四川省成都市2014届高三第一次诊断性考试试题 数学(理) Word版含答案


成都市 2014 届高中毕业班第一次诊断性检测
数学(理工类)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷(非选择题)2 至 4 页,共 4 页, 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净 后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ??2,3? , B ? x | x ? x ,则 A ? B ? (A){一 2) (B){3) (C)(-2,3} (D) ?

?

?

2.若复数 z 满足 z (1 ? 2i) ? 5 (i 为虚数单位) ,则复数 z 为 (A)

1 2 ? i 5 5

(B) 1 ? 2i
? 1 2

(C) 1 ? 2i

(D)

1 2 ? i 5 5

3.计算 log5 5 ? 4 (A)1

所得的结果为 (C)

(B)

5 2

7 2

(D)4

4.在等差数列{口。 )中.a8 =15,则 al+a7+a9+a15 一 (A)15 (B)30 (C)45 (D) 60 5.已知 m,n 是两条不同的直线, ? 为平面,则下列命题正确的是 (A) 若m / /? , n / /? 则m / / n (B) 若m ? ? , n ? ? , 则m ? n (C) 若m ? ? , n / /? , 则m ? n (D)若 m 与 ? 相交,n 与 ? 相交,则 m,n 一定不相交

6.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? , ? 的顶点与坐标原点重 合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点.若点 A,B 的坐标分别为 ? , ? 和 ? ?

?3 4? ?5 5?

? 4 3? , ? ,则 cos(? ? ? ) 的值为 ? 5 5?

(A) ?

24 25

(B) ?

7 25

(C)0

(D)

24 25

7.世界华商大会的某分会场有 A,B,C 三个展台,将甲,乙,丙,丁共 4 名“双语”志愿者分配到这 三个展台,每个展台至少 1 人,其中甲,乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有 (A)12 种 (B)10 种 (C)8 种 (D)6 种 8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如 图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 (A)120 cm (C)100 cm
2

(B)80 cm (D)60 cm

2

2

2

9.如图①,利用斜二测画法得到水平放 置的△ ABC 的直观图 ?A ' B ' C ' ,其中 A ' B '/ / y ' 轴, B ' C '/ / x ' 轴.若 A ' B ' ? B ' C ' ? 3 ,设 △ ABC 的面积为 S, ?A ' B ' C ' 的面积为 S ' ,记 S=kS',执行如图②的框图,则输出 T 的值 (A)12 (B)10 (C)9 (D)6

10.





f(

? x)

?

2

|x ?2 和 | ?

|

1

|

1

g ( x) ? x 2 ? 2 x ? m(m ? R) 是定义在 R 上的两个函数,则下列命题正确的是
(A)关于 x 的方程 f ( x) ? k ? 0 恰有四个不相等实数根的充要条件是 k ? (?1,0) (B)关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 恰有四个不相等实数根的充要条件是 m∈[0,1] (C)当 m=l 时,对 ?x1 ? ? ?1, 0? , ?x2 ? ? ?1, 0? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 (D)若 ?x1 ? ? ?1,1? , ?x2 ? ? ?1,1? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? (?1, ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 1 是定义在 R 上的偶函数,则实数 a=________.
2

12.已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a6 x ,则 a0 ? a1 ? ??? ? a6 ? ________.
6 2 6

13. 设 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x ? 2 ax ? a x 的两个极值点,若 x1 ? 2 ? x2 ,则实数 a 的取值范围是
3 2 2

________. 14.已知 ? ? ? ?

1 ? ? ?? , ? ,则 cos 2? ? 的概率为________. 2 ? 2 2? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? b ? c ???? c ??? ,Q 为△ ABC 所在平面外一 PA?PC ? PA2 (P 与 A 不重合) b b

15.设 ? O 为不等边△ ABC 的外接圆,△ ABC 内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,P 是△ ABC 所在平面内的一点,且满足 PA?PB ? 点,QA=QB= QC,有下列命题: ①若 QA=QP, ?BAC ? 90 。 ,则点 Q 在平面 ABC 上的射影恰在直线 AP 上;
?

②若 QA=QP,则 QP?PB ? QP?PC ; ③若 QA>QP, ?BAC ? 90 ,则
?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

BP AB ; ? CP AC
S?ABC ( S?ABC、S? O 分别表示△ ABC 与 ? O 的面积). S? O

④若 QA>QP,则 P 在△ ABC 内部的概率为

其中不正确的命题有__________(写出所有不正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3 cos

x x x , cos 2 ), b ? (2sin , 2) ,设函数 f ( x) ? a ? b . 4 4 4

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,c 所对边的长分别为 a,b,c,且 f (2 B ?

?
3

) ? 3 ? 1, a ? 3,

b ? 3 3 ,求 A 的大小.
17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数 ?bn ? 满足 bn ?
n ?1

? 2, n ? N ? .

Sn ,求数列 ?bn ? 的前 m 项和 Tn 。 an

18. (本小题满分 12 分) 某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅能持续 5 个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势, 中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可供选择:
x 2 ① f ( x) ? p ? q ;② f ( x) ? px ? qx ? 7 ;③ f ( x) ? log q ( x ? p) ,其中 p,q 均为常数且 q>l.(注:x 表

示上市时间, f ( x) 表示价格,记 x=0 表示 4 月 1 号,x=1 表示 5 月 1 号,…,以此类推,x∈[0,5].) (I)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势,请你选择,并简要说明 理由; (Ⅱ)对于(I)中所选的函数 f ( x) ,若 f (2) ? 11, f (3) ? 10 ,记 g ( x) ?

f ( x) ? 2 x ? 13 ’ x ?1

经过多年的统计发现:当函数 g(x)取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请你预测明年拓展外销 市场的时间是几月 1 号? 19.(本小题满分 12 分) 如图①,四边形 ABCD 为等腰梯形, AE ? DC , AB ? AE ? AE 翻折到△ PAE 的位置,如图②,且平面 PAE ? 平面 ABCE. (I 求证:平面 PAF ? 平面 PBE; (Ⅱ)求直线 PF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

1 DC ,F 为 EC 的中点,现将△ DAE 沿 3

20.(本小题满分 13 分) 我国采用的 PM2.5 的标准为: 日均值在 35 微克/立方米以下的空气质量为一级; 在 35 微克/立方米~ 75 微克/立方米之间的空气质量为二级;75 微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随机 抽取该市 m 天的 PM2.5 的日均值,发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如 下图所示,

请据此解答如下问题: (I)求 m 的值,并分别计算频率分布直方图中的[75,95)和[95,115]这两个矩形的高; (Ⅱ)通过频率分布直方图估计这 m 天的 PM2.5 日均值的中位数(结果保留分数形式) ; (Ⅲ)从这 m 天的 PM2.5 日均值中随机抽取 2 天,记 X 表示抽到 PM2.5 超标的天数,求 X 的分布列和 数学期望. 21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1), g ( x) ? x ?

1 2 x ,a?R 2

(I)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x=3 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x ? ? 0, ?? ? ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的最小值; (Ⅲ)设 p( x) ? f ( x ? 1), a ? 0 .若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为曲线 y ? p( x) 上的两个不同 点,满足 0 ? x1 ? x2 ,且 ?x3 ( x1 , x2 ) 使得曲线 y ? f ( x) 在 x3 处的切线与直线 AB 平行,求 证: x3 ?

x1 ? x2 . 2


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