gksxnd25 难点25 圆锥曲线综合题


难点 25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参 数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代 数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确 地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结 果的完整. ●难点磁场 (★★★★)若椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与直线 l:x+y=1 在第一象限内有两个不同的交 a 2 b2

点,求 a、b 所满足的条件,并画出点 P(a,b)的存在区域. ●案例探究 [例 1]已知圆 k 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 k 在抛物线 C:y2=2ax 上运动,MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦. (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系? 命题意图:本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力,属 ★★★★★级题目. 知识依托:弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识. 错解分析:在判断 d 与 R 的关系时,x0 的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法:对第(2)问,需将目标转化为判断 d=x0+ 解:(1)设圆心 k(x0,y0),且 y02=2ax0, 圆 k 的半径 R=|AK|= ( x0 ? a ) 2 ? y 0 ?
2 2 2 2

a 2 与 R= x 0 ? a 的大小. 2

x0 ? a 2
2

∴|MN|=2 R 2 ? x 0 ? 2 x 0 ? a 2 ? x 0 =2a(定值) ∴弦 MN 的长不随圆心 k 的运动而变化. (2)设 M(0,y1)、N(0,y2)在圆 k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2 中, 令 x=0,得 y2-2y0y+y02-a2=0 ∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1-y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1-y2| ∴y1y2≤0,因此 y02-a2≤0,即 2ax0-a2≤0. ∴0≤x0≤

a . 2 a 2 ≤a,而圆 k 半径 R= x 0 ? a 2 ≥a. 2

圆心 k 到抛物线准线距离 d=x0+

且上两式不能同时取等号,故圆 k 必与准线相交.

x2 y2 ? =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆 m m ?1 及其准线的交点从左到右的顺序为 A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD||
[例 2]如图,已知椭圆

(1)求 f(m)的解析式; (2)求 f(m)的最值.

命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆 锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目. 知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值. 错解分析:在第(1)问中,要注意验证当 2≤m≤5 时,直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法:第(1)问中,若注意到 xA,xD 为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||化简.第 (2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法. 解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、b、c,则 a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1 ∴椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=± ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

a2 ,即 x=±m. c

?y ? x ?1 ? 考虑方程组 ? x 2 ,消去 y 得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1) y2 ? ?1 ? ? m m ?1
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 Δ =4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ >0 恒成立,xB+xC=

? 2m . 2m ? 1

又∵A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上 ∴|AB|=|xB-xA|= 2 =(xB-xA)? 2 ,|CD|= 2 (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= 2 |xB-xA+xD-xC|= 2 |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|? 2 =| 故 f(m)=

2 2m ? 2m |? 2 = (2≤m≤5) 2m 1 ? 2m

2 2m ,m∈[2,5]. 2m

2 2m 2 2 ,可知 f(m)= 1 2m 2? m 1 1 1 又 2- ≤2- ≤2- 2 5 m 10 2 4 2 , ∴f(m)∈[ ] 9 3
(2)由 f(m)=

4 2 10 2 ,此时 m=2;f(m)的最小值为 ,此时 m=5. 9 3 [例 3]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米, 它们准备捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻
故 f(m)的最大值为 醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 3

千米/秒,其中 g 为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角 应是多少? 命题意图:考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力, 属★★★★★级题目. 知识依托:线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的曲 线方程. 错解分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上, 又在以 A、B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对 空间物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意 可知,A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上,易求得其方程为 3 x-3y+7 3 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x y2 ? =1 的右支上. 4 5
直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

2

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ =

10g v0
2

?

3 ,∴仰角θ =30°. 2

●锦囊妙计

解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题, 需构造参数满足的不等式, 通过求不等式(组) 求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立目标函数,再求这个函数的最值. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4), 当△ABC 的面积最大时,m 等于( A.3 B. ) C.

9 4

5 2

D.

3 2
)

2.(★★★★★)设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ? A.4 B.2 C.8

9 2 ) 的最小值为( v
D.2 2

二、填空题 3.(★★★★★)A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P,使 ∠OPA=

?
2

,则椭圆离心率的范围是_________.

4.(★★★★)一辆卡车高 3 米,宽 1.6 米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线 的通径长,若拱口宽为 a 米,则能使卡车通过的 a 的最小整数值是_________. 5.(★★★★★)已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物 线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的横坐标的取值范围是_________. 三、解答题 6.(★★★★★)已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,若另一条 直线 l 经过点 P(-2,0)及线段 AB 的中点 Q,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 7.(★★★★★)已知抛物线 C:y2=4x. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合,试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若 有,求出其值;若没有,说明理由. 8.(★★★★★)如图, 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆

圆心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之间,设 λ ,求λ 的取值范围.

DM = DN

[学法指导]怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质 及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到: 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题 目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹, 此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌 握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及 到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利 用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能 力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与圆锥曲线相交 的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而 使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标 法的训练. 参考答案 难点磁场

?x ? y ? 1 ? 解:由方程组 ? x 2 y 2 消去 y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a



则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0,1)内 有两相异实根,令 f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则有

? ?? ? 4a 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ? ?a 2 ? b 2 ? 1 2 2 ? f (0) ? a (1 ? b ) ? 0 ? ? ?0 ? b ? 1 2 2 2 2 ?? ? f (1) ? b ? a ? a (1 ? b ) ? 0 ? ?0 ? a ? 1 a2 ?0 ? ?a ? b ? 0 ?1 ? ? a 2 ? b2 ?a ? b ? 0 ?
同时满足上述四个条件的点 P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分:

歼灭难点训练 一、1.解析:由题意知 A(1,1),B(m, m ),C(4,2). 直线 AC 所在方程为 x-3y+2=0, 点 B 到该直线的距离为 d=

|m ? 3 m ? 2| 10

.

