【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 数列的综合应用训练试题 文


常考问题 9 数列的综合应用

(建议用时:50 分钟) 1.数列{an}的通项公式 an= 解析 an= 1 n+ n+1 1 n+ =-( ,若{an}的前 n 项和为 24,则 n 为________. n+ 1 n- n+1),前 n 项和 Sn=-[(1- 2)+( 2- 3)]

+?+( n- n+1)]= 答案 624

n+1-1=24,故 n=624.

2.在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列 {bn},则此数列的前 n 项和 Sn 取得最大值时 n 的值是________. 解析 因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列{bn},所以新数列的首项为 b1= 2 a1=142,公差为 d′=-2×3=-6,则 bn=142+(n-1)(-6).令 bn≥0,解得 n≤24 , 3 因为 n∈N*,所以数列{bn}的前 24 项都为正数项,从 25 项开始为负数项.因此新数列 {bn}的前 24 项和取得最大值. 答案 24 3.(2013· 盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,存在两项 am,an 使得 1 4 am· an=4a1,则 + 的最小值为________. m n 解析 由 a7=a6+2a5,得 a1q6=a1q5+2a1q4,整理有 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=- 1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾,舍去),又由
m a2 12
+n-2

am· an=4a1,得 aman=16a2 1,即

1 4 1 ? 1 4? 1 = 16a2 1 ,即有 m + n - 2 = 4 ,亦即 m + n = 6 ,那么 + = (m + n) m+n = ? ? 6 m n 6 4m n 3 4m n ? 3 · +5 = ,当且仅当 n =m,即 n=2m=4 时取得最小值2. n m ? 2

?4m+ n +5?≥1?2 ? n m ? 6?
答案 3 2

4.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________. an+1 2 an 3 + 解析 在递推公式 an+1=2an+3×5n 的两边同时除以 5n 1,得 n+1= × n+ ,① 5 5 5 5 an 2 3 2 令 n=bn,则①式变为 bn+1= bn+ ,即 bn+1-1= (bn-1),所以数列{bn-1}是等比数 5 5 5 5 3? ?2?n-1 a1 3 2 3 2? 列, 其首项为 b1-1= -1=- , 公比为 .所以 bn-1=? 即 bn=1- ×? ?-5?×?5? , 5 5 5 5 ?5?
n-1

an - = n,故 an=5n-3×2n 1. 5
1

答案 an=5n-3×2n

-1

5.(2013· 聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1

006 和

a1

007 是方

程 x2-2 012x-2 011=0 的两根,则使 Sn>0 成立的正整数 n 的最大值是________. 解析 由题意知,a1 006+a1 007=2 012>0,a1 006· a1 007=-2 011<0,又因首项为正等差数 列,所以 a1 006>0,a1 007<0,2a1 006=a1+a2 011>0,2a1 007=a1+a2 013<0,即 S2 011>0,S2 013<0, n?a1+an? 又因 Sn= ,n 的最大值为 2 011. 2 答案 2 011 6.已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点 x1,x2,方程 f(x)=m 有两个不同的实 根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为________. π 3π 解析 不妨设 x1<x2,x3<x4.由题意,可得 x1,x2 的值分别为 , ,代入检验. 2 2 1 2π 4π 4π 2π 3π π 若 m=- ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,显然这四个数不能构成 2 3 3 3 3 2 3 等差数列; 1 π 5π π π 3π π 若 m= ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,故这四个数不能构成等差数 2 3 3 2 3 2 2 列; 若 m= 3 π 11π 11π 3π 3π π ,则 x3,x4 的值分别为 , ,因为 - ≠ - ,显然这四个数不能构成 2 6 6 6 2 2 2

等差数列; 若 m=- 答案 - 3 5π 7π π ,则 x3,x4 的值分别为 , ,显然这四个数能构成等差数列,公差为 . 2 6 6 3 3 2

7.(2013· 陕西卷)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析 左边为平方项的(-1)n
+1

倍的和,右边为(1+2+3+?+n)的(-1)n

+1

倍.

+ + n?n+1? 答案 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· 2

S2n 8. (2013· 临沂模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 若 (n∈N*)是非零常数, 则称该数列为“和 Sn

2

等比数列”;若数列{cn}是首项为 2,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等 比数列”,则 d=________. n?c1+cn? 2n?c1+c2n? 解析 由题意可知, 数列{cn}的前 n 项和为 Sn= , 前 2n 项和为 S2n= , 2 2 2n?c1+c2n? 2 S2n 2nd 2 所以 = =2+ =2+ .因为数列{cn}是“和等比数列”,即 Sn n?c1+cn? 4+nd-d 4-d 1+ 2 nd S2n 为非零常数,所以 d=4. Sn 答案 4 9.(2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:
2 2 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N*,都有 Tn< . 64 ?n+2?2a2 n
2 2 2 (1)解 由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得[Sn-(n +n)](Sn+1)=0,由于{an}是正项数

列,所以 Sn+1>0.所以 Sn=n2+n.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,n=1 时,a1=S1=2 适合 上式.∴an=2n. (2)证明 由 an=2n,得 n+1 n+1 bn= = 2 ?n+2?2a2 4n ?n+2?2 n = 1 ? 1 ?1 2- n ? n + 2?2? 16?

