江苏省(淮安、宿迁、连云港、徐州四市)2015届高三第二次调研测试数学试题 Word版含解析


江苏省淮安市高三第二次(淮安、宿迁、连云港、徐州四市 第一次)调研测试
【试卷综述】试题试卷结构稳定,考点分布合理,语言简洁,设问坡度平缓,整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷,选择题、填空题比较平和,立足课本,思维量和运算量适当.内容丰富, 考查了重点内容,渗透课改,平稳过渡.针对所复习的内容进行考查,是优秀的阶段性测试卷. 【题文】 一、填空题:本大题共 1 4 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请 把答案直接填写在答题卡相应位置上 【题文】1.己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,则 A 【知识点】并集及其运算.A1 【答案】 【解析】6 解析:∵ A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,∴ A 有 6 个元素,故答案为:6. 【思路点拨】根据集合的基本运算求出 A

B 中元素的个数为_______.

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ,共

B 即可.

【题文】2.设复数 z 满足 i( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为_______. 【知识点】复数相等的充要条件.L4 【答案】 【解析】 ?3 解析:∵ i( z ? 4) ? 3 ? 2i (i 是虚数单位) ,

∴z=

- i ?( 3 2i) 3 + 2i +4 = + 4 = 6 - 3i ,其虚部为﹣3.故答案为:﹣3. i -i i

【思路点拨】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 【题文】3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩,则方差较 小的那组同学成绩的方差为_______.

【知识点】极差、方差与标准差;茎叶图.I2 【答案】 【解析】

88 + 92 + 96 = 92 ,方差为 3 1 32 90 + 91 + 95 2 2 2 ( [ 92﹣ 88) + (92﹣ 92) + (96﹣ 92) ] = ;乙的平均成绩为 = 92 ,方差为 3 3 3 1 14 14 2 2 2 ( [ 92﹣ 90) + (92﹣ 91) + (95﹣ 92) ] = ,所以方差较小的那组同学成绩的方差为 . 3 3 3
14 3
解析:由已知可得甲的平均成绩为

-1-

故答案为:

14 . 3

【思路点拨】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差,比较大小. 【题文】4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名应聘者被录用的机 会均等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用的概率为 _______. 【知识点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式.K4 K5 【答案】 【解析】

5 6

解析:某单位从 4 名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘 2 人,

∵这 4 名应聘者被录用的机会均等,∴甲、乙两人都不被录用的概率为

1 1 = , 2 C4 6

∴甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率 p = 1 -

1 5 5 = ;故答案为: . 6 6 6

【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率,再用间接法求出甲、 乙两人中至少有 1 人被录用的概率. 【题文】5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为_____.

【知识点】程序框图. L1


【答案】 【解析】7 解析:执行一次循环,y=3,x=2,不满足|y﹣x|≥4,故继续执行循环; 执行第二次循环,y=7,x=3,满足|y﹣x|≥4,退出循环 故输出的 y 值为 7,故答案为:7 【思路点拨】利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论. 【题文】6. 已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 ______. 【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)的体积.G8 【答案】 【解析】
3 π 3

解析:∵圆锥的轴截面是正三角形 ABC,边长等于 2

∴圆锥的高 AO =

3 ?2 2 1 3

1 3 ,底面半径 r = ? 2 1 , 2
2

因此,该圆锥的体积 V = p r ? AO

1 2 p1 ? 3 3

3 p 3

-2-

故答案为:

3 p. 3

【思路点拨】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质,可得圆锥底面半径长和高的大小, 由此结合圆锥的体积公式,则不难得到本题的答案. 【 题 文】 7. 已 知

f ( x) 是 定义 在 R 上的 奇 函数 ,当 x ? 0 时 f ( x) ? log2 (2 ? x) , 则

f (0)? f ( 2) 的值为_____.
【知识点】奇函数的性质.B4 【答案】 【解析】 ?2 解析:因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f 0 = 0 ,

