河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试(5月)数学(文)试题Word版含答案

洛阳市 2016-2017 学年高中三年级第三次统一考试 数学试卷(文)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 A x |1 x 10, x N , B x | x a , a A ,则 A B ( )

A. {1,2,3} B

. x |1 x 3 C . {2,3} D . x |1 x 10

2. 欧拉公式 eix cos x i sin x ( i 为虚数单位, x R )是由瑞士著名数学家欧拉发明的,

它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系

. 它在复变函数论里

有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥”

平面中所对应的点位于(



A.第一象限

B

.第二象限

C

. 根据欧拉公式,若

z

i
e 3 ,则复数

z2 在复

.第三象限 D .第四象限

3. 已知命题 p : x R ,都有 2 x 3x ;命题 q : x0 R ,使得 x03 1 x02 ,则下列复

合命题正确的是(



A. p q

B . p q C .p q D . p q

4. 已知双曲线

x2 C : a2

y2 b2

1(a

0, b

0) 的离心率为 2,则 C 的两条渐近线的方程为

()

A. y

3x

B .y

3 x C. y 2x

1

D .y

x

3

2

1

5. 已知等比数列 an 满足 a1 2 , a2a8 2a5 3 ,则 a9 (



A. 1 2

B

9


C.648

D

8

.18

6. 如图,在正方形 ABCD 中, M , N 分别是 BC, CD 的中点,若 AC AM BN ,则

的值为(



A.

B

. C.1 D

. -1

x 2x 1

7. 若实数 x, y 满足条件

,则 z x y 的最大值为(



y x1

A. -1 B

.1

C.5

D

.7

2

8. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,

则打印的点在圆 x2 y 2 25 内的个数

为( )

A. 2 B . 3 C.4 D

.5

9. 已知函数 f x

2x 2x 1

ax a

R ,若 f ln3

3 ,则 f ln 1 3





A. -2 B

. -3 C.0 D

.1

10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



5
A.
6

5

B.

C.

3

1

21

D.

3

3

11. 将函数 y f x 的图象向左平移 0

个单位后得到 g x sin 2x 的图象, 2

当 x1, x2 满足 f x1 g x2

2 时, x1 x2 min

,则 的值为(
3



A. 5 12

B.

C.

3

4

D.
6

12. 若对任意实数 m 0,1 ,总存在唯一实数 x

1,1 ,使得 m

2x
xe

a

0 成立,则

实数 a 的取值范围是(



A. 1,e

B

. (1

1 , e]

C.

(0, e]

e

1 D . [1 , e]
e

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. “ a

1
”是“直线

2ax

a 1 y 2 0 与直线 a 1 x 3ay 3 0 垂直”的

5

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”, “充要”, “既不充分又不必要”中选取一个

填入) .

14. 已知函数 f x a ln2 x bx 在 x 1 处取得最大值 ln 2 1,则 a



b



15. 已知 P 是抛物线 y2

2
4x 上的动点, Q 在圆 C : x 3

2
y 3 1 上,R 是 P 在 y 轴

上的射影,则 PQ PR 的最小值是



16. 如图,四边形 ABCD 为直角梯形,

ABC 90 , CB / / DA, AB 20 2, DA 10,CB 20 ,若 AB 边上有一点 P ,使 CPD

最大,则 AP



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . )

17. 已知数列 an 满足 a1

3, an 1

3an 1 . an 1

(1)证明;数列

1
是等差数列,并求
an 1

an 的通项公式;

(2)令 bn a1a2 an ,求数列 1 的前 n 项和 Sn . bn
18. 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是平行四边形, A1A 平面 ABCD ,

BAD 60 , AB 2, BC 1, AA1 6 , E 为 A1B1 中点 .

