[K12学习]广东省佛山市高明区高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最值与导数学案(无

K12 学习教育资源 1.3.3 函数的最值与导数 【学习目标】 理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 【重点、难点】 会用导数求某定义域上函数的最值. 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键.函数的最值是一个整体性的概念.函数极值 是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情 况,是对整个区间上的函数值的比较. 【学习过程】 一.课前预习 阅读教材 P29-31 完成下列问题: 1.函数 f(x)在闭区间上的最值 函数 f(x)在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在上一定能够取得最大 值与最小值,函数的最值必在 处或 处取得. 2.求函数 y=f(x)在上的最大值与最小值的步骤: (1)求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 的点; (2)计算函数 f(x)在区间内 和______的函数值,其中最大的一个为最 大值,最小的一个为最小值. 二.课堂学习与研讨 探究点一 求函数的最值 问题 1 如图,观察区间上函数 y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗? 问题 2 观察问题 1 的函数 y=f(x),你能找出函数 f(x)在区间上的最大值、最小值吗? 若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论? K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值? 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x? ; (2)f(x)=12x+sin x,x? 跟踪训练 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x? ; (2)f(x)=ex(3-x2),x? . 探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)求 f(x)在区间上的最大值. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的 值. 探究点三 函数最值的应用 问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系? 例3 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1.若 xf′(x)≤x2+ax+1 恒成立,求 a 的取值范 围. 跟踪训练 3 设函数 f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的 x∈,都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围. K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 三.【当堂检测】 1.函数 y=f(x)在上 ( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 2.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1) ( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 3.函数 y=x-sin x,x∈???π2 ,π ???的最大值是 A.π -1 B.π2 -1 () C.π D.π +1 4.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间上的最大值为 10,则其最小值为_______ 四.【课堂小结】 1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;函数在一个开区间内 只有一个极值,这个极值就是最值. 2.含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 五.【课后作业】 1.已知 a≤1-x x+ln x 对任意 x∈???12,2???恒成立,则 a 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ?1 (1)若函数 f (x) 在 x ? ?2 处有极值,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f (x) 在 ?? 3,1?上的最大值; (3)若函数 y ? f (x) 在区间 ?? 2,1?上单调递增,求实数 b 的取值范围 K12 学习教育资源

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