2014年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解)


2014 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题
一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则 M∩N=( ) A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 2.若 tanα>0,则( ) A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 1 ? i ,则|z|=( 3.设 z ? ) 1? i 1 2 3 A. B. C. D.2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a=( 4.已知双曲线 2 ? ) a 3 6 5 A.2 B. C. D.1 2 2 5.设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 6. 设 D,E,F 分别为 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? ( ) 1 1 A. AD B. AD C. BC D. BC 2 2 ? ? 7.在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ y ? cos( 2 x ? ) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 6 4 最小正周期为 π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9.执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( 20 7 16 15 A. B. C. D. 2 3 5 8 )

5 10. 已知抛物线 C: y2=x 的焦点为 F, A(x0,y0)是 C 上一点, |AF|= x0, 则 x0=( 4 A.1 B.2 C.4 D.8
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)

? x ? y ? a, 11.设 x,y 满足约束条件 ? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( ) ? x ? y ? ?1, A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 3 2 12.已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范 围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞, -2) D.(-∞, -1) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为________. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. ? e x ?1 , x ? 1 ? 15.设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是______. 3 ? ? x ,x?1
16.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山 顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角: ∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及 ∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° . 已知 山高 BC=100m,则山高 MN=______m. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根。 ?a ? (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ?

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18. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表); (Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该 企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?

19.(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (Ⅰ)证明:B1C⊥AB; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1, 求三棱柱 ABC-A1B1C1的高.

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20. (本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2),圆 C: x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (Ⅰ)求 M 的轨迹方程; (Ⅱ)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及 ΔPOM 的面积.

21. (本小题满分 12 分) 1? a 2 x -bx(a≠1), 设函数 f(x)= alnx+ 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为 0 2 a (Ⅰ)求 b; (Ⅱ)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围。 a ?1

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2+t x2 y 2 ? 1 ,直线 l: ? 已知曲线 C: ? (t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的 最大值与最小值.

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一、选择题 二、填空题

2014 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 BCBDC AABDA BC 2 13. 14.A 15.(-∞,8] 16.150 3

三、解答题 17.解:(Ⅰ) 解 x2-5x+6=0 得的两个根为 2,3,依题 a2=2,a4=3,…2 分 1 3 所以 2d=1,故 d ? ,从而 a1 ? , …4 分 2 2 1 所以通项公式为 an=a2+(n-2)d ? n ? 1 …6 分 2 a a n?2 ? n ?1 ,设 { n } 的前 n 项和为 Sn,则 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 n n 2 2 2n 3 4 n ?1 n ? 2 1 3 4 n? 1 n? 2 Sn ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ,① Sn ? 3 ? 4 ? ... ? n ? 1? n ? 2 ,② …8 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 n ?1 n ? 2 3 1 1 n?2 ①-②得 Sn ? ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? n ? 2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 n?4 所以, S n ? 2 ? n ?1 …12 分 2 18.解:(Ⅰ)…4 分 (Ⅱ)质量指标值的样本平均数为 0.06+90× 0.26+100× 0.38 x =80× +110× 0.22+120× 0.08=100. 所以平均数估计值为 100,…6 分 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2× 0.06+(-10)2× 0.26+0× 0.38 2 2 +(10) × 0.22+(20) × 0.08=104. 方差的估计值为 104. …8 分 (Ⅲ)依题 0.38+0.22+0.08=0.68 < 80%, 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定。 …12 分 19.(Ⅰ)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, ∵AO⊥平面 BB1C1C. ∴AO⊥B1C, …2 分 因为侧面 BB1C1C 为菱形,∴BC1⊥B1C,…4 分 ∴BC1⊥平面 ABC1,∵AB?平面 ABC1, 故 B1C⊥AB. …6 分 (Ⅱ)作 OD⊥BC,垂足为 D,连结 AD,∵AO⊥BC,∴BC⊥平面 AOD, 又 BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 AOD,交线为 AD, 作 OH⊥AD,垂足为 H,∴OH⊥平面 ABC. …9 分

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∵∠CBB1=60° ,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 由于 AC⊥AB1,∴ OA ?

