3)累乘法( an?1 an

?

cn 型);(4)利用公式 an

?

??S1 ?

??Sn

(n ? 1) ? Sn?1 (n ? 1) ;(5)构造法( an?1

?

k an

? b 型)

(6) 倒数法 等

4.数列求和

(1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。

? ? 5. Sn 的最值问题:在等差数列 an 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:??

(1)当 a1

? 0, d

?

0

?时,满足

???aa

m ?0 m?1 ?

0

??

的项数 m 使得 S m 取最大值.

(2)当?

a1

?

0, d

?

0

时,满足

???aa

m ?0 m?1 ?

0

?的项数

m

使得

Sm

取最小值。

也可以直接表示 Sn ,利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想
的应用。

6.数列的实际应用

现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题,常

考虑用数列的知识来解决.

训练题

一、选择题

1.已知等差数列?an? 的前三项依次为 a ?1、 a ?1 、 2a ? 3,则 2011 是这个数列的 ( B )

A.第 1006 项

B.第 1007 项

C. 第 1008 项

D. 第 1009 项

2.在等比数列{an } 中, a 6 ?a5 ? a7 ? a5 ? 48 ,则 S10 等于

(A )

A.1023

B.1024

C.511

D.512

3.若{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d=

()

A.-2 B.-12

1 C.2

D.2

由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4=a5+a3,∴2d=a7-a5=-1,即 d=-12.故选 B.

4.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为(

A.180

B.-180

C.90

D.-90

A)

5.(2010 青岛市)已知 ?an ?为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A )

A. ? 1 2

B. ? 3 2

C. 1 2

D. 3 2

6.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则aa1291的值为

A.9

B.1

C.2

D.3

()

解析 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11=a57=243,所以得 a7=3,又aa1921=aa7a1111=a7,故选 D.

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a5=12S5,且 a9=20,则 S11=(

)

A.260

B.220

C.130

D.110

解析 ∵S5=a1+2 a5×5,又∵12S5=a1+a5,∴a1+a5=0.∴a3=0,∴S11=a1+2 a11×11=

a3+2 a9×11=0+220×11=110,故选 D.

8 各项均不为零的等差数列{an}中,若 an2-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则 S2 009 等于

A.0

B.2

C.2 009

D.4 018

解析 各项均不为零的等差数列{an},由于 an2-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则 a2n-2an

=0,an=2,S2 009=4 018,故选 D.

9.数列{an}是等比数列且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于

A.5

B.10

C.15

D.20

解析 由于 a2a4=a23,a4a6=a25,所以 a2·a4+2a3·a5+a4·a6=a23+2a3a5+a25=(a3+a5)2=25.

所以 a3+a5=±5.又 an>0,所以 a3+a5=5.所以选 A.

10. 首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}中,a3,a4,a6 是一个等比数列的前三项,则这个等

比数列的第四项是

()

A.8

B.-8

C.-6

D.不确定

答案 B

解析 a24=a3·a6?(1+3d)2=(1+2d)·(1+5d)

?d(d+1)=0?d=-1,∴a3=-1,a4=-2,∴q=2.

∴a6=a4·q=-4,第四项为 a6·q=-8.

11.在△ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 1 为第三项,9 为第六项 3

的等比数列的公比,则这个三角形是(B )

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.等腰三角形

D.非等腰的直角三角形

12、(2009 澄海)记等差数列 ?an ?的前项和为 sn ,若 s3 ? s10 ,且公差不为 0,则当 sn 取最大值时,n ?( )C

A.4 或 5

B.5 或 6

C.6 或 7

D.7 或 8

13.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 S2 011=-2 011,a1 007=3,则 S2 012 的值为

A.1 006

B.-2 012

C.2 012

D.-1 006

答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题意可得,

即???aa11++11

005d=-1, 006d=3,

解得???ad1==4-. 4 021,

所以,S2

012=2

012a1+2

012×?2 2

012-1? d

=2 012×(-4 021)+2 012×2 011×2

=2 012×(4 022-4 021)=2012.

