2015-2016学年广东省惠州一中高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016 学年广东省惠州一中高二(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z= ( ) A.﹣4i B.4i C.﹣2i D.2i 2.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对值越接近于 1; ③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把 握越大. 其中真命题的序号为( ) A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 3.复数 在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题中,真命题是( ) x0 A.? x0∈R,使得 e ≤0 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z)

C.? x∈R,2x>x2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分不必要条件 5.已知 =2 , =3 , =4 ,…,依此规律,若 =8 ,

则 a,b 的值分别是( ) A.65,8 B.63,8 C.61,7 D.48,7 6.如图是一算法的程序框图,若输出结果为 S=720,则在判断框中应填入的条件是(



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A.k≤6?

B.k≤7?

C.k≤8?

D.k≤9? ,

7.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则

类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D. F 为抛物线的焦点, ﹣y2=1 的一个交点为 M, 若|MF|=5,

8. 已知抛物线 y2=8x 与双曲线

则该双曲线的渐近线方程为( ) A.5x±3y=0 B.3x±5y=0 C.4x±5y=0 D.5x±4y=0 9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如表数据: 5 6 7 8 9 单价 x(元) 4 84 83 80 75 68 销量 y(件) 90 由表中数据,求得线性回归方程为 =﹣4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直 线左下方的概率为 ( A. 10. 已知 则 有( ) B. C. ) D. ,

b>0) f 1) (a>0, , 曲线 y=f (x) 在点 (1, ( ) 处的切线经过点

A.最小值 9 B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4 11.f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c)的值 一定( ) A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能 12.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A. B. (﹣1,1) (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣l) D. (﹣∞,+∞) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为______.

14.执行如图所示的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=______.

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15.请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a12+a22=1,那么 a1+a2 .证明:构造 2 2 2 函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) =2x ﹣2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x) ≥0,所以△≤0,从而得 4(a1+a2)2﹣8≤0,所以 a1+a2 .根据上述证明方法,若 n 2 2 2 个正实数满足 a1 +a2 +…+an =1 时,你能得到的结论为______. 16.已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,点 A 是椭圆的右顶点,O

为坐标原点, 若椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2, |MA|=|MO|, 则椭圆的离心率为______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.等差数列{an}中,a2=8,S6=66 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求 Tn.

18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调 查了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表: 年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 5 10 15 10 5 5 频数 5 12 8 2 1 支持“生育二胎” 4 (1)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有的 99%把握认为以 45 岁为分界点 对“生育二胎放开”政策的支持度有差异: (2)若对年龄在[5,15)的被调查人中各随机选取两人进行调查,恰好两人都支持“生育二 胎放开”的概率是多少? 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 a= c= 支持 d= 不支持 b= 合计 参考数据: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
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K2=



19. BC=1, CC1=2, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, (Ⅰ)求证:BC1⊥平面 ABC; (Ⅱ)当 时,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.



20.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,定义椭圆 C 的“相关圆”方程为 x2+y2=

.若

抛物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点构成 直角三角形 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程; (Ⅱ)过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 若 OA⊥OB,证明原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N, 过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. (Ⅰ)求证:PM2=PA?PC; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 2 ,OA= OM,求 MN 的长.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. 已知曲线 C1 的参数方程为

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2

cos (θ﹣

) ,

以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到直线 C1 的距离的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m) . (1)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围.

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2015-2016 学年广东省惠州一中高二(下)期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z= ( ) A.﹣4i B.4i C.﹣2i D.2i 【考点】并集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算,结合复数的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4}, ∴zi=4,即 z=﹣4i, 故选:A. 2.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对值越接近于 1; ③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把 握越大. 其中真命题的序号为( ) A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据残差图 的特点,可判断③;根据独立性检验的方法和步骤,可判断④. 【解答】解:①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为 假命题; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1;两个随机变量相关性越弱, 则相关系数的绝对值越接近于 0;故②为真命题; ③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,故为真命 题; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程 度越小,故④为假命题. 故选:D.