3 , 4

1 1 7 B1C ? ,∴ AD ? OD 2 ? OA2 ? , 2 2 4 21 由 OH· AD=OD· OA,可得 OH= ,又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 14 21 21 ABC 的距离为 ,所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7 7 另解(等体积法):∵∠CBB1=60° ,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,

可得 BO=

1 1 3 2 ,由于 AC⊥AB1,∴ OA ? B1C ? ,∴AB=1,AC= ,…9 分 2 2 2 2

1 2 2 7 则等腰三角形 ABC 的面积为 ? ,设点 B1 到平面 ABC ? 12 ? ( )2 ? 2 2 4 8 7 3 1 21 的距离为 d,由 VB1-ABC=VA-BB1C 得 , d? ? , 解得d ? 8 4 2 7 21 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7
20.解:(Ⅰ)圆 C 可化为 x2+(y -4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. …2 分 ???? ? ???? ???? ? ???? 设M(x,y),则 CM ? ( x, y ? 4) , MP ? (2 ? x, 2 ? y) ,由题知 CM ?MP ? 0 ,…4分 故x(2-x)+(y -4)(2-y)=0,整理得(x-1)2+(y-3)2=2, 由于点P在圆C 的内部, 所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆。由于|OP|=|OM| ? 2 2 ,故O在线段PM的 垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM。 …8分 1 1 因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为 ? ,直线l的方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 2) , 3 3 1 8 4 10 即 y ? ? x ? , …10 分 又|OP|=|OM| ? 2 2 ,O 到 l 的距离为 , 3 3 5 16 4 10 | PM |? ,所以 ΔPOM 的面积为 . …12 分 5 5 另解:因为|OP|=|OM| ? 2 2 ,所以点 P,M 也在圆 x2+y2=8 上, 点 P,M 也在圆(x-1)2+(y-3)2=2,…8 分 两式相减可得公共弦方程 2x+6y-16=0, 1 8 即 y ? ? x ? ,就是线 l 的方程。 …10 分 3 3

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21.解:(Ⅰ) f ?( x) ?

a ? (1 ? a) x ? b (x>0),依题 f '(1)=0,解得 b=1, …3 分 x 1? a 2 (1 ? a) x 2 ? x ? a ( x ? 1)[(1 ? a) x ? a] ? x -x, f ?( x) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= alnx+ , 2 x x a 因为a≠1,所以f '(x )=0有两根:x=1或 x ? 。 …4分 1? a 1 a ? 1 ,在(1,+∞)上,f '(x)>0,f (x)单调递增. (1)若 a ? ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 所以存在x0≥1, 使得f(x0)< , 的充要条件为 f (1) ? , 即 , a ?1 1? a 2 1? a 解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 。 …6分 1 a a ? 1 ,在 (1, (2)若 ? a ? 1,则 )上,f '(x) <0 , f (x)单调递减, 2 1? a 1? a a , ?? )时,f '(x)>0,f (x)单调递增. 在( 1? a a a a )? 所以存在x0≥1,使得f(x0)< ,的充要条件为 f ( , a ?1 1? a 1? a a a a2 a a 而 f( ,所以不合题意. …9分 ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a 1? a ?1 ? a a ?1 ? ? (3) 若 a>1,则 f (1) ? 。存在 x0≥1,符合条件。…11 分 2 2 a ?1 综上,a 的取值范围为: (? 2 ?1, 2 ?1) ? (1, ??) 。 …12 分

? x ? 2cos ? 22.解:(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) ? y ? 3sin ? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0
(Ⅱ)曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ)到 l 的距离为 d ?

…5 分

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | , 5 4 d 2 5 则 | PA |? ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 α 为锐角,且 tan ? ? , 3 sin 30? 5 22 5 当 sin (θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 , 5 2 5 当 sin (θ+α)=-1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . …10 分 5

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2014 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则 M∩N=( )B A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 2.若 tanα>0,则( )C A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 1 ? i ,则|z|=( 3.设 z ? )B 1? i 1 2 3 A. B. C. D.2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a=( 4.已知双曲线 2 ? )D a 3 6 5 A.2 B. C. D.1 2 2 5.设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( )C A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 6.设 D,E,F 分别为 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? ( )A 1 1 A. AD B. AD C. BC D. BC 2 2 ? ? 7.在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ y ? cos( 2 x ? ) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 6 4 最小正周期为 π 的所有函数为( )A A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )B A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9.执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( 20 7 16 15 A. B. C. D. 2 3 5 8 )D

5 10. 已知抛物线 C: y2=x 的焦点为 F, A(x0,y0)是 C 上一点, |AF|= x0 , 则 x0=( 4 A.1 B.2 C.4 D.8
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)A

