2015-2016学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷


2015-2016 学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4,5},则 A∩?UB=( A.{1,3,6} B.{1,3} C.{1} D.{2,4,5} 2. (5 分)如图所示的斜二测直观图 表示的平面图形是( A.平行四边形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.长方形 ) ) )

3. (5 分)函数 f(x)=e2+x﹣2 的零点所在的区间是( A. (﹣2,﹣1)

B. (﹣1,0) C. (1,2) D. (0,1)

4. (5 分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

A. 5. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1

B.

C. ,则 f(﹣1)的值是(

D. )

6. (5 分)在下列关于直线 l、m 与平面 α、β 的命题中,真命题是( A.若 l? β,且 α⊥β,则 l⊥α B.若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α D.若 l⊥β,且 α⊥β,则 l∥α )



C.若 α∩β=m,且 l⊥m,则 l∥α

7. (5 分)函数 y=log3|x|的图象大致形状是(

A.

B.

C.

D. )

8. (5 分)直线 l 过点 A(1,2) ,且不经过第四象限,则直线 l 的斜率的取值范围( A.[0, ] B.[0,1] C.[0,2] D. (0, ) 9. (5 分)下列的判断错误的是( )

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A.20.6>20.3

B.log23>1

C.logax?logay=logaxy D.函数

是奇函数

10. (5 分)过点(2,3)的直线 L 被两平行直线 L1:2x﹣5y+9=0 与 L2:2x﹣5y﹣7=0 所 截线段 AB 的中点恰在直线 x﹣4y﹣1=0 上,则直线 L 的方程为( A.5x﹣4y+11=0B.4x﹣5y+7=0 C.2x﹣3y﹣4=0 D.以上结论都不正确 )

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸相应位置. 11. (5 分)函数 f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为 12. (5 分)一个球的体积是 . . .

,则这个球的表面积是

13. (5 分)若直线 2x+y+4=0 与 ax+2y﹣2=0 平行,则这两条平行线间的距离为

14. (5 分)若函数 f(x)=ax(0<a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m= .

15 . ( 5 分)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 ,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 万元.

三.解答题:本大题共 6 小题.共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 16. (12 分)设集合 A={x|2≤x≤4},B={x|x>3,或 x<1},C={x|t+1<x<2t},t∈R. (Ⅰ)求 A∪?UB; (Ⅱ)若 A∩C=C,求 t 的取值范围.

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17. (12 分)某几何体的三视图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)求此几何体的体积.

18. (12 分)已知在△ABC 中,点 A(﹣1,0) ,B(0, (Ⅰ)求边 AB 上高所在直线的方程; (Ⅱ)求△ABC 的面积 S△ABC.

) ,C(1,﹣2) .

19. (12 分)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D、E、F 分别是 BC、AC1、BB1 的中 点. (1)求证:平面 AC1D⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF∥平面 A1B1C1.

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20. (13 分)某网店经营的一红消费品的进价为每件 12 元,周销售量 p(件)与销售价 格 x(元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为 20 元. (1)写出周销售量 p(件)与销售价格 x(元)元的函数关系式; (2)写出利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关系式; (3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大?并求出最大周利润.

21. (14 分)已知函数 f(x)=mx2﹣2mx+n(m>0)在区间[1,3]上的最大值为 5,最 小值为 1,设 (Ⅰ)求 m、n 的值; (Ⅱ)证明:函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数; .

(Ⅲ)若函数 F(x)=g(2x)﹣k?2x 在 x∈[﹣1,1]上有零点,求实数 k 的取值范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4,5},则 A∩?UB=( A.{1,3,6} B.{1,3} C.{1} D.{2,4,5} 【分析】利用集合的补集的定义求出集合 B 的补集;再利用集合的交集的定义求出 A∩ CUB 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5},B={2,4,5}, ∴?UB={1,3,6} A∩?UB={1,3,5}∩{1,3,6}={1,3} 故选:B. )

2. (5 分)如图所示的斜二测直观图 表示的平面图形是(



A.平行四边形 B.等腰梯形

C.直角梯形

D.长方形

【分析】由图形可知底角等于 45°的梯形的原图形是直角梯形,可得结论. 【解答】解:由图形可知底角等于 45°的梯形的原图形是直角梯形. 故选:C.

3. (5 分)函数 f(x)=e2+x﹣2 的零点所在的区间是( A. (﹣2,﹣1)



B. (﹣1,0) C. (1,2) D. (0,1)

【分析】易知函数 f(x)=ex+x﹣2 是增函数且连续,从而判断. 【解答】解:易知函数 f(x)=ex+x﹣2 是增函数且连续, 且 f(0)=1+0﹣2<0,
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f(1)=2+1﹣2>0, ∴f(0)f(1)<0, ∴函数 f(x)=e2+x﹣2 的零点所在的区间是(0,1) 故选:D.