()

f ( - 2) = log2 ( 2 + 2) = 2 ,而 f ( 2) = - f ( - 2) = - 2 ,所以 f (0) ? f (2) = - 2 ,
故答案为 ?2 . 【思路点拨】直接利用函数的奇偶性解题即可。 【题文】8. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为______. 【知识点】等差数列的通项公式.D2 【答案】 【解析】?2 即有 a1 + 4d = 解析:设等差数列的公差为 d,a2 ? a8 ? 11 ,则 a1 + d + a1 + 7d = 11 ,

11 11 22 . , 3a3 + a11 = 3 ( a1 + 2d ) + a1 +10d = 4 ( a1 + 4d ) = 4? 2 2 11 ,再由通项公式化简 2

故答案为:22. 【思路点拨】运用等差数列的通项公式,化简已知可得, a1 + 4d =

3a3 ? a11 ,代入即可得到所求值.
2 2 【题文】 9. 若实数 x , y 满足 x ? y ? 4 ? 0 , 则 z ? x ? y ? 6x ? 2 y ? 10 的最小值为_______.

【知识点】点到直线的距离公式.H2
2 2 【答案】 【解析】18 解析:因为 z = x + y + 6 x - 2 y +10 = x + 3

(

) +( y - 1)

2

2

表示的几何意

-3-

义是区域的点 x, y 到 - 3,1 的距离的平方,所以最小值为 - 3,1 到直线 x + y - 4 = 0 的距

(

) (

)

(

)

骣 | - 3 +1 - 4 | 离的平方,即 d = 琪 琪 2 桫
2

2

= 18 ,故答案为 18.

2 2 【思路点拨】先找出 z = x + y + 6 x - 2 y +10 = x + 3

(

) +( y - 1)

2

2

表示的几何意义是区域的

点 x, y 到 - 3,1 的距离的平方,进而求出其最小值即可。

( ) (

)

x2 y 2 【题文】10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 A, B1 , B2 , F 依次为其左顶点、下顶点、 a b
上顶点和右焦点,若直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心 率为______. 【知识点】椭圆的几何性质.H5

1 x y b + = 1, 解析: 根据题意可得直线 AB2 : 直线 B1 F :y = ( x - c) , 2 -a b c 2ac 联立解得 x = ,又因为直线 AB2 与直线 B1 F 的交点恰在椭圆的右准线上,所以有 a- c
【答案】 【解析】

1 2ac a 2 = ,整理得 a2 - ac - 2c2 = 0 ,即 e2 + e - 1 = 0 ,解得 e = - 1 或 ,而椭圆的离心 2 a- c c
率 0 < e < 1 ,故 e =

1 1 ,故答案为 。 2 2

【思路点拨】先根据题意求出直线 AB2 与直线 B1 F ,然后解出交点坐标,再利用交点恰在椭 圆的右准线上得到 a - ac - 2c = 0 ,转化后求出离心率即可. 【题文】11.将函数 y ? 2sin(? x ?
2 2

?
4

)(? ? 0) 的图象分别向左、向右各平移

后,所得的两个图象对称轴重合,则 【知识点】函数 y = Asin wx +j 【答案】 【解析】2

? 的最小值为______.
?
4

? 个单位长度 4

(

) 的图象变换;正弦函数的图象.C3 C4
)(? ? 0) 的图象向左平移

解析:把函数 y ? 2sin(? x ?