1 1 1 1 1 1 ? 1- 2?+? 2- 2?+? 2- 2?+? Tn= ? 3 ? ?2 4 ? ?3 5 ? 16?? 1 1 1 1 +??n-1?2-?n+1?2?+?n2-?n+2?2??

?

? ?

??



1 1 1 ? 1? 1 1? 5 1+ 2- 1+ 2?= . 2- 2 < 2 2 ?n+1? ?n+2? ? 16? ? 64 16?

10.已知函数 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上;数列{bn}满足 b1=2,bn≠1,且(bn- bn+1)· g(bn)=f(bn)(n∈N+). (1)求 an 并证明数列{bn-1}是等比数列; an (2)若数列{cn}满足 cn= n-1 ,证明:c1+c2+c3+?+cn<3. 4 · ?bn-1? (1)解 因为点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上,所以 a2 n=S2n-1.

3

2 2 ? ? ?a1=S1, ?a1=a1, 令 n=1,n=2,得? 2 即? 解得 a1=1,d=2(d=-1 舍去), 2 ?a2=S3, ? ? ??a1+d? =3a1+3d,

则 an=2n-1. 由(bn-bn+1)· g(bn)=f(bn), 得 4(bn-bn+1)(bn-1)=(bn-1)2. 由题意 bn≠1,所以 4(bn-bn+1)=bn-1, bn+1-1 3 即 3(bn-1)=4(bn+1-1),所以 = . bn-1 4 3 所以数列{bn-1}是以 1 为首项,公比为 的等比数列. 4 3?n-1 (2)证明 由(1),得 bn-1=? ?4? . cn= 4
n-1

2n-1 2n-1 an = = n-1 . · ?bn-1? n-1 ?3?n-1 3 4 · ?4?

令 Tn=c1+c2+c3+?+cn, 2n-3 2n-1 1 3 5 则 Tn= 0+ 1+ 2+?+ n-2 + n-1 , 3 3 3 3 3 2n-3 2n-1 1 1 3 5 T = + + +?+ n-1 + n , 3 n 31 32 32 3 3 ① ②

1 1- n-1 3 2n-1 2n-1 2 1 2 2 2 2 2 1 ①-②得, Tn= 0+ 1+ 2+ 3+?+ n-1- n =1+ · - n =2- n-1- 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 1- 3 2n-1 2?n+1? n+1 =2- .所以 Tn=3- n-1 . 3n 3n 3 n+1 所以 c1+c2+c3+?+cn=3- n-1 <3. 3 1 2x+3 11.设函数 f(x)= (x>0),数列{an}满足 a1=1,an=f?a ?(n∈N*,且 n≥2). 3x ? n-1? (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?+(-1)n 1· anan+1, 若 Tn≥tn2 对 n∈N*恒成立, 求实


数 t 的取值范围. 1 2× +3 a 1 -1 2 n ? ? 解 (1)因为 an=f a = =an-1+ (n∈N*,且 n≥2), 1 3 ? n-1? 3× an-1 2 所以 an-an-1= .因为 a1=1, 3

4

2 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 的等差数列. 3 2n+1 所以 an= . 3 (2)①当 n=2m,m∈N*时, Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+?+(-1)2m 1a2ma2m+1


=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+?+a2m(a2m-1-a2m+1) 4 4 a2+a2m =- (a2+a4+?+a2m)=- × ×m 3 3 2 1 1 =- (8m2+12m)=- (2n2+6n). 9 9 ②当 n=2m-1,m∈N*时, 1 1 - Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m 1a2ma2m+1=- (8m2+12m)+ (16m2+16m+3) 9 9 1 1 = (8m2+4m+3)= (2n2+6n+7). 9 9

?-9?2n +6n?,n为正偶数, 所以 T =? 1 ?9?2n +6n+7?,n为正奇数,
2 n 2

1

1 要使 Tn≥tn2 对 n∈N*恒成立, 只要使- (2n2 9

+6n)≥tn2,(n 为正偶数)恒成立. 5? 1? 6? ? * 只要使- ?2+ ?≥t,对 n∈N 恒成立,故实数 t 的取值范围为?-∞,- ?. n? 9? 9? ?

5


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