人教A版必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念

[基础达标] 1.在下列判断中,正确的是( ) ①长度为 0 的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向的;⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ C.①②⑤ B.②③④ D.①③⑤ 解析:选 D.由定义知①正确,②由于两个零向量是平行的,但不能确定是否同向,也 不能确定是哪个具体方向,故不正确.显然,③,⑤正确,④不正确,所以答案是 D. 2.下列命题中,正确的是( A.|a|=1?a=± 1 B.|a|=|b|且 a∥b?a=b C.a=b?a∥b D.a∥0?|a|=0 解析:选 C.两共线向量的模相等,但两向量不一定相等,0 与任一向量平行. 3.设 a0,b0 分别是 a,b 的单位向量,则下列结论中正确的是( A.a0=b0 C.|a0|+|b0|=2 B.a0=-b0 D.a0∥b0 ) ) 解析:选 C.因为 a0,b0 是单位向量,则|a0|=1,|b0|=1, 所以|a0|+|b0|=2.故选 C. 4.下列结论中,不正确的是( ) → → → → A.向量AB,CD共线与向量AB∥CD意义是相同的 → → → → B.若AB=CD,则AB∥CD C.若向量 a,b 满足|a|=|b|,则 a=b → → → → D.若向量AB=CD,则向量BA=DC 解析:选 C.平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量,但两个向量长度相等, 方向却不一定相同,故 C 错误. → → → → 5.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形 ABCD 的形状为( A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.等腰梯形 1 ) → → 解析:选 C.由BA=CD,知 AB=CD 且 AB∥CD,即四边形 ABCD 为平行四边形.又因 → → 为|AB|=|AD|,所以四边形 ABCD 为菱形. → 6.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,O 为其中心,则|OA|=________. 解析:正方形的对角线长为 2 2, → ∴|OA|= 2. 答案: 2 → → → → → → → 7. 设 O 是正方形 ABCD 的中心,则①AO=OC;②AO∥AC;③AB与CD共线;④AO= → BO.其中,所有正确的序号为________. → → 解析:正方形的对角线互相平分,则AO=OC,①正确; → → → → AO与AC的方向相同,所以AO∥AC,②正确; → → → → AB与CD的方向相反,所以AB与CD共线,③正确; → → → → → → 尽管|AO|=|BO|,然而AO与BO的方向不相同,所以AO≠BO,④不正确. 答案:①②③ → → 8.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量AB是平行向量,与BC是共线向量, 则 m=________. → → 解析:∵A,B,C 不共线,∴AB与BC不共线. → → 又 m 与AB,BC都共线, ∴m=0. 答案:0 9.如图所示,四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形. 2 → (1)用有向线段表示与向量AB相等的向量; → (2)用有向线段表示与向量AB共线的向量. → → → 解:(1)与向量AB相等的向量是向量CE,向量DC; → → → → → → → (2)与向量AB共线的向量是向量BA,向量DC,向量CD,向量CE,向量EC,向量ED, → 向量DE. 10.在直角坐标系中画出下列向量,使它们的起点都是原点 O,并求终点的坐标. (1)|a|=2,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60° ,与 y 轴正方向的夹角为 30° ; (2)|a|=4,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30° ,与 y 轴正方向的夹角为 120° ; (3)|a|=4 2,a 的方向与 x 轴、y 轴正方向的夹角都是 135° . 解:如图所示: [B.能力提升] → 1.已知点 O 固定,且|OA|=2,则 A 点构成的图形是( A.一个点 C.一个圆 B.一条直线 D.不能确定 ) → 解析:选 C.∵|OA|=2,∴终点 A 到起点 O 的距离为 2. 又∵O 点固定, ∴A 点的轨迹是以 O 为圆心,2 为半径的圆.故选 C. 2.下列说法中: ①若 a 是单位向量,b 也是单位向量,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ②若向量AB是单位向量,则向量BA也是单位向量; ③两个相等的向量,若起点相同,则终点必相同. 3 正确的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 解析:选 C.由单位向量的定义知,凡长度为 1 的向量均称为单位向量,对方向没有任 → → → → 何要求,故①不正确;因为|AB|=|BA|,所以当AB是单位向量时,BA也是单位向量,故②正 确;根据相等向量的概念知,③是正确的. 3.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0 或|b|=0,其 中能使 a∥b 成立的条件是________. 解析:因为 a 与 b 为相等向量,所以 a∥b,即①能够使 a∥b 成立;由于|a|=|b|并没有确 定 a 与 b 的方向,即②不能够使 a∥b 成立;因为 a 与 b 方向相反时,a∥b,即③能够使 a∥b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0 或|b|=0 时,a∥b 能够成立.故使 a∥b 成立的 条件是①③④. 答案:①③④ 4. 如图所示, 已知四边形 ABCD 是矩形, O 为对角线 AC 与 BD 的交点, 设点集 M={O, → A,B,C,D},向量的集合 T={PQ|P,Q∈M,且 P,Q 不重合},则集合 T 有________个 元素. 解析:以矩形 ABCD 的四个顶点及它的对角线交点 O 五点中的任一点为起点,其余四 点中的一个点为终点的向量共有 5×4=20(个).但这 20 个向量中有 8 组向量是相等的,其 → → → → → → → →

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