? 个单位长度 4

后,所得图象对应的函数解析式为: y = 2sin[w( x + ) -

p 4

骣 w- 1 p 琪 ] = 2sin 琪 wx + p , 4 4 桫

向右平移

? 个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为: 4
骣 w +1 p p ) - ] = 2sin 琪 wx p 。 琪 4 4 4 桫

y = 2sin[w( x -

-4-

∵所得的两个图象对称轴重合,

w- 1 w +1 w- 1 w +1 p = wx p ①,或 wx + p = wx p + kp ②. 4 4 4 4 解①得 w = 0 ,不合题意;解②得 w = 2k ,k∈Z.
∴ wx + ∴ w 的最小值为 2.故答案为:2. 【思路点拨】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式,再由两函数的对称轴 重合得到 wx + 的值. 【题文】12.己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相 平行,则 2a+3b 的最小值为________. 【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系.H1 【答案】 【解析】 25 解析: ∵直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行,

w- 1 w +1 w- 1 w +1 p = wx p 或 wx + p = wx p + kp . 由此求得最小正数 w 4 4 4 4

∴ a b - 3 - 2b = 0 且 5a +12 ∴ 3a + 2b = ab ,即

(

)

0,

2 3 + = 1 ,又 a,b 均为正数, a b

则 2a + 3b = 2a + 3b 琪 琪+

(

)桫 a

骣 2 3 6a 6b 6a 6b = 4 + 9 + + ? 13 2 ? b b a b a

25 .

当且仅当 a = b = 5 时上式等号成立.故答案为:25. 【思路点拨】由两直线平行的条件得到 基本不等式求得最值. 【题文】13.已知函数 f ( x) ? ?
2 ? ?? x , x ? 0, ,则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为______. 2? x 2 x , x ? 0 ? ?

骣 2 3 2 3 + = 1 ,由 a + 3b = ( 2a + 3b) 琪 + 展开后利用 琪 a b a b 桫

【知识点】分段函数求值;不等式的解法.B1 E3 【答案】 【解析】 (??, 3]
2

解析: f ( x) ? ?

?? x 2 , x ? 0, ? 2 ,当 x ? 0 时, - x 2? ? ? x 2 x, x ? 0

0 ;当 x < 0

时, x + 2 x ? 1 ,设 m = f x ,则 f ( f ( x)) ? 3 ,即 f m ? 3 ,
2 当 m ? 0 时,恒有 f m ? 3 ;当 m < 0 时, f m ? 3 ,即 m + 2m

( )

( )

( )

( )

3 ,即 - 3 #m 1 ,

所以 f m ? 3 时有 m ? 由 f x ? 3 可解得 x ?

( )

3 ,即 f ( x) ? 3 ,当 x < 0 时, f ( x) ? 3 恒成立,当 x ? 0 时,

( )

3 ,综上所述,等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为 (??, 3] ,故答案为

-5-

(??, 3] 。
【思路点拨】利用换元法同时结合不等式的解法分类讨论即可。 【题文】 14. 在△ABC 中, 己知 AC ? 3, ?A ? 45 , 点 D 满足 CD ? 2BD , 且 AD ? 13 , 则 BC 的长为_______ . 【知识点】向量数乘的运算及其几何意义. F3

【答案】 【解析】

31 - 3 17 2

解析:根据题意,画出图形,如图所示;

设 BC=x,∴CD=2x,∴D 是 CD 的中点,∴S△ABC=S△ABD; 即

1 1 ?3?AB?sin45°= ? 13 ?AB?sin∠BAD, 2 2

∴sin∠BAD=

3 2 , 2 13
17 ; 26

cos∠BAD=

∴cos∠DAC=cos45° cos∠BAD-sin45° sin∠BAD =

2 17 ? 2 26

2 3 2 ? 2 2 13

17 - 3 , 2 13

在△ACD 中,CD2=AD2+AC2-2AD?AC?cos∠DAC = 13 + 9 - 2创 13 3?

17 - 3 31 - 3 17 , 2 13

∴CD= 31 - 3 17 ,

∴BC=

31 - 3 17 . 2

-6-

故答案为:

31 - 3 17 . 2

【思路点拨】根据题意,画出图形,结合图形,利用同角的三角函数关系,余弦定理,求出 CD 的长,即得 BC 的长. 【题文】二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 1 4 分,18~20 每小题 1 6 分,共计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】15. (本小题满分 14 分) 己知向量 a ? (1, 2sin ? ), b ? (sin(? ? (1)若 a ? b ,求 tan ? 的值: (2)若 a / / b ,且 ? ? (0,

?
3

),1) , ? ? R .