方法二



S2

011=2

011?a1+a2 2

011?=2

011a1

006=-2

011,

解得 a1 006=-1,则

S2

012=2

012?a1+a2 2

012?=2

012?a1

006+a1 2

007?=2

012×?2-1+3?=2

012.

14.设函数 f(x)满足 f(n+1)=2f?n2?+n(n∈N*),且 f(1)=2,则 f(20)=( B )

A.95

B.97

C.105

D.192

?f?20?=f?19?+129,

解析

?? f(n+1)=f(n)+n2,∴

f?19?=f?18?+128, ……

??f?2?=f?1?+12.

累加,得 f(20)=f(1)+(12+22+…+129)=f(1)+19×4 20=97.

15.已知数列?an ?的前 n 项和 S n 满足 log ( 2 Sn ? 1) ? n ? 1,则通项公式为(B )

A. an ? 2n (n ? N * )

B.

an

?

?3 ??2 n

(n ? 1) (n ? 2)

C. an ? 2n?1 (n ? N * )

D. 以上都不正确

16.一种细胞每 3 分钟分裂一次,一个分裂成两个,如果把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时充满

该容器,如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的时间为 ( D )

A.15 分钟

B.30 分钟

C.45 分钟 D.57 分钟

二、填空题

1、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4=

8.

2.(2008·广东理,2)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= 1 ,S4=20,则 S6=
2

. 48

3..(2010 广州一模).在等比数列?an? 中, a1 ? 1,公比 q ? 2 ,若 an ? 64 ,则 n 的值为

.7

4.(2008·海南、宁夏理,4)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 S4 =
a2

. 15
2

5.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若TSnn=3n2+n 1,则ab110000=________.

答案

199 299

解析

a1+a199 ab110000=b1+2b199=TS119999=129999
2

6、数列?an? 的前 n 项和记为 Sn, a1 ?1, an?1 ? 2Sn ?1?n ?1? 则?an? 的通项公式
? ? ? ? 解:(Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ?1 可得 an ? 2Sn?1 ?1 n ? 2 ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an, an?1 ? 3an n ? 2
? ? 又 a2 ? 2S1 ?1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 an 是首项为1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1
7.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an·an+1·an+2>19的 最大正整数 n 的值为________.答案 4
解析 设等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,依题意得 a23=a2·a4=4.又 a3>0,因此 a3= a1q2=2,a1+a2=a1+a1q=12,由此解得 q=12,a1=8,an=8×(12)n-1=24-n,an·an+1·an+2=29 -3n.由于 2-3=18>19,因此要使 29-3n>19,只要 9-3n≥-3,即 n≤4,于是满足 an·an+1·an+2>19的 最大正整数 n 的值为 4. 8.等比数列{an}的首项为 a1=1,前 n 项和为 Sn,若SS150=3312,则公比 q 等于________. 答案 -12 解析 因为SS150=3312,所以S10S-5 S5=31-3232=-312,即 q5=(-12)5,所以 q=-12.
三、解答题 1(2010 山东理数)(18)(本小题满分 12 分)

已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an? 的前 n 项和为 Sn .

? ? (Ⅰ)求 an 及 Sn ;

(Ⅱ)令

bn=

1 an2 ?

1

(n?

N*),求数列

bn

的前 n 项和 Tn .

1【解析】(Ⅰ)设等差数列?an? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? ??2a1 ?10d

7 ?

26

,解得

a1

?

3,d

?

2



所以 an

?

3 ? (2 n

? 1)=2n+1 ;

Sn

= 3n+

n(n-1) 2

?2

= n2 +2n



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

2n+1

,所以

bn=

an

1 2?

1

=

1

(2n+1)

2

= ?1

1? 1 4 n(n+1)

= 1?( 1 - 1 ), 4 n n+1

所以

Tn

=

1 4

?

(1-

1 2

+

1 2

?

1 3

+

+ 1 - 1 ) = 1 ? (1- 1 )= n , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列

?bn?