? x ? y ? a, 11.设 x,y 满足约束条件 ? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( )B ? x ? y ? ?1, B. -5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 3 2 12.已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范 围是( )C A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞, -2) D.(-∞, -1) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 2 则 2 本数学书相邻的概率为________. 3 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. A ? e x ?1 , x ? 1 ? 15.设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是_____.(-∞,8] 3 ? ? x ,x?1
16.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山 顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角: ∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及 ∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° . 已知 山高 BC=100m,则山高 MN=______m. 150 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。只做 6 题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分) 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根。 ?a ? (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ? 17.解:(Ⅰ) 解 x2-5x+6=0 得的两个根为 2,3,依题 a2=2,a4=3,…2 分 1 3 所以 2d=1,故 d ? ,从而 a1 ? , …4 分 2 2 1 所以通项公式为 an=a2+(n-2)d ? n ? 1 …6 分 2 a a n?2 ? n ?1 ,设 { n } 的前 n 项和为 Sn,则 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 n n 2 2 2n 3 4 n ?1 n ? 2 1 3 4 n? 1 n? 2 Sn ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ,① Sn ? 3 ? 4 ? ... ? n ? 1? n ? 2 ,② …8 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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1 3 1 1 n ?1 n ? 2 3 1 1 n?2 ①-②得 Sn ? ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? n ? 2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 n?4 所以, S n ? 2 ? n ?1 …12 分 2

18. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值, 由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表); (Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该 企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 18.解:(Ⅰ)…4 分 (Ⅱ)质量指标值的样本平均数为 0.06+90× 0.26+100× 0.38 x =80× +110× 0.22+120× 0.08=100. 所以平均数估计值为 100,…6 分 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2× 0.06+(-10)2× 0.26+0× 0.38 +(10)2× 0.22+(20)2× 0.08=104. 方差的估计值为 104. …8 分 (Ⅲ)依题 0.38+0.22+0.08=0.68 < 80%,所以该企业生产的这种产品不符合“质 量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定。 …12 分 19.(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (Ⅰ)证明:B1C⊥AB; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1, 求三棱柱 ABC-A1B1C1的高. 19.(Ⅰ)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点,∵AO⊥平面 BB1C1C. ∴AO⊥B1C,…2 分 因为侧面 BB1C1C 为菱形,∴BC1⊥B1C, …4 分 ∴BC1⊥平面 ABC1,∵AB?平面 ABC1,故 B1C⊥AB. …6 分 (Ⅱ)作 OD⊥BC,垂足为 D,连结 AD,∵AO⊥BC,∴BC⊥平面 AOD, 又 BC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 AOD,交线为 AD, 作 OH⊥AD,垂足为 H,∴OH⊥平面 ABC. …9 分
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∵∠CBB1=60° ,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 由于 AC⊥AB1,∴ OA ?

3 , 4

1 1 7 B1C ? ,∴ AD ? OD 2 ? OA2 ? , 2 2 4 21 由 OH· AD=OD· OA,可得 OH= ,又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 14 21 21 ABC 的距离为 ,所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7 7 另解(等体积法):∵∠CBB1=60° ,所以 ΔCBB1 为等边三角形,又 BC=1,

