高一班课 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数


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三角函数

第一节
【知识精要】
1.角的概念的推广

任意角和弧度制及任意角的三角函数

(1)定义;(2)分类;(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构 成一个集合 S={β|β=α+k· 360°,k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式 (1)定义:1 弧度的角;(2)弧长和扇形面积公式

3.任意角的三角函数的定义和三角函数线

【注意事项】 (1)注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一 类是象限角,第二、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制 度必须一致,不可混用. (3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况. y (4) 三角函数的定义中, 当 P(x, y)是单位圆上的点时有 sin α=y, cos α=x, tan α=x, y x y 但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α=r,cos α = r,tan α=x.
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【双基再现】
1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 2.下列说法正确的是( B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同 D.若 β=α+k· 360°(k∈Z),则 α 和 β 终边相同 3.已知 α 是第二象限的角,则 180°-α 是第________象限的角. ) ) B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.三角形的内角必是第一、二象限角

【典例精析】
α 【例 1】若角 α 是第二象限角,则2是( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 )

? ? ? k k ? ? ? 180° +45° ,k∈Z? ,N=?x?x=4· 180° +45° ,k∈Z ?,那 【例 2】设集合 M=?x?x=2· ? ? ? ? ? ?

么(

)

A.M=NB.M?NC.N?MD.M∩N=?

【例 3】 (1)已知扇形的周长是 6,面积是 2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 B.4C.1 或 4 D.2 或 4

)

(2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?

2

【例 4】 (1)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与 4 单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为5,则 cos α=________.

2m (2)已知角 α 的终边上一点 P(- 3,m)(m≠0),且 sin α= 4 ,则 m=________.

【例 5】已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

【习题精选】
cos α 1.若 sin αtan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( A.第一象限角 )

B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 )

2.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( )

A.(cos θ,sin θ)B.(-cos θ,sin θ)
3

C.(sin θ,cos θ)D.(-sin θ,cos θ) 1 4.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α=5x,则 tan α=( 4 3 3 4 A.3B.4C.-4D.-3 5.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则 sin α 等于( A.sin 2 B.-sin 2C.cos 2 D.-cos 2 ) )

6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α∈(0,π)的弧度数 为( ) π π A.3 B.2C. 3D.2
? ? ? π π 7.集合?α?kπ+4≤α≤kπ+2,k∈Z ?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ? ? ?

)

8.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是( A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

)

π sin θ cos θ tan θ 9.已知角 α=2kπ-5(k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y=|sin θ|+|cos θ|+|tan θ|的 值为( ) D.-3

A.1B.-1C.3

10.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐标为__________. 11.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一 2 5 点,且 sin θ=- 5 ,则 y=________. 12.在(0,2π)内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为____________________.
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