的前

n

项和

Tn

=

n 4(n+1)



2.(全国新课标理 17)

已知等比数列{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{1} (I)求数列{an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和.

2

解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为

q,由 a32

?

9a2a6

得 a33

?

9a42

q2
所以

?

1 9

.由条件可知

q
c>0,故

?

1 3





2a1

?

3a2

?1得

2a1

?

3a2q

? 1,所以

a1

?

1 3



1 故数列{an}的通项式为 an= 3n .

? ?(1? 2 ? ... ? n) n(n ?1)
(Ⅱ?) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an ? ? 2

1 ? ? 2 ? ?2(1 ? 1 ) 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2((1? 1) ? (1 ? 1) ? ... ? (1 ? 1 )) ? ? 2n

故 bn n(n ?1)

n n ?1 b1 b2

bn

2 23

n n ?1 n ?1

1 { 所以数列 bn

}

的前

n

项和为

?

2n n ?1

3. (本小题满分 12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,

且 a1+a2=2(a11+a12),a3+a4+a5=64(a13+a14+a15). (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+a1n)2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析 (1)设{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1. 由已知,有

??a1+a1q=2???a11+a11q???, ???a1q2+a1q3+a1q4=64???a11q2+a11q3+a11q4???,

化简,得???aa2121qq=6=26,4.

又 a1>0,故 q=2,a1=1.

所以 an=2n-1.

(2)由(1)知,bn=???an+a1n???2=an2+a12n+2=4n-1+4n1-1+2.

因此,Tn=(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+4n1-1)+2n=11--44n+11--4114n+2n=13(4n-41-n)+2n+1.

4.(山东省济南市 2011)

已知{an}为等比数列, a1 ? 1, a5 ? 256 ; Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和, b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 .

(1) 求{an} 和{bn}的通项公式;(2) 设Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,求Tn .

解:(1) 设{an}的公比为 q,由 a5=a1q4 得 q=4

所以 an=4n-1.设{ bn }的公差为 d,由 5S5=2 S8 得 5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d),

d

?

3 2

a1

?

3 2

?

2

?

3

,

所以 bn=b1+(n-1)d=3n-1.(2) Tn=1·2+4·5+42·8+…+4n-1(3n-1),① 4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),② ②-①得:3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)

=2+(3n-2)·4n∴Tn=(n-

2 3

)4n+

2 3

5.(2013 广东理)

设数列?an? 的前

n

项和为

Sn

.已知

a1

?

1,

2Sn n

?

an?1

?

1 3

n2

?

n

?

2 3

,

n

?

N*

.

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列?an? 的通项公式;

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? 1 ? 7 .

a1 a2

an 4

【解析】(Ⅰ)

依题意, 2S1

? a2

?

1 3

?

1

?

2 3

,又

S1

?

a1

? 1,所以 a2

?4;

(Ⅱ)

当 n ? 2 时, 2Sn

?

nan?1

?

1 3

n3

?

n2

?2n, 3

? ? 两式相减得 2an

?

nan?1

?

?

n

?1?

an

?

1 3

3n2 ? 3n ?1

? ?2n ?1? ? 2
3

整理得 ?n ?1? an

? nan?1 ? n?n ?1? ,即

an?1 ? n ?1

an n

? 1,又

a2 2

?

a1 1

?1

故数列

? ? ?

an n

? ?

是首项为

?

a1 1

? 1,公差为1的等差数列,

所以 an n

? 1? ?n ?1??1 ?

n ,所以 an

?

n2 .

(Ⅲ) 当 n ?1时, 1 ? 1 ? 7 ;当 n ? 2 时, 1 ? 1 ? 1? 1 ? 5 ? 7 ;

a1

4

a1 a2

444

当 n ? 3 时, 1 an

?

1 n2

?

1
?n ?1? n

?

1 ?1 n ?1 n

,此时

综上,对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? 1 ? 7 .

a1 a2

an 4

? ? 6.(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列

an

的前 n

项和为

Sn

,满足 4Sn

?

a2 n?1

?

4n

?1,

n?