可得 BO=

1 1 3 2 ,由于 AC⊥AB1,∴ OA ? B1C ? ,∴AB=1,AC= ,…9 分 2 2 2 2

1 2 2 7 则等腰三角形 ABC 的面积为 ? ,设点 B1 到平面 ABC ? 12 ? ( )2 ? 2 2 4 8 7 3 1 21 的距离为 d,由 VB1-ABC=VA-BB1C 得 , d? ? , 解得d ? 8 4 2 7 21 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的高高为 。 …12 分 7
20. (本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2),圆 C: x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (Ⅰ)求 M 的轨迹方程; (Ⅱ)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及 ΔPOM 的面积. 20.解:(Ⅰ)圆 C 可化为 x2+(y -4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. …2 分 ???? ? ???? ???? ? ???? 设M(x,y),则 CM ? ( x, y ? 4) , MP ? (2 ? x, 2 ? y) ,由题知 CM ?MP ? 0 ,…4分 故x(2-x)+(y -4)(2-y)=0,整理得(x-1)2+(y-3)2=2, 由于点P在圆C 的内部, 所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆。由于|OP|=|OM| ? 2 2 ,故O在线段PM的 垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM。 …8分 1 1 因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为 ? ,直线l的方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 2) , 3 3 1 8 4 10 即 y ? ? x ? , …10 分 又|OP|=|OM| ? 2 2 ,O 到 l 的距离为 , 3 3 5 16 4 10 | PM |? ,所以 ΔPOM 的面积为 . …12 分 5 5 另解:因为|OP|=|OM| ? 2 2 ,所以点 P,M 也在圆 x2+y2=8 上,
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点 P,M 也在圆(x-1)2+(y-3)2=2,…8 分 两式相减可得公共弦方程 2x+6y-16=0, 1 8 即 y ? ? x ? ,就是线 l 的方程。 …10 分 3 3 21. (本小题满分 12 分) 1? a 2 x -bx(a≠1), 设函数 f(x)= alnx+ 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为 0 2 a (Ⅰ)求 b; (Ⅱ)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围。 a ?1 a 21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? ? (1 ? a) x ? b (x>0),依题 f '(1)=0,解得 b=1, …3 分 x 1? a 2 (1 ? a) x 2 ? x ? a ( x ? 1)[(1 ? a) x ? a] ? ? x -x, f ( x) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= alnx+ , 2 x x a 因为a≠1,所以f '(x )=0有两根:x=1或 x ? 。 …4分 1? a 1 a ? 1 ,在(1,+∞)上,f '(x)>0,f (x)单调递增. (1)若 a ? ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 所以存在x0≥1, 使得f(x0)< , 的充要条件为 f (1) ? , 即 , a ?1 1? a 2 1? a 解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 。 …6分 1 a a ? 1 ,在 (1, (2)若 ? a ? 1,则 )上,f '(x) <0 , f (x)单调递减, 2 1? a 1? a a , ?? )时,f '(x)>0,f (x)单调递增. 在( 1? a a a a )? 所以存在x0≥1,使得f(x0)< ,的充要条件为 f ( , a ?1 1? a 1? a a a a2 a a 而 f( ,所以不合题意. …9分 ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a 1? a ?1 ? a a ?1 ? ? (3) 若 a>1,则 f (1) ? 。存在 x0≥1,符合条件。…11 分 2 2 a ?1 综上,a 的取值范围为: (? 2 ?1, 2 ?1) ? (1, ??) 。 …12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交 于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, 且 MB=MC,证明:ΔADE 为等边三角形.

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22.证明:(Ⅰ)证明:依题 A,B,C,D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE,又 CB=CE,∠CBE=∠E, 所以∠D=∠E. …5 分 (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连结 MN,则由 MB=MC, 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上,又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点, 故 O M⊥AD,即 MN⊥AD。所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE,又∠CBE=∠E, 故∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,所以 ΔADE 为等边三角形。…10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2+t x2 y 2 ? 1 ,直线 l: ? 已知曲线 C: ? (t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的 最大值与最小值. ? x ? 2cos ? 23.解:(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) …3 分 ? y ? 3sin ? 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0 …5 分
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | , 5 4 d 2 5 则 | PA |? ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 α 为锐角,且 tan ? ? ,…8 分 3 sin 30? 5 22 5 当 sin (θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 , 5 2 5 当 sin (θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . …10 分 5

(Ⅱ)曲线 C 上任意一点 P(2cosθ,3sinθ)到 l 的距离为 d ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 1 1 若 a>0,b>0,且 ? ? ab a b 3 3 (Ⅰ)求 a +b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6? 并说明理由. 1 1 2 24.解:(Ⅰ)由 ab ? ? ? ,得 ab≥2,且当 a ? b ? 2 时等号成立 …3 分 a b ab 所以 a3+b3 ? 2 a3b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立 所以 a3+b3 的最小值为 4 2 . …5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2a ? 3b ? 2 6 ? ab ? 4 3 , …8 分 而 4 3 ? 6 ,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. …10 分

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小题详解 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则 M∩N=( )B A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 解:取 M, N 中共同的元素的集合是(-1,1),故选 B 2.若 tanα>0,则( )C A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 解:tanα>0,α在一或三象限,所以sinα与cosα同号,故选C 1 ? i ,则|z|=( 3.设 z ? )B 1? i 1 2 3 A. B. C. D.2 2 2 2 1 1? i 1 i 1 1 2 解: z ? ,故选 B ?i ? ? i ? ? ,? z ? ( )2 ? ( )2 ? 1? i 2 2 2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a=( 4.已知双曲线 2 ? )D a 3 6 5 A.2 B. C. D.1 2 2

c a 2 ? b2 a2 ? 3 ? ? ? 2 ,解得 a=1,故选 D a a2 a2 5.设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( )C A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解:设 F(x)=f(x)|g(x)|,依题可得 F(-x)=-F(x),∴ F(x)为奇函数,故选 C
解: e ? 6.设 D,E,F 分别为 ΔABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? ( ) 1 1 A. AD B. AD C. BC D. BC 2 2 ? 1 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? 1 ??? 解: EB ? FC ? EC ? CB+FB ? BC = AC ? AB ? ( AB ? AC ) ? AD ,故选 A 2 2 2 ? ? 7.在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③ y ? cos( 2 x ? ) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 6 4 最小正周期为 π 的所有函数为( )A A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解: 由 y ? cos x 是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x, 最小正周期为 π; ②y=|cosx| 的最小正周期也是 π;③中函数最小正周期也是 π;正确答案为①②③,故选 A

