高二理科数学试题

官桥中学 2006~2007 学年度第一学期期末考试
高二(理科)数学试题

本试卷共 150 分,120 分钟完成,答案写在答题卷上。
第Ⅰ卷

一、选择题 (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

? ? 1、设集合 P ? ?1,2,3,4?,Q ? x x2 ? x ? 6 ,则 P ? Q 等于(



A.{1,2}

B. {3,4}

C.{1}

D. {-2,-1,0,1,2}

2、一粒骰子,抛掷一次,奇数向上的概率是(



1
A.

B. 1

2

6

2
C.

D. 3

3

4

3、要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收

入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标;②某中学的 15 名艺术特长生中选出 3

人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为(



A.①用随机抽样法,②用系统抽样法

B.①用分层抽样法,②用随机抽样法

C.①用系统抽样法,②用分层抽样法

D.①②都用分层抽样法

4、若椭圆 x2 100

?

y2 36

?

1

上一点

P

到焦点

F1

的距离等于

6,则点

P

到另一个焦点

F2

的距离

是( )

A.4

B.194

C.94

D.14

5、下列函数既是奇函数,又在区间 ?? 1,1?上单调递减的是(



? ? A. f (x) ? sin x B. f (x) ? ? x ?1 C. f (x) ? 1 a x ? a?x D. f (x) ? ln 2 ? x

2

2? x

6、在下列关于直线 l 、 m 与平面? 、 ? 的命题中,真命题是(



A.若 l ? ? 且? ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? 且? // ? ,则 l ? ? .

C.若 l ? ? 且? ? ? ,则 l //?

D. 若? ? ? ? m 且 l // m ,则 l //? .

7、已知三角形的内角分别是 A、B、C,若命题 P : A ? B ; 命题 Q : sin A ? sin B ,则 P

是 Q 的(



A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8、.如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来,(n=1、2、3、…)则在第 n 个图形中

共有(

)个顶点.

A.(n+1)(n+2)

B. (n+2)(n+3)

C. n2

D. n

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 6 小题每小题 5 分,共 30 分;把答案填在答题卷中相应的横线上)

9、某班 5 次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下:

甲:90 92 88 92 88 乙:94 86 88 90 92

则甲、乙两人成绩相比较,得出结论是

稳定.

10、在等差数列{an}中,前 15 项的和 S15=90,则 a8=



?0 ? x ? 2

11、在条件 ??0 ? y ? 2 下, 则 z ? x ? 3y 的最大值是



?? y ? x ? 1

12、某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元,

汽车的维修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万元,……,依等差

数列逐年递增.则这种汽车使用

年报废最合算(即该车使用多少年平均

费用最少)?

13、如果上述程序运行的结果为 S=132,那么

判断框中应填入



14、下列两道题任.选.一.道.题.做:(若两题都做,按(甲)题答案给分)

(甲)直角三角形 ABC 中(C 为直角),

CD ? AB,DE ? AC,DF ? BC,

则 AE ? BF ? AB =



CD3

(乙)点 P(x,y)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上的动点, 25 9

则 2x+y 的最大值为



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15、(本小题满分 12 分)

已知 f (x)= a · b -1,其中向量 a =( 3 sin2x,cosx), b =(1,2cosx)(x∈R)
⑴求 f (x)的单调递增区间;

⑵在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,f (A)=2,a= 3 ,b=3,求边长

c 的值。

16、(本小题满分 14 分)

数列{an}是公比为

q

的等比数列,a1=1,an+2=

an?1 ? 2

an

(n∈N*)

⑴求{ an }的通项公式;

⑵令 bn=n an,求{bn }的前 n 项和 Sn。

17、(本小题满分 14 分)

如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAC⊥平面 ABC,且△SAC 是正三角形, △ABC 是等

腰直角三角形,其中 AC=CB=2a,O 是 AC 的中点.

(1) 求证:SO⊥AB;

(2) 求二面角 B-SA-C 的大小的正切值.

S

18、(本小题满分 14 分)
某工厂可以用两种不同原料生产同一种产品,若采用甲原料,

每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙

种原料,每吨成本 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克。

C

现在预算每日总成本不得超过 6000 元,运费不得超过 2000

B

元,问此工厂每日最多可生产多少千克产品?

O

19、(本小题满分 14 分)

A

如图,点 A、B 分别是椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴的左、右端点,F 为椭圆的右焦点,直 36 20

线 PF 的方程为 3x ? y ? 3 2 ? 0 且 PA⊥PF。

⑴求直线 PA 的方程;

⑵设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于│MB│,求椭圆上的点

到点 M 的距离 d 的最小值。 y
20. (本题满分 12 分)

已知

f

?

x?

?

bx ?1
?ax ?1?2

? ??

x

?

?

1 a

,a

?

0

? ??



f

?1?

?

log16

2,

f ??2? ?P1

⑴求函数 f ? x? 的表达式;

A

OM F B x

⑵定义数列 an ? [1 ? f (1)][1 ? f (2)]?[1 ? f (n)] ,求数列?an? 的通项;

⑶求证:对任意的 n ? N*

有 (a1

?

1)2 2

? (a2

?

1)2 2

?

(a3

?

1)2 2

???

(an

?

1)2 2

?

1 4

.


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