N ?,



a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列?an? 的通项公式;

(3) 证明:对一切正整数 n ,有 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 .

a1a2 a2a3

anan?1 2

1.【解析】(1)当 n ?1 时, 4a1 ? a22 ? 5, a22 ? 4a1 ? 5 , an ? 0?a2 ? 4a1 ? 5

? ? (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an2 ? 4

n ?1

?1, 4an

?

4Sn

?

4Sn?1

?

a2 n?1

?

an2

?

4

? ? a2 n?1

?

an2

?

4an

?

4

?

an

?2

2
,

an ? 0?an?1 ? an ? 2

?当 n ? 2 时,?an? 是公差 d ? 2 的等差数列.

a2 , a5, a14 构成等比数列,?a52 ? a2 ? a14 , ?a2 ? 8?2 ? a2 ??a2 ? 24? ,解得 a2 ? 3 ,

由(1)可知, 4a1 ? a22 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ? ?an? 是首项 a1 ? 1,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ?1.

(3) 1 ? 1 ? a1a2 a2a3

? 1 ?1?1? 1 ? anan?1 1? 3 3? 5 5 ? 7

?

?

2n

1
? 1? ?

2n

? 1?

7.(本题满分 14 分)a2 , a5 是方程 x 2 ?12x ? 27 ? 0 的两根, 数列?an ?是公差为正的等差数列,数列?bn ?

? ? 的前

n

项和为 Tn

,且 Tn

?

1?

1 2

bn

n?N?

.

(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式;

(2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 S n .

2.解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9

…………… 2 分

? ? ?d

?

a5

? a2 3

? 2 , a1

? 1?an

?

2n ?1 n ? N ?

…………… 4 分

在 Tn

?1?

1 2 bn

中,令 n

? 1, 得 b1

?

2.当n 3

?

2时,T n

=1?

1 2 bn ,

Tn?1

?1?

1 2

bn

?1

,

两式相减得 bn

?

1 2 bn?1

?

1 2

bn

,?

bn bn?1

?

1 ?n
3

?

2?

…………… 6 分

? ? ?bn

?

2 ?? 1 ??n?1 3?3?

?

2 3n

n?N?

.

…………… 8 分

(2) cn

?

?2n

?

1?

?

2 3n

?

4n ? 2 , 3n

………………

9分

? Sn

?

2?? ?

1 3

?

3 32

?5 33

???

2n ? 3n

1

?? ?

,

Sn 3

?

2?? ?

1 32

?3 33

???

2n ? 3n

3

?

2n ? 3n?1

1

?? ?

,………

10 分

?

2 3

S

n

?

2???13

?

2?? ?

1 32

?

1 33

???

1 3n

?? ? ?

?

2n ? 3n?1

1? ? ?

=2

? ? ?

1 3

??

?

2

?

1 9

??1 ?

?

1 3n?1

1? 1 3

?? ?

?

? 2n ?1?? 3n?1 ?
??

= 2?? 1 ? ?3

1? 3

1 3n

?

2n 3n

?
?1

1

?? ?

?

4 3

?

4n ? 4 , 3n?1

………………13 分

? Sn

?

2?

2n ? 3n

2

…………… 14 分

1

1

?? ?

? 1.

8.(全国大纲理 20) 设数列 an 满足 a1 ? 0 且 1? a n?1 1? a n

? ? ? (Ⅰ)求 a n 的通项公式;

1? bn ?
(Ⅱ)设

an?1 n

,

记S n

?

n
bk ,证明:Sn
k ?1

? 1.

1 ? 1 ? 1, 解: (I)由题设 1? an?1 1? an

1 {} 即 1? an 是公差为 1 的等差数列。

1 ? 1,故 1 ? n.

又 1? a1

1? an

(II)由(I)得

所以 an

?1?

1 n

.

1? bn ?

an?1 , n

? n?1? n n?1? n
?1? 1 n n?1 ,

…………8 分

? ? n
Sn ? bk
k ?1

?

n
(
k ?1

1 k

?

1 ) ?1? k ?1

1 ? 1. n ?1

…………12 分


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