3.复数

在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用除法的运算法则:复数 象限,可得﹣a<0,即可判断出. 【解答】解:∵复数 限, ∴﹣a<0,解得 a>0. ∴复数 故选:A. 4.下列命题中,真命题是( A.? x0∈R,使得 e ≤0 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z)
x0

=﹣a﹣3i,由于在复平面内对应的点在第三

=

=﹣a﹣3i,在复平面内对应的点在第三象

在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的充分不必要条件.



C.? x∈R,2x>x2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】A.由? x∈R,ex>0,即可判断出正误; B.取 x= ,则 =﹣2,即可判断出正误;

C.取 x=2,4 时,2x=x2,即可判断出正误; D.a>1,b>1? ab>1,反之不成立,例如取:a=3,b= .即可判断出正误. 【解答】解:A.∵? x∈R,ex>0,因此不正确; B.取 x= ,则 =﹣2,因此不正确;

C.取 x=2,4 时,2x=x2,因此不正确; D.a>1,b>1? ab>1,反之不成立,例如取:a=3,b= .因此 a>1,b>1 是 ab>1 的充 分不必要条件. 故选:D.

5.已知

=2



=3 ) C.61,7



=4

,…,依此规律,若

=8



则 a,b 的值分别是( A.65,8 B.63,8 【考点】归纳推理.

D.48,7

【分析】 仔细观察已知等式的数字可发现:

, 根据此规律解题即可.

【解答】解:由于

=2



=3



=4

,…,

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则得到规律: 故当 n=8 时,b=8,a=28﹣1=63, 故答案为:B.



6.如图是一算法的程序框图,若输出结果为 S=720,则在判断框中应填入的条件是(



A.k≤6?

B.k≤7?

C.k≤8?

D.k≤9?

【考点】程序框图. 【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,根据条件,即可得到结论. 【解答】解:根据程序框图,运行结构如下: S K 9 第一次循环 10 8 第二次循环 90 7 第三次循环 720 此时退出循环,故应填 K≤7? 故选 B.

7.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D.

【考点】类比推理. 【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类 比求四面体的体积即可. 【解答】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R,
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所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

8. 已知抛物线 y2=8x 与双曲线

F 为抛物线的焦点, ﹣y2=1 的一个交点为 M, 若|MF|=5,

则该双曲线的渐近线方程为( ) A.5x±3y=0 B.3x±5y=0 C.4x±5y=0 D.5x±4y=0 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得 m=3,进而 得到 M 的坐标,代入双曲线的方程,可得 a,再由渐近线方程即可得到所求. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0) ,准线方程为 x=﹣2, 设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得 |MF|=m+2=5,解得 m=3, 由 n2=24,可得 n=±2 . 将 M(3, )代入双曲线 ﹣y2=1,

可得

﹣24=1,解得 a= ,

即有双曲线的渐近线方程为 y=± x. 即为 5x±3y=0. 故选 A. 9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如表数据: 单价 x(元) 4 销量 y(件) 90 5 84 6 83 7 80 8 75 9 68

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由表中数据,求得线性回归方程为 =﹣4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直 线左下方的概率为 ( A. B. C. ) D.

【考点】回归分析. 【分析】根据已知中数据点坐标,我们易求出这些数据的数据中心点坐标,进而求出回归直 线方程, 判断各个数据点与回归直线的位置关系后, 求出所有基本事件的个数及满足条件两 点恰好在回归直线下方的基本事件个数,代入古典概率公式,即可得到答案. 【解答】解: ∵ =﹣4x+a, ∴a=106, ∴回归直线方程 =﹣4x+106; 数据(4,90) , (5,84) , (6,83) , (7,80) , (8,75) , (9,68) . 6 个点中有 2 个点在直线的下侧,即(5,84) , (9,68) . 则其这些样本点中任取 1 点,共有 6 种不同的取法, 其中这两点恰好在回归直线两侧的共有 2 种不同的取法, 故这点恰好在回归直线下方的概率 P= = . 故选:B. = (4+5+6+7+8+9)= , = (90+84+83+80+75+68)=80

