高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数 习题及详解
一、选择题 1.(2010· 广州检测)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] C [解析] ∵sinα<0,∴α 为第三、四象限角或终边落在 y 轴负半轴上, ∵tanα>0,∴α 为第一、三象限角, ∴α 为第三象限角. 2.(2010· 安徽省 168 中学联考)已知集合 A={(x,y)|y=sinx},集合 B={(x,y)|y=tanx}, 则 A∩B=( A.{(0,0)} B.{(π,0),(0,0)} C.{(x,y)|x=kπ,y=0,k∈Z} D.? [答案] C [解析] 函数 y=sinx 与 y=tanx 图象的交点坐标为(kπ,0),k∈Z. 2π 2π 3.(2010· 河北正定中学模拟)已知角 α 终边上一点 P?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值 ? ? 为( ) 5 A. π 6 2 C. π 3 [答案] B [解析] 由条件知,cosα=sin 2π π 1 sinα=cos =-cos =- , 3 3 2 π 11π ∴角 α 为第四象限角,∴α=2π- = ,故选 B. 6 6 52 4.(2010· 山东师大附中模拟)cos?- 3 π?=( ? ? 1 A.- 2 B.- 3 2 ) 2π π 3 =sin = , 3 3 2 11 B. π 6 5 D. π 3 ) B.第二象限角 D.第四象限角 )

含详解答案

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1 C. 2 [答案] A

D.

3 2

52π π 52π [解析] cos?- 3 ?=cos =cos?17π+3? ? ? ? ? 3 π 1 =-cos =- . 3 2 5.(2010· 河南新乡市模拟)已知角 α 终边上一点 P(-4a,3a)(a<0),则 sinα 的值为( 3 A. 5 4 C. 5 [答案] B [解析] ∵a<0,∴r= ?-4a?2+?3a?2=-5a, 3a 3 ∴sinα= =- ,故选 B. r 5 6.(2010· 广东佛山顺德区质检)函数 f(x)=sinx 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1, a+b f(b)=1,则 cos =( 2 A.0 C.-1 [答案] D a+b π π [解析] 由条件知,a=- +2kπ (k∈Z),b= +2kπ,∴cos =cos2kπ=1. 2 2 2 7. (2010· 青岛市质检)已知{an}为等差数列, a1+a5+a9=π, cos(a2+a8)的值为( 若 则 1 A.- 2 1 C. 2 [答案] A π [解析] 由条件知,π=a1+a5+a9=3a5,∴a5= , 3 2π π 1 ∴cos(a2+a8)=cos2a5=cos =-cos =- ,故选 A. 3 3 2 1 1 1 8.(2010· 衡水市高考模拟)设 a=log tan70° ,b=log sin25° ,c=log cos25° ,则它们的 2 2 2 大小关系为( A.a<c<b C.a<b<c ) B.b<c<a D.b<a<c
含详解答案

)

3 B.- 5 4 D.- 5

) B. 2 2

D.1

)

B.- D. 3 2

3 2

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[答案] A 1 [解析] ∵tan70° >cos25° >sin25° >0,log x 为减函数,∴a<c<b. 2 π 9.(2010· 北京西城区抽检)设 0<|α|< ,则下列不等式中一定成立的是( 4 A.sin2α>sinα C.tan2α>tanα [答案] B π π π 3 [解析] 当- <α<0 时,A、C、D 不成立.如 α=- ,则 2α=- ,sin2α=- ,sinα 4 6 3 2 1 3 1 3 3 3 =- ,- <- ,tan2α=- 3,tanα=- ,cot2α=- ,cotα=- 3,而- 3<- , 2 2 2 3 3 3 此时,cot2α>cotα. 10.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( ) B.cos2α<cosα D.cot2α<cotα )

A.1 C.2010 [答案] C

B.2680 D.1340

nπ π nπ [解析] ∵f(n)=2sin? 3 +2?+1=2cos +1.由 S=S+f(n)及 n=n+1 知此程序框图是 ? ? 3 nπ 计算数列 an=2cos +1 的前 2010 项的和. 3 π 2π 3π 2010π 即 S=?2cos3+1?+?2cos 3 +1?+?2cos 3 +1?+…+?2cos 3 +1? ? ? ? ? ? ? ? ? π 2π 3π 2010π π 2π 3π = 2 ?cos3+cos 3 +cos 3 +…+cos 3 ? + 2010 = 2×335×cos + cos + cos + ? ? 3 3 3 4π 5π 6π cos +cos +cos +2010=2010. 3 3 3 二、填空题