?
2

) ,求 ? 的值.

【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算.F2 F3 【答案】 【解析】(1) tan ? ? ?

π 3 ; (2) ? ? 6 5

解析:(1)因为 a ? b ,所以 a b =0 , ??????????????2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?

? ?

5 3 π? cos ? ? 0 . ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 2 3? 3 . 5

???4 分

因为 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? (2)由 a ∥ b ,得 2sin ? sin ? ? ? 即 2sin ? cos
2

????????6 分

? ?

π? ? ? 1, ??????8 分 3?

π π 1 3 ? 2sin ? cos ? sin ? 1 ,即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 , 3 3 2 2

整理得, sin ? 2? ? 又 ? ? ? 0, 所以 2? ?

? ?

π? 1 ?? 6? 2

??????????11 分

? ?

π? π ? π 5π ? ? ,所以 2? ? ? ? ? , ? , 2? 6 ? 6 6 ?
π π π ? ,即 ? ? . 6 6 6
????????14 分

【思路点拨】 (1)由向量的垂直的性质得到 θ 的三角函数式,然后化简解答; (2)由向量平 行的性质得到 θ 的三角函数式,然后化简解答。 【题文】16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P- ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC. (1)若 AB ? BC,CD ? PB,求证:CP ? PA: (2)若过点 A 作直线 l 上平面 ABC,求证: l //平面 PBC.

-7-

【知识点】线面垂直的判定定理;线面平行的判定定理.G4 G5 【答案】 【解析】(1)见解析; (2) 见解析 解析: (1)因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,平面 PBC 平面 ABC ? BC , AB ? 平面 ABC ,

AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 PBC . ???????????????????2 分
因为 CP ? 平面 PBC ,所以 CP ⊥ AB . ??????????????????4 分 又因为 CP ⊥ PB ,且 PB
AB ? B , AB, PB ? 平面 PAB ,

所以 CP ⊥平面 PAB ,?????????????????????????6 分 又因为 PA ? 平面 PAB ,所以 CP ⊥ PA .?????????????????7 分 (2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥ BC ,垂足为 D .?????????????8 分 因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,又平面 PBC ∩平面 ABC =BC,

PD ? 平面 PBC ,所以 PD ⊥平面 ABC .????????????????10 分
又 l ⊥平面 ABC ,所以 l // PD .????????????????????12 分 又 l ? 平面 PBC , PD ? 平面 PBC , l //平面 PBC .???????????14 分 【思路点拨】 (1)先根据已知条件证明出 AB ⊥平面 PBC , 再结合线面垂直的判定定理即可; (2) 首先证明出 PD ⊥平面 ABC ,再结合 l // PD 以及线面平行的判定定理即可. 【题文】17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知点 A(?3, 4), B(9, 0) ,C, D 分别为线段 OA, OB 上的 动点,且满足 AC=BD. (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程; (2)证明: ? OCD 的外接圈恒过定点(异于原点 O).

【知识点】圆的一般方程;直线的一般式方程. H1 H3
菁优

【答案】 【解析】(1) x ? 7 y ? 5 ? 0 (2) 见解析

-8-

解析:(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,?????????????1 分

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,?????????????3 分 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,??????????????????????? 4 分

3 4 5 5

4 5 ??1 所以直线 CD 的斜率 , ??????????????????5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .??????????6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .????????????????7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m , 因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) ?????????????????????8 分 又设 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ?????????????????10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,????12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 , 令?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x+2 y =0

,所以 ?

? x ? 0, ? x ? 2, (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1.

