2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件1新人教A版选修2_

1.3.1 函数的单调性与导数 核心必知 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材,回答下列问题. (1)观察教材,回答下列问题: ①函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(0,a)上的单调性是 什么?h′(t)的符号是正还是负? 【答案】h(t)在(0,a)上为增函数,h′(t)>0. ②函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(a,b)上的单调性 是什么?h′(t)的符号是正还是负? 【答案】h(t)在(a,b)上为减函数,h′(t)<0. (2)观察教材函数的单调性与其导函数的正负有什么关系? 【答案】①在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=1>0,y(x)是增函数; ②在区间(-∞,0)内,y′(x)=2x<0,y(x)是减函数; 在区间(0,+∞)内,y′(x)=2x>0,y(x)是增函数; ③在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=3x2≥0,y(x)是增函数; ④在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′(x)=-x12<0,y(x)是减函数. (3)观察教材,函数 f(x)在(0,a)和(a,+∞)上都是单调递增 的,但在(0,a)内的图象“陡峭”,在(a,+∞)内的图象“平缓”, 试比较 f(x)在(0,a)和(a,+∞)内导数的大小有什么关系? 【答案】在(0,a)上的导数值大于在(a,+∞)上的导数值. 1 (4)观察函数 f(x)= x ,x∈(0,+∞)的图象,试比较图象在 (0,1)和(1,+∞)上的“陡峭”或“平缓”与 f′(x)在(0,1)和 (1,+ ∞)内的大小有什么关系? 【答案】在(0,1)内图象“陡峭”,在(1,+∞)内图象“平缓”, 导函数 f′(x)在(0,1)内的绝对值大于在(1,+∞)内的绝对值. 2.归纳总结,核心必记 (1)函数的单调性与其导数正负的关系 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调 f′(x)<0 单调 f′(x)=0 常数函数 (2)函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上: 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 小 慢 比较“平缓 ”(向上或向下) 问题思考 (1)如果在区间(a,b)内恒有 f′(x)=0,则 f(x)有什么特性? 【答案】f(x)为常数函数,不具有单调性. (2)在区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 f(x)在此区间上单调递增, 反之也成立吗? 【答案】不一定成立.比如 y=x3 在 R 上为增函数,但其在 x =0 处的导数等于零.也就是说 f′(x)>0 是 y=f(x)在某个区间上 单调递增的充分不必要条件 (3)下图为导函数 y=f′(x)的图象,则函数 y=f(x)的单调区间 是什么? 【答案】单调递增区间:(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞); 单调递减区间:[-3,-2],[1,3]. 知识点 1 函数与导函数图象间的关系 讲一讲 1.(1)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示, 则导函数 y=f′(x)的图象可能为( D ) (2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x) 的图象只可能是( D ) 【解析】 (1)由函数的图象可知:当 x<0 时,函数单调递增, 导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即导数先正 后负再正,对照选项,应选 D. (2)从 f′(x)的图象可以看出,在区间????a,a+2 b????内, 导数单调递增; 在区间????a+2 b,b????内,导数单调递减.即函数 f(x)的图象在????a,a+2 b???? 内越来越陡,在????a+2 b,b????内越来越平缓,由此可知,只有选项 D 符合. 类题通法 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注 意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个 区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于 零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 练一练 1.(1)函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数的图象大致 是( ) 【解析】因为函数 f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上都是单调 递减的,所以 f′(x)<0. 【答案】D (2)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x) 的递增区间是________. 【解析】由图象可知,f′(x)>0 的解集为(-∞,0)∪(2,+∞), 故 f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞). 【答案】 (-∞,0),(2,+∞) 知识点 2 判断(证明)函数的单调性 思考 1 若函数 f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是 单调递增(或递减)函数,则 f′(x)满足什么条件? 【答案】f′(x)≥0(或 f′(x)≤0). 思考 2 若函数 f(x)在(a,b)上满足 f′(x)>0(或 f′(x)<0),则 f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性? 【答案】若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上为增函数; 若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)上为减函数. 思考 3 如何判断(证明)可导函数 f(x)在(a,b)上的单调性? 【答案】利用 f′(x)的符号,规律方法同[思考 2]. 讲一讲 2.求证:函数 f(x)=ex-x-1 在(0,+∞)内是增函数, 在(-∞,0)内是减函数. 证明:由于 f(x)=ex-x-1,所以 f′(x)=ex-1, 当 x∈(0,+∞)时,ex>1,即 f′(x)=ex-1>0. 故函数 f(x)在(0,+∞)内为增函数, 当

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