《函数y=Asin(wx+φ)的图像课件 -_图文

§8 函数y=Asin(ωx+ ?)的
图像与性质(一)

在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到 形如y=Asin(ω x+ ? )的函数(其中A,ω ,? 是常 数),例如:在简谐振动中位移与时间的函数关系 就是形如y=Asin(ω x+ ? )的函数.这个函数有什么 性质?它与y=sinx有什么关系?

显然,函数y ? sin x是函数y ? A sin(?x ? ?)的特 殊情况,其中A ? 1,? ? 1,? ? 0.
下面我们利用函数y ? sin x的性质和图像来研究 函数y ? A sin(?x ? ?)的性质和图像.分析在函数 y ? A sin(?x ? ?)中,参数A,?,?对函数及 其图像的影响.
? 3? ? x ? ? ? 0 , , ? , ,2? . 五点法实质
2 2

探究点1 振幅A对三角函数图像的影响

例1

作函数 y = 2sin x 和 y =

说明它们与函数y=sinx的关系. 解:(1)列表.

1 sin x 的简图,并 2

x
y= sin x

0 0 0

? 2

?
0 0 0

1
2
1 2

3? 2 - 1
- 2 1 2

2?
0

y=2sin x
1 y= sin x 2

0
0

0

(2)画图

y

1 y ? sin x 2

O

x

(3)确定周期
令f1 ? x ? ? sin x, f 2 ? x ? ? 2sin x, f 3 ? x ? ? 1 sin x, 从f1 ? x ? 到 2 f 2 ? x ?,f 3 ? x ?,函数的周期是否发生了变化?

根据诱导公式和周期函数的定义,不难看出这三个 函数的周期没有变化,都是 2?. 利用周期性,把 ? 0, 2?? 上的简图向左、右延拓就可以得到函数y ? 2sin x, 1 y ? sin x在R上的图像. 2

(4)讨论性质.
? ? ? ? 3? ? 从图像上可看出,在区间? 0, 2?? 上,函数y ? 2sin x在 ?0, ? 和 ? , 2? ? ? 2? ? 2 ? ? ? 3? ? 上是增加的,在 ? , ? 上是减少的; ?2 2 ?

函数y ? 2sin x与x轴交点的横坐标是0, ?, 2?; 函数y ? 2sin x的值域是 ? ?2, 2 ?,最大值是 2,最小值是 ? 2.

从函数图像和解析式可以看到,对于同一个x
值,y=2sinx的函数值是y=sinx的函数值的2倍,

反映在图像上,是y=sinx图像上每个点的横坐标
不变,而纵坐标伸长为原来的2倍,就得到

y=2sinx的图像. 类似地,对于同一个x值,y= 1 sinx的函数值是
2

y=sinx的函数值的

1 2

,反映在图像上,是y=sinx图像
2

上每个点的横坐标不变,而纵坐标缩短为原来的 1 ,
就得到y= 1 sinx的图像.
2

1 ? ? ? ? 3? ? 类似地,在区间? 0, 2??上,函数y ? sin x在 ?0, ? 和 ? , 2? ? 2 ? 2? ? 2 ? ? ? 3? ? 上是增加的,在 ? , ? 上是减少的; ?2 2 ?

1 函数y ? sin x与x轴交点的横坐标是0, ?, 2?; 2 1 1 1 ? 1 1? 函数y ? sin x的值域是 ? ? , ?,最大值是 ,最小值是 ? . 2 2 2 ? 2 2?

提升总结:参数A对函数y=Asin(?x+?)的影响
函数y=Asinx (A>0且A≠1)的图像可以看 作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标变化为 原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. 由上例可以看出:在函数y=Asinx(A>0) 中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和 最小值,通常称A为振幅.

变式练习: 描述下列曲线,可以由正弦曲线如何变换得到

3 (1)函数y ? sin x的图像可以看作是将y ? sin x的图像上所有点 2 3 的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 2 1 (2)函数y ? sin x的图像可以看作是将y ? sin x的图像上所有点 3 1 的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 3

3 (1) y ? sin x. 2

1 (2) y ? sin x. 3

探究点2 参数?对函数y=Asin(?x+?)的影响 ? ? 例2 画出函数y ? sin (x ? )和y ? sin(x ? )的简图,并说明 4 6 它们与函数y ? sin x的关系. 采用类比法 解:(1)列表

(2)画图
?