所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .????????????????14 分 【思路点拨】 (1) 根据条件确定 C, D 的坐标, 根据直线的两点式方程即可求直线 CD 的方程; (2)根据 AC=BD,根据待定系数法表示出 C,D 的坐标,利用圆的一般式方程,即可得到结 论. 【题文】18.(本小题满分 16 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km, AD 为 4 km.,地块的一角是湿地(图中阴 影部分), 其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴, 以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过 边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且 占地面积忽略不计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km),△BEF 的面积为 S(单位: km ).
-92

(I)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3 km ?并说明理由.
2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法.B11 B12 【答案】 【解析】(1) S ?

1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] ; (2) 不存在点 P ,使隔离出的 4

△ BEF 面积 S 超过 3 km 2 。 解析:(1)如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐 标为 (2, 4) .?????????????????????1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .??????????3 分 因为 y ?= 2 x ,???????????4 分 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .?????????5 分

t 2 1 t 2 所以 S ? (2 ? )(4t ? t ) ,??????????????8 分 2 2 1 3 2 所以 S ? (t ? 8t ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .????????9 分 4 1 2 3 4 (2) S ? ? (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,????????12 分 4 4 3 4 由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ? , 3 4 4 所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , 2] 上是减函数,?????14 分 3 3
令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,??????7 分

- 10 -

所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ? 又因为

4 3

64 . 27

64 17 ? 3? ? 3, 27 27 所以不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km 2 .?????16 分
D y C F

P

O(A)

E
(第 18 题)

B x

【思路点拨】 (1)如图,以 A 为坐标原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标为(2,4) .设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 ,把(2,4)代入,可得抛物 线的方程为 y = x2 .由于 y ?= 2 x ,可得过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .可得 E,F 点的坐标, S ?

1 t 1 t 2 (2 ? )(4t ? t 2 ) ,即可得出定义域; (2) S ? (2 ? )(4t ? t ) ,利用导数 2 2 2 2

在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出. 【题文】19.(本小题满分 16 分) 在数列

?an ? 中,已知

a1 ? a2 ? 1, an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N ? , ? 为常数.

(1)证明: a1 , a4, a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2
an ? 2 ?an

,求数列 的前 n 项和 Sn ;

(3)当 ? ? 0 时,数列

?an ? 1? 中是否存在三项

as?1 ? 1, at ?1 ? 1, a p?1 ? 1 成等比数列,

且 s , t , p 也成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由. 【知识点】数列的求和;等比数列的性质;数列递推式.D1 D3 D4 【答案】 【解析】(1) 见解析;(2) 当 ? ? 0时,Sn ? n ,当

? ? 0 时,Sn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2 n?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) . (3)不存在三项 1 ? 22 ?

as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.
解析: (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1,
- 11 -

所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ????????2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,???????????????????3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 , 故 a1 , a4 , a5 成等差数列.??????????????????????4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,??????????5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项,公差为 ? 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,???????????????????6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? , 所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2
an?2 ?an

? 2(2n?1)? . ?????????????????????8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)?
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

???????????????????????9 分
3?

? 2 ?L ? 2

5?

(2 n ?1) ?

2? (1 ? 22 n? ) ? .??????10 分 1 ? 22 ?

(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? , 用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+ 2

????????12 分

假设存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列,

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即 , ???14 分 4 4
2
2 因为 s , t , p 成等比数列,所以 t ? sp ,

- 12 -

所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) , 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t 2 ? sp ,得 s ? t ? p . 这与题设矛盾. 故不存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.?16 分 【思路点拨】 (1)利用递推式可得 a4 , a5 再利用等差数列的定义即可证明; (2)由

an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,令 bn ? an?1 ? an ,利用等差数列的通项
公式可得 bn?1 ? bn ? ? ,即可得出 cn ? 2
an?2 ?an

? 2(2n?1)? .利用等比数列的前 n 项和公式即可
(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2

得出. (3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1) ? ,用累加法可求得 an ? 1+

当 n=1 时也适合,假设存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列, 利用等比数列的通项公式即可得出. 【题文】20.(本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x, a ? R 2

(1)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值: (3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 2

【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求函数的单调区间;利用导数解决不等式 恒成立的问题.B11 B12 【答案】 【解析】(1) (1, ??) ; (2)2; (3) 见解析。 解析: (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,???????????????1 分 2 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 ,
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x
??????????????? 2 分

f ?( x) ?