(1)求证:平面 A1BD 平面 A1AD ; (2)求多面体 A1E ABCD 的体积 .
19. 某销售公司为了解员工的月工资水平, 从 1000 位员工中随机抽取 100 位员工进行调查, 得到如下的频率分布直方图:

(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;

(2)该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的,一般认为,工资低于

450。

元的员工属于学徒阶段, 没有营销经验, 若进行营销将会失败 ; 高于 4500 元的员工是具备营

销成熟员工,基进行营销将会成功。现将该样本按照“学徒阶段工资”

、“成熟员工工资”分

成两层,进行分层抽样,从中抽出 5 人,在这 5 人中任选 2 人进行营销活动。活动中,每位

员工若营销成功, 将为公司赢得 3 万元, 否则公司将损失 1 万元。 试问在此次比赛中公司收

入多少万元的可能性最大?

x2 20. 已知椭圆 C : a 2

y2 b2

1(a

b

0) 的离心率为

2
,右焦点为

F ,上顶点为

A ,且

2

AOF 的面积为 1 ( O 是坐标原点) . 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上的一点,过 P 的直线 l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切 点为 M ,证明: PF PM 为定值 .
21. 已知函数 f x ex a sin x 1 a R .

(1)若 a 1 ,求 f x 在 x 0 处的切线方程;

(2)若 f x 0 对一切 x 0,1 恒成立,求 a 的取值范围 .

请考生在 22、 23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 .

22. 选修 4-4 :坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴与极轴建立极坐标系, 已知曲线 C

的极坐标方程为 sin2 C 相交于 A, B 两点 .

mcos m 0 ,过点 P 2, 4 且倾斜角为 的直线 l 与曲线 4

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
2
(2)若 AP BP BA ,求 m 的值 .
23. 选修 4-5 :不等式选讲
设不等式 0 x 2 1 x 2 的解集为 M , a, b M .

(1)证明: a

1 b

3


24

(2)比较 4ab 1 与 2 b a 的大小,并说明理由 .

一、选择题
1-5: CBBAD 6-10: ACCAC 11
二、填空题

试卷答案
、 12: DB

13. 充分不必要

14.

a 1,b 1

15.3

16.

三、解答题

17. 解( 1)∵ an 1 3an 1 , an 1

∴ an 1

1

3an 1 1 an 1

2 an

1
.

an 1

1


an 1

an 1 1 2 an 1

an 1 2

1

1
.

2 an 1 an 1 2

10 2

∴1

1

1.

an 1 1 an 1 2

即数列

1 是等差数列,且公差为 1 ,首项为 1

1.

an 1

2

a1 1 2

∴1

11 n1

n.

an 1 2 2

2

∴ an

1

2 ,从而 an

n2
.

n

n

(2)由已知及( 1)得 bn 3 4 5 n 2 123 n

n 1n 2
.
2

1

bn

2

11

2

.

n 1n 2

n1 n 2

∴ Sn

1 2

1

11 2

23

34

18.

1

1

2

n1 n2

11 2
2n2

n. n2

(1)在 ABD 中, BAD 60 , AB 2, BC 1 ,

由余弦定理得 BD ∴ BD AD .

3 . ∴ BD 2 AD 2 AB2 .

∵ A1 A 平面 ABCD , BD 平面 ABCD ,

∴ A1 A BD .

A1 A AD A ,∴ BD 平面 A1AD .

BD 平面 A1BD . ∴平面 A1BD 平面 A1AD .

(2)设 AB, CD 的中点分别为 F ,G ,连接 EF , FG ,GE, BD FG H ,

∵ E, F ,G 分别为 A1A, AB,CD 的中点, ∴多面体 EFG A1AD 为三棱柱 . ∵ BD 平面 A1AD ,∴ DH 为三棱柱的高 .

S A1 AD

1 AD , A1A
2

6

1

, DH BD

2

2

3

2

三棱柱 EFG A1 AD 体积为 S A1AD HD

6 3 32
.
22 4

在四棱锥 E BCGF 中, EF / / A1 A . ∴ EF 底面 BCGF, EF A1A 6 .

SBCGF

1

1

SABCD

2 1 sin 60

2

2

3

2

四棱锥 E

BCGF

的体积为

1 SBCGF

EF

1

3

6

2


3

32

2

∴多面体 A1E

32 ABCD 的体积为

4

2 52
.
24

19. ( 1)由此图估计该公司员工的月平均工资:

0.01 10 20 0.01 10 30 0.02 10 40 0.03 10

50 0.02 10 60 0.01 10 70=4700 元 .

(2)抽取比为 5

1


100 20

从工资在 [1500,4500) 区间内抽 100 0.1 0.1 0.2

从工资在 [4500,7500] 区间内抽 100 0.3 0.2 0.1

1 =2 人,设这两位员工分别为 20 1
=3 人,设这三位员工分别为 20

1,2 ;

A, B,C .