4. (5 分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体,它的侧视图首先应该是一个正方 形,中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,分析对角线的方向,并逐一对照四个答案 中的视图形状,即可得到答案. 【解答】解:由已知中几何体的直观图, 我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确; 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 C 不正确; 而对角线的方向应该从左上到右下,故 B 不正确 故 A 选项正确. 故选:A.

5. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1

,则 f(﹣1)的值是(



【分析】利用分段函数的性质即可得出. 【解答】解:∵函数 f(x)= ∴f(﹣1)=f(2)=log22=1. 故选:D.
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6. (5 分)在下列关于直线 l、m 与平面 α、β 的命题中,真命题是( A.若 l? β,且 α⊥β,则 l⊥α B.若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α D.若 l⊥β,且 α⊥β,则 l∥α



C.若 α∩β=m,且 l⊥m,则 l∥α

【分析】根据线面垂直的定义和定理,注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断, 分析可得答案. 【解答】解:A 不正确,由面面垂直的性质定理可推出;C 不正确,可能 l? α; B 正确,由线面垂直的定义和定理,面面平行的性质定理可推出; D 不正确,由面面垂直的性质定理可知,α∩β=m,且 l⊥m,l⊥β,则 l? α; 故选 B.

7. (5 分)函数 y=log3|x|的图象大致形状是(



A.

B.

C.

D.

【分析】利用对数函数的性质求解. 【解答】解:y=log3|x|= 当 x>0 时,y=log3x 的图象为 ,

当 x<0 时,y=log3(﹣x)的图象为:

∴函数 y=log3|x|的图象大致形状是
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故选:D.

8. (5 分)直线 l 过点 A(1,2) ,且不经过第四象限,则直线 l 的斜率的取值范围( A.[0, ] B.[0,1] C.[0,2] D. (0, ) 【分析】由斜率公式数形结合可得. 【解答】解:∵直线 l 过点 A(1,2) , ∴当直线的倾斜角为 0°,斜率 k=0; 当直线经过原点时,斜率 k′=2, 当直线在如图的区域时不经过第四象限, ∴直线 l 的斜率的取值范围为[0,2], 故选:C



9. (5 分)下列的判断错误的是( A.20.6>20.3 B.log23>1 C.logax?logay=logaxy D.函数 是奇函数



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【分析】A.利用函数 y=2x 的单调性即可判断出正误; B.利用函数 y=log2x 的单调性即可判断出正误; C.利用对数函数的单调性即可判断出正误; D.计算 f(﹣x)与﹣f(x)的关系即可判断出正误. 【解答】解:∵A.20.6>20.3,正确; B.log23>log22=1,正确; C.∵loga(xy)=logax+logay≠=logax?logay,∴不正确; D.∵f(﹣x)= = =﹣f(x) ,x≠0,∴函数 f(x)是奇函数.

综上可得:只有 C 错误. 故选:C.

10. (5 分)过点(2,3)的直线 L 被两平行直线 L1:2x﹣5y+9=0 与 L2:2x﹣5y﹣7=0 所 截线段 AB 的中点恰在直线 x﹣4y﹣1=0 上,则直线 L 的方程为( A.5x﹣4y+11=0B.4x﹣5y+7=0 C.2x﹣3y﹣4=0 D.以上结论都不正确 【分析】设 AB 的中点 C(a,b) ,由线段 AB 的中点恰在直线 x﹣4y﹣1=0 上,知 a﹣4b ﹣1=0,由点 C 到两平行直线的距离相等,知|2a﹣5b+9| b=﹣1,a=4b+1=﹣3.由此能求出 L 的直线方程. 【解答】解:设 AB 的中点 C(a,b) , ∵线段 AB 的中点恰在直线 x﹣4y﹣1=0 上, ∴a﹣4b﹣1=0,a=4b+1 ∵点 C 到两平行直线的距离相等, ∴|2a﹣5b+9| 把 a=4b+1 代入,得 |2(4b+1)﹣5b+9|=|2(4b+1)﹣5b﹣7| ∴|3b+11|=|3b﹣5| 3b+11=﹣3b+5 ∴b=﹣1,a=4b+1=﹣3
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=|2a﹣5b﹣7|

,故

=|2a﹣5b﹣7|



∵直线 L 过点(2,3)和点(﹣3,﹣1) , ∴kL= =

∴L 的直线方程:4x﹣5y+7=0. 故选 B.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸相应位置. 11. (5 分)函数 f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为 (0,+∞) .

【分析】根据对数函数定义得 2x﹣1>0,求出解集即可. 【解答】解:∵f(x)=lg(2x﹣1) 根据对数函数定义得 2x﹣1>0, 解得:x>0 故答案为: (0,+∞)

12. (5 分)一个球的体积是

,则这个球的表面积是

16π .

