步步高高中数学 必修 1 第一章 1.1.1 第2课时

第 2 课时 集合的表示 学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同 的表示法中作出选择和转换. 知识点一 列举法 思考 要研究集合,要在集合的基础上研究其他问题,首先要表示集合.而当集合中元素较 少时,如何直观地表示集合? 答案 把它们一一列举出来. 梳理 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举 法.适用于元素较少的集合. 知识点二 描述法 思考 能用列举法表示所有大于 1 的实数吗?如果不能,又该怎样表示? 答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素,而完成此任务除了一一列 举,还可用元素的共同特征(如都大于 1)来表示集合,如大于 1 的实数可表示为{x∈R|x>1}. 梳理 描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线, 竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围,竖线后写元素所具有的共同特征. 类型一 用列举法表示集合 例 1 用列举法表示下列集合. (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合. 解 (1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A, 那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B, 那么 B={0,1}. 反思与感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元 素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用“,”隔开; (2)列举法表示的集合的种类 ①元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4}; ②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从 1 到 1 000 的所有自然 1 数”可以表示为{1,2,3,…,1 000}; ③元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如:自然数集 N 可以表示为 {0,1,2,3,…}. 跟踪训练 1 用列举法表示下列集合. (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)由 1~20 以内的所有素数组成的集合. 解 (1)满足条件的数有 3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}. (2)设由 1~20 以内的所有素数组成的集合为 C, 那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 类型二 用描述法表示集合 例 2 试用描述法表示下列集合. (1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 解 (1)设方程 x2-2=0 的实数根为 x,并且满足条件 x2-2=0,因此,用描述法表示为 A ={x∈R|x2-2=0}. (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x∈Z,且 10<x<20. 因此,用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}. 引申探究 用描述法表示函数 y=x2-2 图象上所有的点组成的集合. 解 {(x,y)|y=x2-2}. 反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点 (1)写清楚该集合中元素的代号; (2)说明该集合中元素的性质; (3)所有描述的内容都可写在集合符号内; (4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I 是 x 的范围,“p(x)” 是集合中元素 x 的共同特征,竖线不可省略. 跟踪训练 2 用描述法表示下列集合. (1)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (2)二次函数 y=x2-10 图象上的所有点组成的集合. 解 (1)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得 x=2,y=-3. 所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}. (2)“二次函数 y=x2-10 图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}. 类型三 集合表示的综合应用 命题角度 1 选择适当的方法表示集合 2 例 3 用适当的方法表示下列集合. (1)由 x=2n,0≤n≤2 且 n∈N 组成的集合; (2)抛物线 y=x2-2x 与 x 轴的公共点的集合; (3)直线 y=x 上去掉原点的点的集合. 解 (1)列举法:{0,2,4};或描述法{x|x=2n,0≤n≤2 且 n∈N}. (2)列举法:{(0,0),(2,0)}. (3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}. 反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的 条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合. 跟踪训练 3 若集合 A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2 000,x∈A},则用列举法表示 集合 B=________. 答案 {2 000,2 001,2 004} 解析 由 A={x∈Z|-2≤x≤2}={-2,-1,0,1,2},所以 x2∈{0,1,4},x2+2 000 的值为 2 000,2 001,2 004,所以 B={2 000,2 001,2 004}. 命题角度 2 新定义的集合 例 4 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数 时,m※n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定义 下,集合 M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是( ) A.18 B.17 D.16 D.15 答案 B 解析 因为 1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+ 8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16= 16,16×1=16,集合 M 中的元素是有序数对(a,b),所以集合 M 中的元素共有 17 个,故选 B. 反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知

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