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) . ???????????????? 4 分

- 13 -

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.??????????????6 分

1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时, , a g ?( x) ? ?? x x
2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a 1 a

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

??????????????????????????8 分 令 h( a ) ?

1 ? ln a , 2a 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. ??????????????????????10 分

方法二: (2)由 f ( x) ≤ ax ?1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

- 14 -

ln x ? x ? 1 问题等价于 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2 ln x ? x ? 1 g ( x) ? 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .???????????????? 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 2 ( x ? x) 2 2 a≥
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 x 2

不妨设 ?

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 . 2

当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? .?????????8 分 所以 g ( x) max ? g ( x0 ) ? 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2 1 1 1 因为 h( ) ? ln 2 ? ? 0 , h(1) ? ? ? 0 2 2 4
所以

1 1 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2 ,即 g ( x)max ? (1, 2) . x0 2

所以 a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.?????????????????? 10 分 (3)当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
2

????????????? 13 分

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ,
2

?????????????????????15 分

所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,

- 15 -

因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 成立.?????????????????????? 16 分 2

【思路点拨】(1)先根据 f(1)的值求出 a 的值,再对原函数求导,利用 f ?( x) ? 0 即可求出单调 减区间;(2) 令

g ( x) = f ( x) - ( ax - 1)

,再对其求导,然后利用 a ≤ 0 时,判断出 g ?( x) ? 0

得到 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,继而结合不等式恒成立求出 a 的最小值; (3) 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即

ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x22 ? x2 ? x1x2 ? 0 ,从而 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
然后结合 ? (t ) 的单调性判断出 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ,所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,
2

因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 成立. 2
【题文】数学 II(附加题部分)

【题文】21.【选做题】本题包括 A, B, C, D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内 作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】A 选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图, 0 是△ABC 的外接回,AB = AC,延长 BC 到点 D,使得 CD = AC,连结 AD 交 O 于点 E.求证:BE 平分 ? ABC

【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【答案】 【解析】见解析 解析:因为 CD ? AC ,所以 ?D ? ?CAD .?????2 分 因为 AB ? AC ,所以 ?ABC ? ?ACB .??????????4 分 因为 ?EBC ? ?CAD ,所以 ?EBC ? ?D .??????6 分 因为 ?ACB ? ?CAD ? ?ADC ? 2?EBC , ?????????8 分 所以 ?ABE ? ?EBC ,即 BE 平分 ?ABC .?????????10 分 【思路点拨】要想得到 BE 平分∠ABC,即证∠ABE=∠DBE,由已知中 AB=AC、CD=AC,结合圆

- 16 -

周角定理,我们不难找出一系列角与角相等关系,由此不难得到结论. 【题文】B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知 a, b ? R ,矩阵 A ? ?

? ?1 a ? ? 所对应的变换 TA 将直线 x ? y ? 1 ? 0 变换为自身 ?b 3 ?

求 a,b 的值。 【知识点】几 种 特 殊 的 矩 阵 变 换 . N2 【答案】 【解析】 a ? 2, b ? ?2
y ) 在变换 T A 的作用下变成点 P?( x?, y?) , 解析:设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x,

? ?1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay , ? ? ? ,得 ? 由? ,?????????????????4 分 ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? y ? ? bx ? 3 y.
y?) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 因为 P?( x?,

(? 1 ? b) x ? (a ? 3) y ? 1 ? 0 , 所以 xⅱ - y - 1 = 0 ,即

????????6 分

y ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,所以 x ? y ? 1 ? 0 . ????????8 分 又因为 P( x,

ì - 1- b = 1, ? 因此 ? 解得 a ? 2, b ? ?2 . í ? ? ? a - 3 = - 1.
【思路点拨】因 为 矩 阵 A ? ?