【分析】由球的体积,由球的体积公式能求出这个球的半径,再由球的表面积的计算公 式能求出结果. 【解答】解:一个球的体积 V= π×r3= 设这个球的半径 r=2,则 4πr2=16π, 故答案为:16π. ,

13. (5 分)若直线 2x+y+4=0 与 ax+2y﹣2=0 平行,则这两条平行线间的距离为 【分析】直线 2x+y+4=0 与 ax+2y﹣2=0 平行,可得﹣2= 间的距离公式即可得出. 【解答】解:∵直线 2x+y+4=0 与 ax+2y﹣2=0 平行, ∴﹣2= ,解得 a=4.



,解得 a.再利用两条平行线

∴ax+2y﹣2=0 化为:2x+y﹣1=0, ∴这两条平行线间的距离= 故答案为: .
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=



14. (5 分)若函数 f(x)=ax(0<a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m= 2或 .

【分析】按 a>1,0<a<1 两种情况进行讨论:借助 f(x)的单调性及最大值先求出 a 值,再求出其最小值即可. 【解答】解:①当 a>1 时,f(x)在[﹣1,2]上单调递增, 则 f(x)的最大值为 f(2)=a2=4,解得:a=2, 最小值 m=f(﹣1)= = ; ②当 0<a<1 时,f(x)在[﹣1,2]上单调递减, 则 f(x)的最大值为 f(﹣1)= =4,解得 a= , 此时最小值 m=f(2)=a2= 故答案为:2 或 . ,

15 . ( 5 分)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 ,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 45.6 万元.

【分析】先根据题意,设甲销售 x 辆,则乙销售(15﹣x)辆,再列出总利润 S 的表达 式,是一个关于 x 的二次函数,最后求此二次函数的最大值即可. 【解答】解:依题意,可设甲销售 x(x≥0)辆,则乙销售(15﹣x)辆, ∴总利润 S=5.06x﹣0.15x2+2(15﹣x)=﹣0.15x2+3.06x+30=﹣0.15(x﹣10.2)2+45.606. 根据二次函数图象和 x ∈ N* ,可知当 x=10 时,获得最大利润 L= ﹣ 0.15 ×102+3.06 × 10+30=45.6 万元. 故答案为:45.6.

三.解答题:本大题共 6 小题.共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 16. (12 分)设集合 A={x|2≤x≤4},B={x|x>3,或 x<1},C={x|t+1<x<2t},t∈R. (Ⅰ)求 A∪?UB;
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(Ⅱ)若 A∩C=C,求 t 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)由 B 与全集 U,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可; (Ⅱ)由 A 与 C 的交集为 C,得到 C 为 A 的子集,确定出 t 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵B={x|x>3,或 x<1}, ∴?UB={x|1≤x≤3}, ∵A={x|2≤x≤4}, ∴A∪?UB={x|1≤x≤4}; (Ⅱ)∵A∩C=C,∴C? A, 当 C=?时,则有 2t≤t+1,即 t≤1; 当 C≠?时,则 ,即 1<t≤2,

综上所述,t 的范围是 t≤2.

17. (12 分)某几何体的三视图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)求此几何体的体积.

【分析】几何体为圆锥与圆柱的组合体,表面由圆锥侧面,圆柱侧面和圆柱底面组成, 根据三视图得出圆锥的高计算即可. 【解答】解:由三视图可知该几何体上部是一个圆锥,下部是一个圆柱, 圆锥与圆柱的底面半径 r=3,圆柱的高为 h1=5,圆锥的高 h2=4. ∴圆锥的母线 l= =5.

(1)圆锥的侧面积 S1=πrl=π×3×5=15π;
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圆柱的侧面积 S2=2πrh1=2π×3×5=30π, 圆柱的底面积 S3=πr2=π×32=9π, ∴几何体的表面积 S=15π+30π+9π=54π. (2)圆柱的体积 V1=πr2h1=π×32×5=45π, 圆锥的体积 V2= = =12π.

∴几何体的体积 V=45π+12π=57π.

18. (12 分)已知在△ABC 中,点 A(﹣1,0) ,B(0, (Ⅰ)求边 AB 上高所在直线的方程; (Ⅱ)求△ABC 的面积 S△ABC. 【分析】 (I)kAB= ,可得边 AB 上高所在直线的斜率为﹣ x+

) ,C(1,﹣2) .

.利用点斜式即可得出.

(II)直线 AB 的方程为:y=

,利用点到直线的距离公式可得点 C 到直线 AB 的距

离 d,利用△ABC 的面积 S△ABC= |AB|d,即可得出. 【解答】解: (I)kAB= = , . (x﹣1) ,即 x+3y+6﹣ =2. =0.