10. 已知 则 有( )

b>0) f 1) (a>0, , 曲线 y=f (x) 在点 (1, ( ) 处的切线经过点



A.最小值 9 B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. f x) 【分析】 求出 ( 的导数, 可得切线的斜率, 由两点的斜率公式, 化简可得 4a+b=1, 由 =(4a+b) ( 【解答】解: ) ,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最小值. (a>0,b>0)的导数为 f′(x)=2ax﹣ ,

可得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 k=2a﹣b, 切点为(1,a+b) ,

可得 2a﹣b=



化为 4a+b=1,

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则有

=(4a+b) (

)=5+ +

≥5+2

=9,

当且仅当 b=2a= 时,取得最小值 9. 故选:A. 11.f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c)的值 一定( ) A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能 【考点】函数恒成立问题;抽象函数及其应用. 【分析】由已知,先将 f(a)+f(b)+f(c)的和求出,再依据其形式分组判断两组的符号, 确定 f(a)+f(b)+f(c)的符号. 【解答】解:f(a)+f(b)+f(c)=a3+b3+c3+a+b+c ∵a+b>0,a+c>0,b+c>0 ∴a+b+c>0 又 a3+b3+c3= (a3+b3+c3+a3+b3+c3) a3+b3=(a+b) (a2﹣ab+b2)=(a+b)[( (a﹣ b)2+ b2] a,b 不同时为 0,a+b>0,故 a3+b3=(a+b) (a2﹣ab+b2)=(a+b)[( (a﹣ b)2+ b2]>0 同理可证得 c3+a3>0,b3+c3>0 故 a3+b3+c3>0 所以 f(a)+f(b)+f(c)>0 故应选 A. 12.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A. B. (﹣1,1) (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣l) D. (﹣∞,+∞) 【考点】其他不等式的解法. 【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后,设左边的式子为 F(x)构成一个函数,把 x=﹣1 代入 F(x)中,由 f(﹣1)=2 出 F(﹣1)的值,然后求出 F(x)的导函数,根据 f′ (x)>2,得到导函数大于 0 即得到 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的增减性即可得到 F(x)大于 0 的解集,进而得到所求不等式的解集. 【解答】解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4) , 则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R 上单调递增, 则 F(x)>0 的解集为(﹣1,+∞) , f x 2x 4 1 ∞ 即 ( )> + 的解集为(﹣ ,+ ) . 故选 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

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13.若复数

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 ﹣6 .

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】因复数是分式且分母含有复数,需要分子分母同乘以 1﹣2i,再进行化简整理,由 纯虚数的定义令实部为零求出 a 的值. 【解答】解:由题意知, ∵ = = ,

是纯虚数,∴a+6=0a,即 a=﹣6.

故答案为:﹣6. 14.执行如图所示的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n= 4 .

【考点】程序框图. 【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作 用是判断 S= >0.8 时,n+1 的值.

【解答】解:根据流程图所示的顺序, 该程序的作用是判断 S= 当 n=2 时, 当 n=3 时, 此时 n+1=4. 故答案为:4 15.请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a12+a22=1,那么 a1+a2 .证明:构造 2 2 2 函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) =2x ﹣2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x) ≥0,所以△≤0,从而得 4(a1+a2)2﹣8≤0,所以 a1+a2 .根据上述证明方法,若 n 2 2 2 个正实数满足 a1 +a2 +…+an =1 时,你能得到的结论为 a1+a2+…+an≤ .
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>0.8 时,n+1 的值.