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8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 一个几何体的三视图,则这个几何体是( )B A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解:几何体是一个横放着的三棱柱. 故选 B 9.执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( 20 7 16 15 A. B. C. D. 2 3 5 8 )D

3 3 8 3 8 15 8 15 15 解:运行程序 M,a,b,n 依次为 ( , 2, , 2) ; ( , , ,3) ; ( , , , 4) ;输出 M ? . 2 2 3 2 3 8 3 8 8 故选 D. 5 10. 已知抛物线 C: y2=x 的焦点为 F, A(x0,y0)是 C 上一点, |AF|= x0 , 则 x0=( )A 4 A.1 B.2 C.4 D.8 1 5 解:根据抛物线的定义可知|AF|= x0 ? ? x0 ,解之得 x0=1. 故选 A 4 4 ? x ? y ? a, 11.设 x,y 满足约束条件 ? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a= ( )B x ? y ? ? 1, ? A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ? a? ? 7, , ) ,z取得最值 解:联立x+y=a与x-y=-1解得交点M ( 2 2 2 2 解之得a=-5或a=3. 但a=-5时,z取得最大值,舍去,所以a=3,故选B. 12.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范 围是( )C A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞, -2) D.(-∞, -1) 2 解:依题 a≠0,f '(x)=3ax2-6x,令 f '(x)=0,解得 x=0 或 x= , a 2 2 当 a>0 时, 在(-∞, 0)与( ,+∞)上, f '(x)>0, f(x)是增函数。 在(0, ) 上, f '(x)<0, a a f(x)是减函数。且 f(0)=1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意。 2 2 当 a<0 时,在(-∞, )与(0,+∞)上,f '(x)<0,f(x)是减函数。在( ,0)上,f '(x)>0, a a 2 f(x)是增函数。要使 f(x)有唯一的零点 x0,且 x0>0,只要 f ( ) ? 0 ,即 a2>4,所以 a a<-2.故选 C

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1 1 另解: 依题 a≠0, f(x)存在唯一的正零点, 等价于 a ? 3? ? 3 有唯一的正零根, x x 1 令 t ? ,则问题又等价于 a=-t3+3t 有唯一的正零根,即 y=a 与 y=-t3+3t 有唯一的 x 交点且交点在在 y 轴右侧,记 g(t)=-t3+3t,g '(t)=-3t2+3,由 g '(t)=0,解得 t=± 1, 在(-∞,-1)与(1,+∞)上,g '(t)<0,g(t)是减函数。在(-1,1)上,g '(t)>0,g(t)是增函数。 要使 a=-t3+3t 有唯一的正零根,只要 a<g(-1)=-2,故选 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上. 13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 2 则 2 本数学书相邻的概率为________. 3 解: 设数学书为 1, 2, 语文书为 A, 则所有的排法有(1,2,A), (1,A,2), (2,1, A), (2, A,1),(A,1,2),(A,2,1)共 6 种,其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种情况,故 4 2 所求概率为 P ? ? . 6 3 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. A 解:∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市,∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市 B, 甲去过的城市至多两个,不可能比乙多,∴可判断乙去过的城市为 A. 本题考查逻辑推理,反证法的思想。 ? e x ?1 , x ? 1 ? 15.设函数 f ( x ) ? ? 1 ,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是_____.(-∞,8] 3 ? ? x ,x?1 解:当x<1时,由e ≤2可得x≤1+ln 2,故x<1;当x≥1时,由 x ≤2可得x≤8,故 1≤x≤8,综上可得x≤8. 16.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山 顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角: ∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及 ∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° . 已知 山高 BC=100m,则山高 MN=______m. 150 解:在 RtΔABC 中,由条件可得 AC ? 100 2 , AM AC 3 ? 在 ΔMAC 中, ∠MAC=45° ; 由正弦定理可得 , 故A M ? A C ?1 0 03 , sin 60? sin 45? 2 在直角 RtΔMAN 中,MN=AMsin60° =150.
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