∴边 AB 上高所在直线的斜率为﹣

∴边 AB 上高所在直线的方程为:y+2=﹣ (II)直线 AB 的方程为:y= 点 C 到直线 AB 的距离 d= ∴△ABC 的面积 S△ABC= |AB|d= x+

,|AB|= = +1. = +1.

19. (12 分)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D、E、F 分别是 BC、AC1、BB1 的中 点. (1)求证:平面 AC1D⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF∥平面 A1B1C1.

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【分析】 (1)根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱底面 ABC 为正三角形,D 是 BC 的中 点,可得 AD⊥BC,结合正三棱柱的几何特征,我们可得 CC1⊥AD,由线面垂直的判定 定理可得 AD⊥平面 BCC1B1; 再由面面垂直的判定定理,即可得到答案. (2)取 A1C1 的中点 G,连接 EG、B1G,根据三角形中位线定理可得 EG 平行且等于 AA1 平行且等于 B1F,进而得到 EF∥B1G,再由线面平行的判定定理,即可得到答案. 【解答】证明: (1)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC 又 CC1⊥AD,∴AD⊥平面 BCC1B1; 又∵AD? 平面 AC1D ∴平面 AC1D⊥平面 BCC1B1; (2)取 A1C1 的中点 G,连接 EG、B1G, ∵E、F 分别是 AC1、BB1 的中点, ∴EG 平行且等于 AA1 平行且等于 B1F ∴四边形 EFB1G 为平行四边形, ∴EF∥B1G 又 B1G? 平面 A1B1C1,∴EF∥平面 A1B1C1.

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20. (13 分)某网店经营的一红消费品的进价为每件 12 元,周销售量 p(件)与销售价 格 x(元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为 20 元. (1)写出周销售量 p(件)与销售价格 x(元)元的函数关系式; (2)写出利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关系式; (3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大?并求出最大周利润.

【分析】 (1)根据函数图象为分段函的图象,所以应求 12≤x≤20,与 20<x≤28 两部 分的解析式,由图象上的点分别代入 p=ax+b,求出即可; (2)利用周销售量与利润的积,可得利润周利润 y(元)与销售价格 x(元)的函数关 系式; (3)根据(2)分段求最值,即可得出结论. 【解答】解: (1)由题设知,当 12≤x≤20 时,设 p=ax+b, 则 ,∴a=﹣2,b=50

∴p=﹣2x+50, 同理得,当 20<x≤28 时,p=﹣x+30, 所以 p= ;

(2)当 12≤x≤20 时,y=(x﹣12) (﹣2x+50)=﹣2x2+74x﹣620; 当 20<x≤28 时,y=(x﹣12) (﹣x+30)﹣20=﹣x2+42x﹣380; ∴y= ;

(3)当 12≤x≤20 时,y=(x﹣12) (﹣2x+50)=﹣2x2+74x﹣620, ∴x= 时,y 取得最大值 ;

当 20<x≤28 时,y=(x﹣12) (﹣x+30)﹣20=﹣x2+42x﹣380, ∴x=21 时,y 取得最大值 61;

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>61, 时,周利润最大,最大周利润为 .

∴该消费品销售价格为

21. (14 分)已知函数 f(x)=mx2﹣2mx+n(m>0)在区间[1,3]上的最大值为 5,最 小值为 1,设 (Ⅰ)求 m、n 的值; (Ⅱ)证明:函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数; .

(Ⅲ)若函数 F(x)=g(2x)﹣k?2x 在 x∈[﹣1,1]上有零点,求实数 k 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)根据二次函数的单调性求出 f(1)=1,f(3)=5,求出 m,n 的值即可; (Ⅱ)根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可; (Ⅲ)问题转化为 k=1+2? ﹣2? 在 x∈[﹣1,1]上有解,通过换元得到 k=2t2﹣

2t+1 在 t∈[ ,2]上有解,求出 k 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)=m(x﹣1)2﹣m+n(m>0) , ∵m>0,∴ ,解得: ,

(Ⅱ)由已知得 g(x)=x+ ﹣2, 设 ≤x1<x2, )= ,

∵g(x1)﹣g(x2)=(x1﹣x2) (1﹣ ∵

≤x1<x2,∴x1﹣x2<0,2<x1x2,即 x1x2﹣2>0,

∴g(x1)﹣g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2) , ∴函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数;

(Ⅲ)函数 F(x)=g(2x)﹣k?2x 在 x∈[﹣1,1]上有零点, 即 g(2x)﹣k?2x=0 在 x∈[﹣1,1]上有解, 即 k=1+2? 令 t= ﹣2? 在 x∈[﹣1,1]上有解,

,则 k=2t2﹣2t+1,

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∵x∈[﹣1,1],∴t∈[ ,2], 即 k=2t2﹣2t+1 在 t∈[ ,2]上有解, 2k=2k2﹣2t+1=2 ∴ ≤k≤5, ∴k 的范围是[ ,5]. + , ( ≤t≤2) ,

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