含详解答案

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3 11.(2010· 南京调研)已知角 α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα=- ,则 x 的值为 5 ________. [答案] 10 -6 3 [解析] 根据题意知 tanα= =- ,所以 x=10. x 5 12.已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosB-sinA,tanB-cotC),在第________象限. [答案] 二 π [解析] ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A< , 2 π π π π 0<B< ,0<C< ,且 A+B> ,B+C> , 2 2 2 2 π π π π ∴ >A> -B>0, >B> -C>0, 2 2 2 2 π ∵y=sinx 与 y=tanx 在?0,2?上都是增函数, ? ? π π ∴sinA>sin?2-B?,tanB>tan?2-C?, ? ? ? ? ∴sinA>cosB,tanB>cotC,∴P 在第二象限. 13.在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是______. π 5π [答案] ( , ) 4 4 [解析] 由三角函数定义结合三角函数线知,在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值 π 5π 范围为( , ). 4 4 [点评] 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用.

14.(文)(2010· 上海嘉定区模拟)如图所示,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1 3 的圆)交于第二象限的点 A?cosα,5?,则 cosα-sinα=________. ? ? 7 [答案] - 5

含详解答案

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3 [解析] 由条件知,sinα= , 5 4 7 ∴cosα=- ,∴cosα-sinα=- . 5 5

(理)(2010· 北京延庆县模拟)直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,以 x 轴的正 方向为始边, 为终边(O 是坐标原点)的角为 α, 为终边的角为 β, sin(α+β)=________. OA OB 则 4 [答案] - 5 [解析] 4 将 y=2x+1 代入 x2+y2=1 中得,5x2+4x=0,∴x=0 或- ,∴A(0,1), 5

4 3 3 4 B?-5,-5?,故 sinα=1,cosα=0,sinβ=- ,cosβ=- , ? ? 5 5 4 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=- . 5

π [点评] 也可以由 A(0,1)知 α= , 2 π 4 ∴sin(α+β)=sin?2+β?=cosβ=- . ? ? 5 三、解答题 15.已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= [解析] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 又 cosα= 3 x 3 x,∴cosα= 2 = x. 6 6 x +2 3 1 x.求 sinα+ 的值. 6 tanα

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.
含详解答案

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当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义,有 sinα=- 6 1 , =- 5, 6 tanα

6 5+ 6 1 6 ∴sinα+ =- - 5=- ; tanα 6 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sinα+ = . tanα 6 16.(文)已知 sinθ、cosθ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 sinθ cosθ + 的值. 1-cotθ 1-tanθ

[解析] (1)由韦达定理可得

?sinθ+cosθ= 3-1 ① ? cosθ=m ② ?sinθ·
由①得 1+2sinθ· cosθ=4-2 3. 3 将②代入得 m= - 3,满足 Δ=( 3-1)2-4m≥0, 2 3 故所求 m 的值为 - 3. 2 sinθ cosθ sinθ cosθ (2)先化简: + = + cosθ sinθ 1-cotθ 1-tanθ 1- 1- sinθ cosθ cos2θ-sin2θ sin2θ cos2θ = + = =cosθ+sinθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ cosθ-sinθ = 3-1. (理)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ,且 θ∈(0,2π), (1)求 sinθ cosθ + 的值; 1-cotθ 1-tanθ

(2)求 m 的值; (3)求方程的两根及此时 θ 的值. [解析] (1)由韦达定理可知

?sinθ+cosθ= ? m cosθ= ?sinθ· 2


3+1 2 ②



sinθ cosθ sin2θ cos2θ + = + 1-cotθ 1-tanθ sinθ-cosθ cosθ-sinθ

含详解答案

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=sinθ+cosθ=

3+1 ; 2

2+ 3 (2)由①两边平方得 1+2sinθcosθ= , 2 将②代入得 m= (3)当 m= 3 ; 2

3 时,原方程变为 2 3 3 1 =0,解得 x1= ,x2= , 2 2 2 1

2x2-(1+ 3)x+

?sinθ= 23 ∴? 1 ?cosθ=2

?sinθ=2 或? 3 ?cosθ= 2

π π 又∵θ∈(0,2π),∴θ= 或 . 6 3 17.周长为 20cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, ∴l=20-2r, 1 1 S= rl= (20-2r)· r=(10-r)· r, 2 2 ∴当 r=5 时,S 取最大值. 此时 l=10,设卷成圆锥的底半径为 R,则 2πR=10, 5 ∴R= , π ∴圆锥的高 h= 5 5 π2-1 52-?π?2= , ? ? π

2 2 1 π 5 5 π -1 125 π -1 V= πR2h= ×?π?2· = . 2 3 3 ? ? π 3π

含详解答案


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