高中数学:活用平面向量的数量积解题

高中数学:活用平面向量的数量积解题

? ?? ?
平面向量的数量积解题运算有其独特性: a ? b = a ? b ? cos?

??
( 00 ? ? ? 1800 )(定义式) 或 a? b ? x1x2 ? y1 y2 (坐标式);应用非常
广泛,利用它可以很容易地处理有关长度、角度和垂直等许多问题.本文借
助 2008 年高考题说明用平面向量的数量积解题的常规技巧,供大家参考.
一、 向量数量积的基本运算

??

??

例 1:( 08北京)已知向量 a 与 b 的夹角为1200 ,且 a = b ? 4 ,那么

?

??

b ? ( 2 a + b )值为

?

??

?? ??

解:由 b ? (2 a + b )= 2 a ? b + b ? b

?
=2 a

?

?
b

? cos1200 ?

?
b

2

=

2

?

4

?

4

?

(?

1

)

?

4

2

?0

2



2

:(

08

湖北)设

?
a

=(1,-2),

?
b

=(-3,4),

?
c

=(3,2),则(

?
a

?

?

+2 b ) ? c 等于( )

A、(-15,12) B、 0 C、-3

解:由

?
a

+2

?
b

=(5,6)

D、-11

则(

?
a

+2

?
b

)?

?
c

=(-5)×3+6×2=-3

故选 C

评注:例 1 考查向量数量积运算的定义式,例 2 考查向量数量积运算的

坐标式. 二、求解向量的长度问题

??

?

?

??

例 3:(08 江苏)已知向量 a 与 b 的夹角为1200 ,且 a =1,b =3,则 5 a ? b

=

? ?2

??

?2 ?2

??

解:由 5 a? b ? (5 a? b)2 ? 25 a ? b ?10 a ? b

?2 ?2

??

? 25 a + b - 10 a ? b ? cos1200

= 25?12 ? 32 ?10 ?1? 3? (? 1) ? 49 2
??
则 5 a? b =7



4:(08宁夏、海南)已知向量? a

=(0,-1,1),

?
b

=(4,1,0),

??
? a? b ? 29 ,且 ? ? 0,则 ? =

??
解:由题知 ? a + b ? (4,1? ?,?)
??
由 ? a? b ? 29 得 16 ? (1 ? ?)2 ? ?2 ? 29

∴ ?2 ? ? ? 6 ? 0 ∴ ? ? 3或? ? ?2

∵ ? ? 0, ∴ ? ? 3

评注:求向量的长度的依据是:

?2

?2

①a ? a





?
a

=

(

x,

y),



?
a

?

x2 ? y2

三、求解两向量的夹角问题



5:(08

陕西)非常向量

?
a

?
和b

满足

?
a

?

?
b

=

?
a?

?
b

,则

?
a

?
与a

?
+b



夹角为

??

?2 ?2

解:(法一)由 a ? b 得 a ? b

? ? ? ?

?2

又 b = a? b 得 b

?2

??

?2

a -2 a ? b + b

??
∴a ? b ?

1

?2
a

2

? ? ? 2
而 a? b

?2

??

?2

?2

a +2 a ? b + b ?3 a

??

?

∴ a? b ? 3 a



?
a



?
a



?
b

的夹角为?



? ??

?2 ? ?

3 ?2 a

则 cos? ? a? (a? b) ? a ? a? b ?

? ??

?

?

a ? a? b a ? 3 a

2? ?2 3a

3 2

∴ 00 ? ? ? 1800

∴? ? 300



?
a



?
a



?
b

的夹角为

30

0

??
(法二)由向量加法的几何意义,作下图,任取一点 O,作 OA ? a ,

??

?

?

?

?

OB ? b ,以 OA、 OB 为邻边作平行四边形 OACB,使 OA ? OB ,

则平行四边形 OACB为菱形 ∴ OC平分?AOB ,

?

??

? ??

又 OC ? a + b , BA ? a - b

? ? ??
∵ a ? b = a? b 即 OA ? OB ? BA

∴ ?ABC为等边三角形 ∴ ?AOC ? 300



?
a



?
a



?
b

的夹角为

30

0

B C
?
a



?
a

O



A

?
b





评注:求两非零向量角? a



?
b

夹角

?

的依据:



??
① cos? ? a? b ( 00 ? ? ? 1800 ) ?? a?b

②设

?
a

?

( x1 ,

?
y1 ) , b

? (x2 , y2 )

则 cos? ?

x1x2 ? y1 y2

(x12 ? y12 ) ? (x2 2 ? y2 2 )

在本例中,解法二是由向量的几何意义,利用平面几何知识,数形结合,

形象直观.

四、判断两向量垂直问题:



6:(08宁夏、海南)已知平面向量

?
a

=(1,-3),

?
b

=(4,-2),

且?

?
a

?
+b



?
a

垂直,则 ?

等于(



解:由 ?

?
a

?
+b



?
a

垂直得( ?

?
a

?
+b

)?

?
a

?

0

?2 ? ?
即?a ? a ? b ?0

?

??

∵ a ? 12 ?(? 3)2 ? 10 , a ? b ? 1? 4 ?(? 3)?(? 2)? 10

代入上式得 ? ?10 ?10 ? 0 ∴ ? ? ?1

评注:判断两向量垂直的依据:

①若

?
a



?
b

为非零向量,则

?
a



?
b

?

?
a

?

?
b

?0

②非零向量

?
a

?

( x1 ,

?
y1 ) , b

? (x2 , y2 )



?
a

?
⊥b

?

x1x2 ? y1 y2 ? 0

五、与三角形有关问题

例 7:(08山东)已知a、b、c为 ?ABC的三个内角 A、B、C 的对边,

?

?

??

向量 m ? ( 3,?1) , n ? (cosA,sin A) ,若 m ⊥ n ,则角 A 大小为

??

??

解:∵ m ⊥ n ∴ m ? n ? 0

即 3 cos A ? sin A ? 0

∵ cosA ? 0 ∴ tan A ? 3

∵0? A??

∴A?? 3

例 8:(08 湖南)在 ?ABC中, AB ? 3, AC ? 2, BC ? 10 ,

??
则 AB? AC 等于( )

A、? 3

B、? 2

C 、2

D 、3

2

3

3

2

解:在 ?ABC中,由余弦定理得:

cos?CAB ? AB2 ? AC2 ? BC 2 ? 32 ? 22 ?( 10)2 ? 1

2AB? AC

2? 3? 2

4



?
AB?

?
AC

?

?
AB

?

?
AC

? cos?CAB

?

3? 2?

1

?

3

42

故选 D 评注:平面向量数量积与三角形综合问题,注意结合三角函数的基本 公式,正余弦定理的应用.在求数量积时,注意两个向量的夹角是否是 三角形的内角.


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