人教版高一数学必修4平面向量基本定理

§ 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义(难点).2.在平面 内,当选定一组基底后,会用这组基底来表示其他向量(重点).3.会应用平面向量基本定理解 决有关平面向量的综合问题(难点). 课前预习: 预习教材 P93-94 完成下面问题: 知识点 1 平面向量基本定理 条件 结论 基底 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量 对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( (2)零向量可以作为基底.( ) ) ) (3)若 a,b 不共线,则 a+b 与 a-b 可以作为基底.( 知识点 2 两向量的夹角 → → 1.定义:作向量OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° ) 叫做向量 a 与 b 的夹角. 2.特例:(1)θ=0° ,向量 a,b 同向 ; (2)θ=90° ,向量 a,b 垂直 ; (3)θ=180° ,向量 a,b 反向 【预习评价】 → → 在等边△ABC 中,向量AB与BC的夹角是________. 课堂互动: 题型一 对平面向量基本定理的理解 【例 1】 (1)设 O 点是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点,下列向量组中可作为这 ) . 个平行四边形所在的平面的基底的是( → → → → → → → → ①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB. A.①② C.①④ B.①③ D.③④ (2)如果 e1, e2 是平面 α 内两个不共线的向量, 那么下列说法中不正确的是________(填 序号). ①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λe1+μe2 的实数对(λ,μ)有无穷多个; ③若向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则有且只有一个实数 λ,使得 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1 +μ2e2); ④若存在实数 λ,μ 使得 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0. 规律方法 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基 底,反之,则可作基底. (2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表 ? ?x1=x2, 示出来.设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量,若 x1a+y1b=x2a+y2b,则? ? ?y1=y2. 【训练 1】 设 e1,e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1+e2;②e1 -2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2-2e1;④e1+e2 与 e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一 组基底的序号是______ 典例 迁移 (写出所有满足条件的序号). 题型二 用基底表示向量 → → 【例 2】 (1)已知OA=a,OB=b,C 为线段 AO 上距 A 较近的一个三等分点,D 为线 → 段 CB 上距 C 较近的一个三等分点,则用 a,b 表示OD=________; → → (2)如图,?ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M,AB=a,AD=b,试用基底 a,b 表示 → → → MC,MA,MB. 【迁移 1】 → 1→ → 在例 2(2)题中的条件不变,添加“AF= AB”,试用 a,b 表示MF. 3 → → → 【迁移 2】 在例 2(2)题中,若 E,F 分别是边 CD 与 BC 的中点,AC=λAE+μAF,其 中 λ,μ∈R,求 λ+μ 的值. 规律方法 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实 质上是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或 找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量. → → → 【训练 2】 已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足PA+PB+PC=0, → → → 若实数 λ 满足AB+AC=λAP,则 λ 的值为( A.3 C.2 题型三 向量的夹角 【例 3】 已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60° ,设 a+b 与 a 的夹角为 α,a-b 与 a ) 2 B. 3 D.8 的夹角是 β,求 α+β. 规律方法 求两向量夹角的方法 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,作两个向量的夹 角,按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地, a 与 b 的夹角为 θ, λ1a 与 λ2b(λ1, λ2 是非零常数)的夹角为 θ′, 当 λ1λ2<0 时, θ′=180° -θ;当 λ1λ2>0 时,θ′=θ. 【训练 3】 已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a,b 的夹角为 120° ,且|b| =2|a|,则向量 a 与 c 的夹角为________. 课堂反馈: 课堂达标 1.若向量 a 与 b 的夹角为 60° ,则向量-a 与-b 的夹角是( A.60° C.30° 2.下列关于基底的说法正确的是( ) B.120° D.150° ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① C.①③ B.② D.②③ ) → 1 → → 3.在△ABC 中,若AD= (AB+AC),则下列关系式正确的是( 2 A.BD=2CD C.BD=3CD B.BD=CD

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