2.4 指数函数、对数函数、幂函数教案-高一必修1苏教版


第二十九课时 指数函数、 对数函 数、幂函数
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例 2、已知 f(x)=

a· ? a ? 2 2
x

2 ?1
x

( x ? R ),



学习要求
1、进一步巩固指数、函数,幂函数的 基本概念。 2、能运用指数函数,对数函数,幂函 数的性质解决一些问题。 3、掌握图象的一些变换。 4、能解决一些复合函数的单调性、奇 偶性等问题。 【精典范例】 例 1、已知 f(x)=x ·(
3

f(x)满足 f(-x)=-f(x). (1)求实数 a 的值; (2)判断函数的单调性。 【解】 :(1)函数 f(x)的定义域为 R, 又 f(x)满足 f(-x)= -f(x), 所以 f(-0)= -f(0),即 f(0)=0. 所以
2a ? 2 2 ? 0

,解得 a=1,

(2)设 x1<x2,得 0<2x1<2x2, 则 f(x1) -f(x2)=
2(2 (2
x 1 x 1

2 2

x 1 x 1

?1 ?1

?

2 2

x 2 x 2

?1 ?1

1 2 ?1
x

?

1 2

); =
?2
x 2 x 2

(1)判断函数的奇偶性; (2)证明:f(x)>0. 【解】 :(1)因为 2x-1≠0,即 2x≠1, 所以 x≠0,即函数 f(x)的定义域为{x ∈R|x≠0} . 又 f(x)=x3(
1 2 ?1
x
3 ?x

) ? 1)

? 1)( 2

所以 f(x1) -f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在定义域 R 上为增函数.

?

1 2

)=

x

2 ?1 ·x , 2 2 ?1
3 x 3 x

f(-x)=

(? x) 2

2 ?1 x 2 ?1 · ?x ? ·x =f(x), 2 2 ?1 2 ?1

例 3、已知 f(x)=log 2 (x+1),当点(x,y) 在 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 运 动 时 , 点 ( , )在函数 y=g(x)的图象上运动。
3 2 x y

所以函数 f(x)是偶函数。 (2)当 x>0 时,则 x3>0,2x>1,2x-1>0, 所以 f(x)=
x 2 ?1 ·x ? 0. 2 2 ?1
3 x

(1)写出 y=g(x)的解析式; (2)求出使 g(x)>f(x)的 x 的取值范围; (3)在(2)的范围内,求 y=g(x) -f(x)的 最大值。 【解】 :(1)令
x 3 ? s, y 2 ? t

又 f(x)=f(-x), 当 x<0 时,f(x) =f(-x)>0. 综上述 f(x)>0.



则 x=2s,y=2t. 因为点(x,y)在函数 y=f(x)的图象上运 动 所以 2t=log2(3s+1), 即 t= log2(3s+1)
2 1

所以 g(x)=

1 2

log2(3s+1)

(2)因为 g(x)>f(x)

所以 log2(3x+1)>log2(x+1)
2

1

即?

? 3 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ?x ? 1 ? 0

? 0 ? x ?1

追踪训练
1、函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最 小值的和为 3,则 a=( ) A.
2

(3)最大值是 log23-

3 2

1 2

B.2 C.4 D.
1 4

例 4 、 已 知 函 数 f(x) 满 足 f(x - 3)=lg
x
2 2

答案:B
.

x ?6

(1)求 f(x)的表达式及其定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)当函数 g(x)满足关系 f[g(x)]=lg(x+1) 时,求 g(3)的值. 解:(1)设 x2-3=t,则 x2=t+3 所以 f(t)=lg 所 f(x)=lg 解不等式
t?3 t?3?6 x?3 ? lg t?3 t?3

2、函数 y=2x 与 y=x2 的图象的交点个 数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:D 3、已知函数 y=log a (3-ax)在[0,1]上 是减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,3) C.(0,3 ) D.[3,+∞) 答案:B )

x?3 x?3

所以 f(x)-lg

? 0 x?3 x?3 x?3

,得 x<-3,或 x>3.

,定义域为(-∞,-
x?3 x?3 x?3 x?3

3)∪(3,+∞). (2)f(-x)=lg =-f(x). (3)因为 f[g(x)]=lg(x+1),f(x)=lg 所以 lg
g (x) ? 3 g (x) ? 3 ? lg( x ? 1)

4、y=log2|ax-1|(a≠0)的图象的对称轴为 x=2,则 a 的值为( ) A.
1 2

? x?3 ? x?3

? lg

? ? lg

B.-

1 2

x?3 x?3



C.2 答案:A

D.-2



5、若函数 f(x)=logax(其中 a>0,且 a≠ 1)在 x∈[2,+∞)上总有|f(x)|>1 成立, 求 a 的取值范围。 答案:( ,1)∪(1,2)
2 1

所以

g (x) ? 3 g (x) ? 3

? x ? 1,

(

g (x) ? 3 g (x) ? 3

? 0 , x ? 1 ? 0 ).

解得 g(x)=

3( x ? 2 ) x

, 6、如果点 P0(x0,y0)在函数 y=a x (a>0

所以 g(3)=5

且 a≠1)的图象上, 那么点 P0 关于直线 y=x 的对称点在函数 y=logax 的图象上 吗?为什么? 答案:点 P0 关于直线 y=x 的对称点在 函数 y=logax 的图象上。证明略。


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