CH1-4阶跃函数和冲激函数_图文

§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 ? 阶跃函数 ? 冲激函数

是两个典型的奇异函数。
▲ ■

第 1页 第 1页

一、单位阶跃函数
1. 定义
?0, t ? 0 def ? ? (t ) ? ? ?1, t ? 0 ?
? (t )

1

O

t
? (t ? t 0 )

2. 延迟单位阶跃信号

?0 ? (t ? t 0 ) ? ? ?1
?0 ? (t ? t 0 ) ? ? ?1

t ? t0 , t0 ? 0 t ? t0
t ? ?t 0 , t0 ? 0 t ? ?t 0

1

O

t0
? (t ? t 0 )

t

1

▲ O ? t0



t

第 2页

3. 阶跃函数的极限定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γ
n

选定一个函数序列γn(t)如图所示。

1 2

1 o
? (t )
1 n

? 0, t ? 0 def ?1 ? (t ) ? lim ? n (t ) ? ? , t ? 0 n?? ?2 ? 1, t ? 0

1 ? n

t

1

O
▲ ■

t
第 3页

4. 阶跃函数的性质
(1)可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
o 1 2 t f (t) 2

(2)用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t ) f(t )ε (t )

-1

f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]

o (a)

t
t

o (b)

t

o

t1

t2 (c)

t

(3)积分

??? ? (? ) d ? ? t? (t )





第 4页

二.单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数,它是对强度极大, 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
? ? ? ?

狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质





第 5页

1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) ? 0 ?t ? 0 ? ? ?? ? ? ?? (t ) d t ? 1 ? ? ??

?

?

??

??

? (t ) d t ? ? ? (t ) d t
0?

0?

? 函数值只在t = 0时不为零; ? 积分面积为1;

δ (t ) (1) o t

? ?t ? ? ? ,为无界函数。 ? t =0 时,





第 6页

2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γ
1 2
n

1 o
1 n

n 2

pn (t )

?

1 n

t
def

求导

1 ? n

o

1 n

t

? (t ) ? lim p n (t )
n??

高度无穷大,宽度无穷小,面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页

3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n

1 o
1 n

求导

n 2

pn (t )

1 ? n

d ? n (t ) p n (t ) ? dt
t
n→∞

?

1 n

o

1 n

t

ε (t ) 1

δ (t )

求导
o t
t

(1) o
▲ ■

? (t ) ? ? ? (? ) d ?
??

d ? (t ) ? (t ) ? dt

t

第 8页

4.间断点的导数
f (t ) 2
f '(t)

求导
o 1 t

(2) -1 o

1

t (- 2)

-1

f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)

f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)





第 9页

5.冲激偶
s( t )
1

? (t )
?
(1)

?

??

o
s?( t )

?
1

t

O

t

τ↓

? ?0

? ?( t )

?2
??

?

O 1 ? 2 ?

t

O

t





第 10 页

三. 冲激函数的性质

? 取样性

?冲激函数的导数和积分 ?尺度变换 ?复合函数形式的冲激函数





第 11 页

1. 与普通函数的乘积(取样性)
如果f(t)在t = 0处连续,且处处有界,则有

? ( t ) f ( t ) ? f ( 0 )? ( t )

f (t )
f ( 0 )? ( t )

?

?

??

? ( t ) f ( t ) d t ? f (0)
o

t

对于平移情况:

f ( t )? ( t ? t 0 ) ? f (t 0 )? ( t ? t 0 )
举例

?

?

??

? (t ? t0 ) f (t ) d t ? f (t0 )





第 12 页

取样性质举例
? ? 2 sin( t ? )? (t ) ? sin( )? (t ) ? ? (t ) 4 4 2

? ??3 sin( t ? 4 )? (t ? 1) d t ? ? 0
0

? 2 ??? sin( t ? 4 )? (t ) d t ? ? 2 9 2 ? ??1 sin( t ? 4 )? (t ) d t ? ? ? 2
?

?

1

?1

2?? (? ? t ) d ?

? 2t , ? 1 ? t ? 1 ? ? ? 0, 其它 ?

?

t

?1

(? ? 1) 2 ? (? ) d ? ? ? ε(t)

d ? 2t e ? (t ) ? e ? 2 t ? (t ) ? 2 e ? 2 t ? (t ) ? ? (t ) ? 2 e ? 2 t ? (t ) dt
第 13 页 第 13 页

?

?





2.冲激函数的导数和积分
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ②

?

?

??

? ' (t ) f (t ) d t ? ? f ' ( 0 )

δ(n)(t)的定义: δ’(t)的平移: ③ 例

?
?

?

??

?

(n)

(t ) f (t ) d t ? ( ?1) n f

(n)

(0)

?

??

? ?( t ? t 0 ) f ( t ) d t ? ? f ? ( t 0 )

?
?

t

??

? ? ( t ) d t ? ? ?t ?
2

?

d (t ? 2) ? ' (t ) d t ? ? [(t ? 2) 2 ] t ? 0 ? ?2(t ? 2) t ? 0 ? 4 ?? dt
▲ ■ 第 14 页

3.冲激信号尺度变换
1 ? ?at ? ? ? ?t ? a





第 15 页 第 15 页

1 1 ? ? ? ? at ? ? ? ??t ? a a

?

(n)

1 1 (n) ( at ) ? ? n ? (t ) |a| a

推论: 1 ? (t ) (1) ? ( at ) ?
|a|

t0 1 ? (at t 00.5 ) ?δ (t)? (t ? ) δ(2 t)?= |a| a

(2) 当a = –1时 ?

(n)

( ? t ) ? ( ? 1) ?
n

(n)

(t )

所以, δ(– t) = δ (t) 为偶函数, δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数





第 16 页

4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数,其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1,2,…,n)

一般地, ? [ f (t )] ? ?
i ?1

n

1 ? (t ? t i ) f ' (t i )
1 f ' (t i ) 的n个冲激

这表明,δ[f(t)]是位于各ti处,强度为 函数构成的冲激函数序列。
1 1 1 1 例: ? ( 4t ? 1) ? ? (t ? ) ? ? (t ? ) 4 2 4 2
2





第 17 页

冲激函数的性质总结
(1)取样性
f ( t )? ( t ) ? f ( 0 )? ( t )

(5)冲激偶 f ( t )? ?( t ) ? f ( 0 )? ?( t ) ? f ?( 0 )? ( t )

?

??

??

f ( t )? ( t ) d t ? f ( 0 )

?

?

??

f ( t )? ?( t ) d t ? ? f ?( 0 )
t

(2)奇偶性 ? (? t ) ? ? (t ) (3)比例性 1 ? ( at ) ? ? ?t ? a (4)微积分性质
d ? (t ) ? (t ) ? dt

?

??

? ?( t ) d t ? ? ( t )

? ?( ? t ) ? ? ? ?( t )

?

?

??

? ?( t ) d t ? 0

??? ? (? ) d ? ? ? (t )

t





第 18 页

? 作业:P33 1.2(6,8) P34 1.8(b) P35 1.10(4,6)





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