【考点】类比推理. 【分析】由类比推理知识可构造函数 f(x)=(x﹣a1)2+(x﹣a2)2+…+(x﹣an)2=nx2﹣2 (a1+a2+…+an)x+1,由对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以△≤0,即可得到结论. 【解答】解:构造函数 f(x)=(x﹣a1)2+(x﹣a2)2+…+(x﹣an)2=nx2﹣2(a1+a2+…+an) x+1, 由对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以△≤0,得 a1+a2+…+an≤ 故答案为:a1+a2+…+an≤

16.已知 F1,F2 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点,点 A 是椭圆的右顶点,O

为坐标原点,若椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2,|MA|=|MO|,则椭圆的离心率为 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 过 M 作 MN⊥x 轴, 交 x 轴于 N, 不妨设 M 在第一象限, 从而得到 M ( 由 MF1⊥MF2,利用 即可求出椭圆的离心率. ) ,

【解答】解:如图,椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2,|MA|=|MO|, 不妨设 M 在第一象限,过 M 作 MN⊥x 轴,交 x 轴于 N, ∴N 是 OA 的中点,则 M 点横坐标为 ,M 点纵坐标为 即 M( ∴ ∴4c2=a2+3b2=a2+3a2﹣3c2,即 4a2=7c2,得 2a= ∴椭圆的离心率 e= = 故答案为: . . ) ,又 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , = c, , ,

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17.等差数列{an}中,a2=8,S6=66 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求 Tn.

【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,则有 ,解之可得 a1=6,d=2,进而可

得通项公式; (2)把(1)的结果代入可得 bn 的通项,由列项相消法可得答案. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则有 解得:a1=6,d=2,… ∴an=a1+d(n﹣1)=6+2(n﹣1)=2n+4 (2)bn= = = ﹣ ﹣ … = ﹣ …

… …

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn= ﹣ + ﹣ +…+ =

18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调 查了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表: 年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 5 10 15 10 5 5 频数 5 12 8 2 1 支持“生育二胎” 4 (1)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有的 99%把握认为以 45 岁为分界点 对“生育二胎放开”政策的支持度有差异: (2)若对年龄在[5,15)的被调查人中各随机选取两人进行调查,恰好两人都支持“生育二 胎放开”的概率是多少? 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 a= c= 支持 d= 不支持 b= 合计 参考数据: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= .

【考点】独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)根据统计数据,可得 2×2 列联表,根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即可 得到结论; (2)利用列举法确定基本事件的个数,即可得出恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率.
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【解答】解: (1)2×2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 a=3 支持 b=7 不支持 10 合 计 …

年龄低于 45 岁的人数 c=29 d=11 40

合计 32 18 50

<6.635… 所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.… (2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的 4 人分别为 a,b,c,d,不支持“生育二胎”的 人记为 M,… 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b) , (a,c) , (a, d) , (a,M) , (b,c) , (b,d) , (b,M) , (c,d) , (c,M) , (d,M) .… 设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件 A,… 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (b,c) , (b,d) , (c,d) , ∴ .…

所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二 胎”的概率为 .…

19. BC=1, CC1=2, 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, (Ⅰ)求证:BC1⊥平面 ABC; (Ⅱ)当 时,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.



【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)利用勾股定理的逆定理可得:BC1⊥BC.利用线面垂直的性质定理可得:AB ⊥BC1.进而证明 BC1⊥平面 ABC. (II)由(Ⅰ)知 BC1⊥平面 ABC,可得 BC1 即为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,再利用三棱 柱 ABC﹣A1B1C1 的体积计算公式即可得出. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵BC=1,CC1=2, 则 ∴BC1⊥BC.
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∵AB⊥侧面 BB1C1C,∴AB⊥BC1. ∵AB∩BC=B,∴BC1⊥平面 ABC. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BC1⊥平面 ABC, ∴BC1 即为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

20.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,定义椭圆 C 的“相关圆”方程为 x2+y2=

.若

抛物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点构成 直角三角形 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程; (Ⅱ)过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 若 OA⊥OB,证明原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求 m 的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0)与椭圆 C 的一个焦点重合,椭圆 C 短轴的 一个端点和其两个焦点构成直角三角形, 得到 b=c=1, 由此能求出椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程. 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,由此利用根的判别式、韦

(Ⅱ)联立方程组

达定理、点到直线距离公式,结合已知条件能证明原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并能 求出 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为若抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0)与椭圆 C 的一个焦点重合,所以 c=1 又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以 b=c=1 故椭圆 C 的方程为 ,“相关圆”E 的方程为 …