?
4

1

y

? y ? sin(x ? ) 6

O ?1

?
6

2? ?

x

? 从函数图像和解析式可以看出,把函数y ? sin x的图像向左平移 个单位长 4 ? ? 度就可以得到函数y ? sin (x ? )的图像;把函数y ? sin x的图像向右平移 个 4 6 ? 单位长度就可以得到函数y ? sin (x ? )的图像. 6

π y ? sin(x ? ) 4

(3)确定周期
令f1 ? x ? ? sin (x ? ? ? ) , f 2 ? x ? ? sin (x ? ) , 从y ? sin x到f1 ? x ?, 4 6 f 2 ? x ?,函数的周期是否发生了变化?

根据诱导公式和周期函数的定义,不难看出这三个函数的周期 没有变化,都是 2?.利用周期性,把简图向左、右延拓就可以得 ? ? 到函数y ? sin(x ? ), y ? sin(x ? )在R上的图像. 4 6

(4)讨论性质
? ? ? 7? ? 从图像上可看出,在区间 ? ? , 上,函数 y ? sin(x ? )在 ? 4 ? 4 4 ? ? ? ?? ? 5? 7 ? ? ? ? 5? ? ? , ?和? , 上是增加的,在 ? , 上是减少的; ? ? ? ? 4 4? ? 4 4 ? ?4 4 ?

? ? 3? 7 ? 函数y ? sin(x ? )与x轴交点的横坐标是 ? , , ; 4 4 4 4 ? 函数y ? sin(x ? )的值域是 ? ?1,1?,最大值是1,最小值是 ? 1. 4

? ? ? 13? ? 类似地,在区间 ? , 上,函数y ? sin(x ? )在 ? 6 ?6 6 ? ? ? 2? ? ? 5? 13? ? ? 2 ? 5? ? , ?和? , 上是增加的,在 ? , ? 上是减少的; ? ? ?6 3 ? ? 3 6 ? ?3 3?
? ? 7 ? 13? 函数y ? sin(x ? )与x轴交点的横坐标是 , , ; 6 6 6 6 ? 函数y ? sin(x ? )的值域是 ? ?1,1?,最大值是1,最小值是 ? 1. 6

提升总结:参数 ?对函数y=Asin(?x+?)的影响

函数y=sin(x+?)的图像可以看作是把y=sinx的图
像上所有的点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平 移|?|个单位长度而得到的. 在函数y=sin(x+φ)中,φ决定了x=0时的函 数值,通常称φ为初相,x+φ为相位.

变式练习: 描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到

(1)

π 解: (1)函数y = sin(x + )的图像可以看作是将y = sinx的图像上所 6 π 有点向左平移 个单位长度而得到的. 6 π (2)函数y = sin(x - ) 的图像可以看作是将y = sinx的图像上所 3 π 有点向右平移 个单位长度而得到的. 3

y ? sin( x ? ). 6

?

(2)

y ? sin( x ? ). 3

?

? 1.若将某函数的图像向右平移 以后所得到的图像的函数式 2 ? 是y ? sin(x ? ),则原来的函数表达式为( ) 4 A 3? ? A.y ? sin(x ? )     B.y ? sin(x ? ) 4 2 ? ? ? C.y ? sin(x ? )      D.y ? sin(x ? ) ? 4 4 4

参数A(A>0),φ对函数y=Asin(ω x+φ)图 像的影响 (1)将函数y=sinx的图像上所有点的纵坐标短或伸长到 原来的A 倍(横坐标不变)得到函数y=Asinx的图像. (2)将函数y=sinx的图像上所有点向左(φ>0)或向右 (φ<0) 平移|φ|个单位长度得到y=sin(x+φ)的 图像.

(3)将函数y=sin(ω x+φ)的图像上所有点的纵坐 标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A

倍(横坐标不变)得到函数y=Asin(ω x+φ)的图像.

把一页书好好地消化,胜过匆匆地阅读一 本书.

——麦考莱


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