[配套K12]2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1

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3.3.2 极大值与极小值
学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会 灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 函数极值的概念 函数 y=f(x)的图象如图所示.
思考 1 函数在 x=a 处的函数值与附近的函数值有什么大小关系?
思考 2 f′(a)为多少?在 x=a 附近,函数的导数的符号有什么规律?
思考 3 函数在 x=b 处的情况呢?
梳理 (1)极小值点与极小值 函数 y=f(x)在 x=a 处的函数值 f(a)比它在 x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而 且在 x=a 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫 做函数 y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数 y=f(x)在 x=b 处的函数值 f(b)比它在 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而 且在 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫 教育配套资料 K12

教育配套资料 K12 做 函 数 y = f(x) 的 极 大 值 . ________________ 、 ________________ 统 称 为 极 值 点 , ____________和____________统称为极值. 知识点二 求函数 y=f(x)极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 的左侧 f′(x)________0,右侧 f′(x)________0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 的左侧 f′(x)________0,右侧 f′(x)________0,那么 f(x0)是极小值.
类型一 求函数的极值和极值点 例 1 求下列函数的极值: (1)f(x)=2x3+3x2-12x+1; (2)f(x)=3x+3ln x.
反思与感悟 求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数 f′(x); (2)求 f(x)的拐点,即求方程 f′(x)=0 的根; (3)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒:在判断 f′(x)的符号时,借助图象也可判断 f′(x)各因式的符号,还可用特殊值 法判断. 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.
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类型二 已知函数极值求参数 例 2 (1)已知函数 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 处有极值 0,则 a=________,b= ________. (2)若函数 f(x)=13x3-x2+ax-1 有极值点,则 a 的取值范围为________. 引申探究 1.若本例(2)中函数的极大值点是-1,求 a 的值.
2.若例(2)中函数 f(x)有两个极值点,均为正值,求 a 的取值范围.
反思与感悟 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根 的合理性. 跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
类型三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围.
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反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它通过函数的变化情 况,运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交点个数,从而判断方程根的个数. 跟踪训练 3 已知函数 f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数 y=f(x)的图象与 y=13f′(x)+5x+m 的图象有三个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

1.已知函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)有________个 极大值点,________个极小值点.

2.函数 f(x)=x3ex 的极值点 x0=________. 3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为_______________.

4.设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a

的值为________.

5.已知关于

x

的函数

f(x)=-13x3+bx2+cx+bc,若函数

f(x)在

x=1

4 处取得极值-3,则

b

=________,c=________.

1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数 值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数 f(x)在点 x=x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0) =0 且在 x=x0 两侧 f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.

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提醒:完成作业 第 3 章 §3.3 3.3.2

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答案精析

问题导学

知识点一

思考 1 函数在 x=a 处的函数值比它在 x=a 附近的其他点的函数值都小.

思考 2 f′(a)=0,在 x=a 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.

思考 3 函数在 x=b 处的函数值 f(b)比它在 x=b 附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且

在 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.

梳理 (2)极大值点 极小值点 极大值 极小值

知识点二

(1)> < (2)< >

题型探究

例 1 解 (1)函数 f(x)=2x3+3x2-12x+1 的定义域为 R,

f′(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),

解方程 6(x+2)(x-1)=0,

得 x1=-2,x2=1. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

(-∞,-

x

-2

(-2,1)

1

(1,+∞)

2)

f′(x



0



0



)

f(x)



极大值 21



极小值-6



所以当 x=-2 时,f(x)取极大值 21;

当 x=1 时,f(x)取极小值-6.

(2)函数 f(x)=3x+3ln x 的定义域为(0,+∞),

f′(x)=-x32+3x=

x- x2



令 f′(x)=0,得 x=1.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

f′(x)



0

f(x)

↘ 极小值 3

(1,+∞) + ↗

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因此当 x=1 时,f(x)有极小值 3,无极大值. 跟踪训练 1 解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4=ex(ax+a+b)-2x-4,

f′(0)=a+b-4=4,①

又 f(0)=b=4,②

由①②可得 a=b=4.

(2)f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,

f′(x)=ex(4x+8)-2x-4

=4ex(x+2)-2(x+2)

=(x+2)(4ex-2).

解 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=-ln 2, 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

(-∞,- x
2)

-2

(-2,-ln 2) -ln 2 (-ln 2,+∞)

f′(x



0

)



0



f(x)



极大值



极小值



f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值, 极大值为 f(-2)=4(1-e-2). 例 2 (1)2 9 (2)(-∞,1) 引申探究 1.解 f′(x)=x2-2x+a, 由题意得 f′(-1)=1+2+a=0, 解得 a=-3,则 f′(x)=x2-2x-3,经验证可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值. 2.解 由题意得方程 x2-2x+a=0 有两不等正根,设为 x1,x2,
??Δ =4-4a>0, 则?x1+x2=2>0,
??x1x2=a>0, 解得 0<a<1. 故 a 的取值范围是(0,1). 跟踪训练 2 解 (1)因为 f(x)=aln x+bx2+x,
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所以 f′(x)=ax+2bx+1. 依题意得 f′(1)=f′(2)=0,

??a+2b+1=0, 即???a2+4b+1=0,

解方程组得 a=-23,b=-16.

(2)由(1)知,f(x)=-23ln x-16x2+x(x>0),

故 f′(x)=-32x-13x+1

=-

x- 3x

x-

.

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,2)时,f′(x)>0;

当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.

故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值56,在 x=2 处函数取得极大值43-23ln 2.

所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点,x=2 是函数 f(x)的极大值点.

例 3 解 (1)f′(x)=3x2-6,

令 f′(x)=0,

解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0;

当- 2<x< 2时,f′(x)<0.

所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);

单调递减区间为(- 2, 2).

当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2;

当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知,y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.

所以,当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,
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即方程 f(x)=a 有三个不同的实根. 跟踪训练 3 解 由 f(x)=x3-6x2+9x+3, 可得 f′(x)=3x2-12x+9,

∴13f′(x)+5x+m=13(3x2-12x+9)+5x+m

=x2+x+3+m,

由题意可得 x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m 有三个不相等的实根,即 g(x)=x3-7x2+8x-m 的

图象与 x 轴有三个不同的交点. ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),

∴令 g′(x)=0,得 x=23或 x=4.

当 x 变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,23)

2 3

(23,4)

4

(4,+∞)

g′(x)



0



0



g(x)



2678-m



-16-m



则函数 g(x)的极大值为 g(23)=2678-m,极小值为 g(4)=-16-m. ∴由 y=f(x)的图象与 y=13f′(x)+5x+m 的图象有三个不同交点,

?? g 得?

2 3

=6287-m>0,

??g

=-16-m<0,

解得-16<m<2678. 当堂训练 1.2 2 2.-3 3.(-∞,-3)∪(6,+∞) 4.9 5.-1 3

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