证明: (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立方程组 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0

△=16k2m2﹣4(1+2k2) (2m2﹣2)=8(2k2﹣m2+1)>0,即 2k2﹣m2+1>0…

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由条件 OA⊥OB 得 3m2﹣2k2﹣2=0… 所以原点 O 到直线 l 的距离是 由 3m2﹣2k2﹣2=0 得

为定值.…

此时要满足△>0,即 2k2﹣m2+1>0,又





,所以

,即





21.已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导数,利用导数的正负,即可讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)求出 g(x)max=g(2)=1,当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx 恒成立,等价于 a≥x ﹣x2lnx 恒成立,然后利用导数求函数 u(x)=x﹣x2lnx 在区间[ ,2]上取得最大值,则实 数 a 的取值范围可求. 【解答】解: (1)h(x)= = +lnx,h′(x)= ,

①a≤0,h′(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增 ②a>0 时,h'(x)>0,则 x∈( ,+∞) ,函数 h(x)的单调递增区间为( h'(x)<0,则 x∈(0, ) ,函数 h(x)的单调递减区间为(0, ) , . (2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣ ) ,

,+∞) ,

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x g′(x) g(x) 0 ﹣3

2

0 ﹣ + 1 递减 极小值 递增 由上表可知,g(x)在 x=2 处取得最大值,即 g(x)max=g(2)=1 所以当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立, 记 u(x)=x﹣x2lnx,所以 a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知 u′(1)=0, 当 x∈( ,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则 u′(x)>0,∴u(x)在 x∈( ,2)上单调 递增; 当 x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则 u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减; 故当 x=1 时,函数 u(x)在区间[ ,2],上取得最大值 u(1)=1, 所以 a≥1,故实数 a 的取值范围是[1,+∞) . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N, 过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. (Ⅰ)求证:PM2=PA?PC; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 2 ,OA= OM,求 MN 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)做出辅助线连接 ON,根据切线得到直角,根据垂直得到直角,即∠ONB+ ∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°,根据同角的余角相等,得到角的相等关系,得到结论. (Ⅱ)本题是一个求线段长度的问题,在解题时,应用相交弦定理,即 BM?MN=CM?MA, 代入所给的条件,得到要求线段的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 ON,因为 PN 切⊙O 于 N, ∴∠ONP=90°, ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON, ∴∠OBN=∠ONB 因为 OB⊥AC 于 O, ∴∠OBN+∠BMO=90°, 故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN ∴PM2=PN2=PA?PC (Ⅱ)∵OM=2,BO=2 ,BM=4
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∵BM?MN=CM?MA=(2 ∴MN=2

+2) (2

﹣2) (2

﹣2)=8,

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. 已知曲线 C1 的参数方程为

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2

cos (θ﹣

) ,

以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到直线 C1 的距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)由 ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,x=ρcosθ,能求出 C2 的直角坐标方程. (Ⅱ)曲线 C1 消去参数,得 C1 的直角坐标方程为 ,求出圆心到直线 C1 的距 离,由此能求出动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 【解答】解: (Ⅰ) 即 ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ) , 2 2 ∴x +y ﹣2x﹣2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.… (Ⅱ)∵曲线 C1 的参数方程为 ∴C1 的直角坐标方程为 , 由(Ⅰ)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 ∴动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 ,… , ,…

.…

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m) . (1)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围. 【考点】其他不等式的解法;函数的定义域及其求法.
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【分析】 (1)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7,解此绝对值不等式求得函数 f(x)的定义域. (2)由题意可得,不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,由于 x∈R 时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥3, 故 m+4≤3,由此求得 m 的取值范围. 【解答】解: (1)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7, 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: ,或 ,或

, 解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) . (2)不等式 f(x)≥2 即|x+1|+|x﹣2|≥m+4, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, 不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4 解集是 R, ∴m+4≤3,m 的取值范围是(﹣∞,﹣1].

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