高中数学人教版复习课件第八章第7课时-精选文档44页_图文

第八章 平面解析几何
第7课时 抛物线

第八章 平面解析几何
1.抛物线的定义 抛物线是如何定义的? 提示:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不 经 过点F)的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 温馨提醒:当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F 且 垂 直于定直线l的一条直线,不是抛物线.
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第八章 平面解析几何

2.抛物线的标准方程和几何性质

标准 方程

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

图形

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第八章 平面解析几何

标准方程
焦点坐标
准线方程 性 质 对称轴
范围 顶点坐标 离心率

y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)

F(p2,0)

F(-p2,0)

_x_=__-__p2__ ___x_轴____

_x_=__p2____ __x_轴_____

x≥0

__x_≤_0____

_O_(_0_,__0_) _

__e_=__1___

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第八章 平面解析几何

标准方程 x2=-2py(p>0)

x2=2py(p>0)

图形

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第八章 平面解析几何

标准方程

x2=-2py(p>0) x2=2py(p>0)

焦点坐标
准线方程 性 质 对称轴
范围 顶点坐标
离心率

F(0,-p2)

F(0,p2)

__y_=__p2___ __y_轴_____

__y_=__-__p2_ __y_轴_____

___y_≤_0___

__y_≥_0____

_O_(_0_,__0_)_

___e_=__1__

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第八章 平面解析几何

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线

的方程是( C )

A.y2=-8x

B.y2=-4x

C.y2=8x

D.y2=4x

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第八章 平面解析几何

2.(2014·山东济南市模拟考试)若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点

在直线 x-2y-2=0 上,则该抛物线的准线方程为( A )

A.x=-2

B.x=4

C.x=-8

D.x=2

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第八章 平面解析几何

3.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点,且

与抛物线相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( D )

A.4

B.6

C.10

D.16

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第八章 平面解析几何
4.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2,则M到y轴的距 离为_____1___.
5.若抛物线 x2=ay 过点 A??1,14??,则点 A 到此抛物线的焦
5 点的距离为____4____.
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第八章 平面解析几何

抛物线的定义及其应用

(1)(2014·四川成都市诊断性检测)在平面直角坐标系 xOy

中,已知点 A(1,2),若 P 是抛物线 y2=2x 上一动点,则 P 到

y 轴的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为( D )

A. 5 17+1
C. 2

B.

17 2

17-1 D. 2

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第八章 平面解析几何
(2)如果 P1,P2,…,P8 是抛物线 y2=4x 上的点,它们的横坐 标依次为 x1,x2,…,x8,F 是抛物线的焦点,若 x1+x2+… +x8=10,则|P1F|+|P2F|+…+|P8F|=___1_8____. [课堂笔记]
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第八章 平面解析几何
【解析】(1) 如图所示,根据抛物线的定义有:P 到 y 轴的 距离 d 与 P 到点 A 的距离之和,即|PA|+d=|PA|+|PF|-12,
因此求距离之和的最小值可转化为求|PA|+|PF|的最小值, 即为 FA 连线与抛物线相交时取得,
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第八章 平面解析几何

因为|AF|= (1-21)2+22= 217,所以 P 到 y 轴的距离与

P 到点 A 的距离之和的最小值为

17-1 2.

(2)由抛物线的定义,知|PiF|=xi+p2(i=1,2,…,8),

所以|P1F|+|P2F|+…+|P8F|=(x1+x2+…+x8)+4p.

又 p=2,x1+x2+…+x8=10,所以|P1F|+|P2F|+…+|P8F| =18.

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第八章 平面解析几何
利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地运用抛物线上的 点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到 焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问 题的有效途径.
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第八章 平面解析几何

1.(1)在抛物线 C:y=2x2 上有一点 P,若它到点 A(1,3)

的距离与它到抛物线 C 的焦点的距离之和最小,则点 P 的

坐标是( B ) A.(-2,1)

B.(1,2)

C.(2,1)

D.(-1,2)

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第八章 平面解析几何

(2)(2013·高考江西卷)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的

焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交

于点 N,则|FM|∶|MN|=( C )

A.2∶ 5

B.1∶2

C. 1∶ 5

D.1∶3

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第八章 平面解析几何
【解析】(1)由题知点 A 在抛物线内部,根据抛物线定义, 问题等价于求抛物线上一点 P,使得该点到点 A 与到抛物线 的准线的距离之和最小,显然点 P 是直线 x=1 与抛物线的 交点.故所求 P 点的坐标是(1,2).
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第八章 平面解析几何
(2)如图所示,由抛物线定义知|MF|=|MH|,所以|MF|∶|MN| =|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA,则||MHNH||=||OOFA||=12, 则|MH|∶|MN|=1∶ 5, 即|MF|∶|MN|=1∶ 5.
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第八章 平面解析几何
抛物线的标准方程及性质 (1)(2013·高考江西卷)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 其准线与双曲线x32-y32=1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等 边三角形,则 p=____6____.
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第八章 平面解析几何
(2)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦 点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0, 2),则 C 的方程为( C ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x [课堂笔记]
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【解析】(1)

第八章 平面解析几何

如图,在正三角形 ABF 中,DF=p,BD= 33p,∴B 点坐
标为?? 33p,-2p??.又点 B 在双曲线上,故133p2-p432=1,
解得 p=6.
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第八章 平面解析几何

(2)设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N.