从中任选 2 人,共有以下 10 种不同的等可能结果: ( 1,2 ), ,1 A,,1 ,,1B C ,

2, A , 2, B , 2,C , A, B , A,C , B,C .

两人营销都成功, 公司收入 6 万元,有以下 3 种不同的等可能结果: A, B , A,C , B, C ;

概率为 3 ; 10
其中一人营销成功, 公司收入为 2 万元,有以下 6 种不同的等可能结果: 1, A , 1, B , 1, C ,

2, A , 2, B , 2,C ,概率为 6

3


10 5

两人营销都失败,公司收入 -2 万元,即损失

2 万元,有 1 种结果:( 1,2 ),概率为 1 . 10

∵1

33
,∴收入 2 万元的可能性最大 .

10 10 5

20. 解:( 1)设椭圆的半焦距为

c ,由已知得

c2 1

a2

, 2

11 bc ,
22 b2 c2 a2.

a 2 2,
.
b 1.

x2
∴椭圆的方程为
2

y 2 1.

(2)以短轴为直径的圆的方程为

x2 y2 1, F 1,0 , .

设 P x0 , y0 ,则 x02 y02 1 0 x0

2.

2



PF

2
x0 1

y02

x02

2x0

11

x02 2

1 2

x02

2x0

2

1

2

2 x0 2

2 2 2 x0 .

又 l 与圆 x2 y2 1相切于 M ,

∴ PM

2
OP 1

x02 y0 2 1

x02

y02

x02 1

x0 2

2 x0 .

2

22

∴ PF PM

2 2 x0

2 x0 2 .

2

2

21. 解:( 1) a 1时, f x ex sin x 1.

f x ex cosx, f 0 0, f 0 0 ,

∴ y 0 0 x 0 ,即 y 0.

∴ a 1时, f x 在 x 0 处的切线方程为 y 0. (2) f x ex a cosx .

若 a 0 ,显然有 f x 0, x 0,1 ,

f x 在 [0,1] 上单调递增 . ∴ f x f 0 0 ,符合题意 . 若 0 a 1, f x ex a cosx ,由 0 x 1知, 0 a cos x a, ex 1,

∴ f x 0 , f x 在 [0,1] 上单调递增 . ∴ f x f 0 0 ,符合题意 . 若 a 1,由 y ex 与 y a cos x 的图象位置关系知 存在 x0 0 x0 1 ,当 0 x x0 时, ex acos x , 此时, f x 0 , f x 在 0, x0 上单调递减, 当 0 x x0 时, f x f 0 0 ,与题意矛盾 .

综上: a 的取值范围为 ( ,1] . 22. 解:( 1)曲线 C 的极坐标方程 sin2 mcos m 0 , 可化为 2 sin 2 m cos m 0 , 即 y2 mx m 0 ;

x 直线 l 的参数方程为

2 2 t,
2 ( t 为参数),

2 y 4 t.
2

消去参数 t ,化为普通方程是 y x 2 .

(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2 mx m 0 中,

得 t2 2 m 8 t 4 m 8 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2 ,则 t1 t 2
2
∵ AP BP BA ,

2 m 8 , t1t 2 4 m 8 .

∴ t1 t2

2
t1 t2 ,

2

2

∴ t1 t2 = t1 t 2 4t1 t2 =5t1 t 2 ,

2
即 2 m 8 =20 8 m ,

解得: m 2 或 m ∴ m 的值为 2.

8 (不合题意,应舍去) ;

23. 解:( 1)记 f x x 2 1 x

3, x 2, 2x 1, 2 x 1, , 3, x 1.

由 0 2x 1 2 解得 1 x 1 ,则 M

2

2

∵ a, b

M ,∴ a

1 ,b

1


2

2

所以 a

1 b

a

1 b

1 11

3
.

2

2 222 4

1,1 . 22

(2)由( 1)得 a2

1 , b2

1
.

4

4

因为

2

2

4ab 1 4 b a

16a2b2 8ab 1

4 b 2 2ab a 2

2

2

所以 1 4ab 4 a b ,故 1 4ab 2 a b .

4a 2 1 4b 2 1 0 ,


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