S ?ABC ?

1 1 | m ? 3 m ? 2| 1 1 3 1 | AB | ?d ? ? 10 ? ? | m ? 3 m ? 2 |? | ( m ? ) 2 ? | 2 2 2 2 2 4 10

∵m∈(1,4),∴当 m ?

9 3 时,S△ABC 有最大值,此时 m= . 4 2

答案:B 2.解析:考虑式子的几何意义,转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的距离 的最小值. 答案:C 二、3.解析:设椭圆方程为

x2 y2 ? =1(a>b>0),以 OA 为直径的圆:x2-ax+y2=0,两式 a2 b2

联立消 y 得

a 2 ? b2 2 x -ax+b2=0.即 e2x2-ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理 2 a

x2=

a a 2 -a,0<x2<a,即 0< 2 -a<a ? <e<1. 2 2 e e
答案:

2 <e<1 2

4.解析: 由题意可设抛物线方程为 x2=-ay,当 x= 由题意知

a a 0.64 时, y=- ; x=0.8 时, 当 y=- . 2 4 a

a 0.64 ≥3,即 a2-12a-2.56≥0.解得 a 的最小整数为 13. ? 4 a

答案:13 5.解析:设 P(t,t2-1),Q(s,s2-1)

t 2 ? 1 ( s 2 ? 1) ? (t 2 ? 1) ? =-1, t ?1 s?t 即 t2+(s-1)t-s+1=0
∵BP⊥PQ,∴

∵t∈R,∴必须有Δ =(s-1)2+4(s-1)≥0.即 s2+2s-3≥0, 解得 s≤-3 或 s≥1. 答案:(-∞,-3 ] ∪ [ 1,+∞) 三、6.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

,得(1-k2)x2+2kx-2=0,

又∵直线 AB 与双曲线左支交于 A、B 两点,

?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(1 ? k ) ? 0 ? 故有 ? x ? x ? ? 2k ? 0 1 2 ? 1? k2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 1? k2 ?
解得- 2 <k<-1

x1 ? x2 k 1 ? , y0 ? kx 0 ? 1 ? 2 2 2 ?1? k k ?1 1 2 y0 ? 0 1 l的斜率为 ? k ?1 ? 2 k x0 ? 2 ? 2 2k ? k ? 2 k2 ?1 1 ? l的方程为y ? 2 ( x ? 2). 2k ? k ? 2 2 令x ? 0, 则b ? 2 , 又k ? (? 2 ,?1) 2k ? k ? 2 设Q( x0 , y0 ), 则x0 ? ? 2k 2 ? k ? 2 ? (?1,2 ? 2 ),即b ? 2 ? 2或b ? ?2.
7.解:由抛物线 y2=4x,得焦点 F(1,0),准线 l:x=-1. (1)设 P(x,y),则 B(2x-1,2y),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点 B 到 l 的距离为 d, 则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x-2)2+(2y)2=2x(2x-2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x -1(x>1).

1 5 (2)设 Q(x,y),则|MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? x ? 1 [ x ? (m ? )] 2 ? m ? ( x ? 1) 2 4
? (ⅰ)当 m-

1 3 1 5 ≤1,即 m≤ 时,函数 t=[x-(m- )2]+m- 在(1,+∞)上递增,故 t 无 2 2 2 4 1 3 1 5 1 >1,即 m> 时,函数 t=[x2-(m- )2]+m- 在 x=m- 处有最小值 m 2 2 2 4 2

最小值,亦即|MQ|无最小值. (ⅱ)当 m-



5 5 ,∴|MQ|min= m ? . 4 4

8.解:(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直角坐标系,? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1.

x2 2 +y =1. 5 (2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,
∴曲线 C 的方程为 代入

x2 2 +y =1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. 5

Δ =(20k)2-4?15(1+5k2)>0,得 k2>

DM x1 3 ? .由图可知 =λ DN x2 5

20k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 5k 2 ? 由韦达定理得 ? ? x ? x ? 15 ? 1 2 1 ? 5k 2 ? 将 x1=λ x2 代入得
? 400k 2 2 2 ?(1 ? ? ) x2 ? ? (1 ? 5k 2 ) 2 ? ??x 2 ? 15 ? 2 1 ? 5k 2 ?
两式相除得

(1 ? ?) 2 400k 2 80 ? ? 2 ? 15(1 ? 5k ) 3(5 ? 1 ) k2 3 1 5 1 20 ? k 2 ? ,? 0 ? 2 ? ,?5 ? 2 ? ,即4 ? 5 3 k k ?5 3

80 16 ? 1 3 3( 2 ? 5) k
① ②

?4 ?

(1 ? ?) 2 16 DM 1 ? ,? ? ? ? 0,? 解得 ? ? ? 3 ? 3 DN 3

?? ?

x1 DM ? , M 在 D、N 中间,∴λ <1 x2 DN

又∵当 k 不存在时,显然λ =

DM 1 ? (此时直线 l 与 y 轴重合). DN 3


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