由 y2=2px,F(p2,0),∴N 点的坐标为(x0+2 p2,y20).







线











x0



p 2



5





x0



5



p 2

.



y0



2p(5-2p).

∵|AN|=|M2F|=52,∴|AN|2=245.∴(x0+2 2p)2+(y20-2)2=245.

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第八章 平面解析几何

即(5-p24+2p)2+????

2p(25-p2)-2????2=245.



2p(25-2p)-2=0.

整理得 p2-10p+16=0.

解得 p=2 或 p=8.∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x.

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第八章 平面解析几何
(1)求抛物线的标准方程的方法: ①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p, 所以只需一个条件确定 p 值即可. ②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时, 需先定位,再定量. (2)确定及应用抛物线性质的技巧: ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键 是将抛物线方程化成标准方程. ②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.
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第八章 平面解析几何
2.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出 它的焦点坐标与准线方程. 【解】由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则|MA|=|AN|,且 AN= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-( 5)2=2,∴N( 5,±2).
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第八章 平面解析几何
∵N 点在抛物线上,∴5=2a·(±2),即 2a=±52, 故抛物线的方程为 x2=52y 或 x2=-52y.
抛物线 x2=52y 的焦点坐标为??0,58??,准线方程为 y=-58. 抛物线 x2=-52y 的焦点坐标为??0,-58??,准线方程为 y=58.
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第八章 平面解析几何
直线与抛物线的位置关系
(2013·高考浙江卷) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点, 求|MN|的最小值. [课堂笔记]
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第八章 平面解析几何
【解】(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),则p2= 1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. 由?????yx=2=k4xy+,1,消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1.
由???y=xy11x, ??y=x-2,
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第八章 平面解析几何

解得点

M

的横坐标

xM=x12-x1y1=x12-x1x421=

8 4-x1.

同理,点 N 的横坐标 xN=4-8 x2. 所以|MN|= 2|xM-xN|= 2|4-8 x1-4-8 x2|

=8

2|x1x2-4(x1x-1+x2x2)+16|=8

2 k2+1 |4k-3| .

令 4k-3=t,t≠0,则 k=t+4 3.

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第八章 平面解析几何
当 t>0 时,|MN|=2 2 2t25+6t +1>2 2. 当 t<0 时,|MN|=2 2 (5t +53)2+1265≥85 2. 综上所述,当 t=-235,即 k=-43时,|MN|的最小值是85 2.
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第八章 平面解析几何
(1)求抛物线方程,一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的 开口方向,焦点的位置),用待定系数法求解. (2)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线 的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程,但涉及抛 物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整 体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
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第八章 平面解析几何
3.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 55?若存 在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
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第八章 平面解析几何
【解】(1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p×1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, 由?????yy= 2=-4x2,x+t,得 y2+2y-2t=0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,
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第八章 平面解析几何

所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥-12.

另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 55,

可得|-t|= 5

55,

解得 t=±1.

因为-1???-21,+∞??,1∈??-21,+∞??,

所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

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第八章 平面解析几何
抛物线方程的应用 (2012·高考陕西卷) 如图是抛物 线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 __2__6____m.
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第八章 平面解析几何
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py 得 p=1.
∴x2=-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x2= -2y 得 x20=6, ∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m.
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第八章 平面解析几何
本考题就是教材人教A版选修2-1 P74习题A组T8原题.
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第八章 平面解析几何
某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线 形,跨度为 20 米,拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米, 现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过 18 米,目前 吃水线上部分中央船体高 5 米,宽 16 米,且该货船在现在 状况下还可多装 1 000 吨货物,但每多装 150 吨货物,船体 吃水线就要上升 0.04 米,若不考虑水下深度,问:该货船 在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔,为什么?
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第八章 平面解析几何
【解】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2, 由题意知点 A(10,-2)在抛物线上,代入方程求解,得 a= -510,方程即为 y=-510x2.
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第八章 平面解析几何
让船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时,y=-510·82 = - 1.28, 此 时 抛 物 线 上 的 点 B 距 离 水 面 - 1.28+ 6= 4.72(米),又船体水面以上高度为 5 米,所以无法通过;又 5 -4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050 吨,故至少 应再装 1 050 吨货物才能通过,而现在只能多装 1 000 吨, 故无法通过,只能等到水位下降.
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