???????????????10 分

? ?1 a ? ? 所 对 应 的 变 换 把 直 线 x ? y ?1 ? 0 变 换 为 自 身 , 也 3 ?b ?

就是说直线上的点经过变换后没有变,我们可以任取直线上的两点,对其进行变 换 列 出 两 个 方 程 , 通 过 解 方 程 求 得 a, b 的 值 . 【题文】C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 己知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ? x ? acos? , (t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? . ? y ? 2t ? 1 ? y ? a sin ?
5 ? 1 ,求 a 5

(a>0. ? 为参数),点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 的值。 【知识点】参数方程化成普通方程;直线的参数方程.N3 【答案】 【解析】 a ? 1

ì x = t, ? 解析:因为直线 l 的参数方程为 ? , í ? ? ? y = 2t + 1 消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 .??????????????3 分

- 17 -

又因为圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos? ( a ? 0, ? 为参数) , ? y ? a sin ?
5 ,?????????????????8 分 5

所以圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 .??????????????????6 分 因为圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? 故依题意,得 解得 a ? 1 .

5 5 ?a ? ?1 , 5 5

?????????????????????????????10 分

【思路点拨】本题可以通过消参法得到直线和圆的普通方程,再利用点到直线的距离公式求 出点 P 到直线 l 的距离,由于点 P 到直线 l 的距离的最大值为 从而求出 a 的值,得到本题结论. 【题文】D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)

5 +1 ,故可得到本应的等式, 5

1 1 ? ? ab 3 3 若 a ? 0, b ? 0 ,且 a b ,求 a ? b 的最小值.
【知识点】基本不等式 N4 【答案】 【解析】 4 2 解析:因为 a ? 0, b ? 0 ,所以

1 1 2 ? ≥ ,?????????????????3 分 a b ab

又因为 所以 a 3 所以 a 3

1 1 ? ? ab ,所以 ab ≥ 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.??????6 分 a b

? b3 ≥ 2 a3b3 ≥ 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.????????9 分 ? b3 的最小值为 4 2 .?????????????????????10 分

1 1 2 1 1 ? ≥ ? ? ab ab ,结合已知条件 a b 【思路点拨】先由 a ? 0, b ? 0 ,得到 a b 得 ab ≥ 2 ,
然后利用基本不等式可求出结论. 【题文】 【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分.共计 20 分.请在答题卡指定区毕内作答.解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】22.(本小题满分 10 分) 某校开设 8 门校本课程, 其中 4 门课程为人文科学, 4 门为自然科学, 学校要求学生 在 高中三年内从中选修 3 门课程,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学, 2 门自然科学, 若该同学通过人文科 学课程的概率都是

4 3 ,自然科学课程的概率都是 ,且各门课程通过与否相互独立.用 ? 表示 5 4
- 18 -

该同学所选的 3 门课程通过的门数,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望。 【知识点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. K8
菁优

【答案】 【解析】(1)

13 ;(2) 2.3 14

解析:(1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A,
3 C4 1 13 则 P(A)=1 ? 3 ? 1 ? ? ,?????????????????????2 分 C8 14 14

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

13 .???????????3 分 14

(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2, 3 .?????????????????4 分 因为 P(? =0)= ? ? ? =
2

1 ?1? 5 ?4?

2

1 , 80

4 ?1? 1 1 3 1 1 P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? , 5 ?4? 5 4 4 8 4 1 3 1 ? 3 ? 33 1 P(? =2)= ? C2 ? ? + ?? ? = , 5 4 4 5 ? 4 ? 80 4 ? 3? 9 ,???????????????????????8 分 P(? =3)= ? ? ? ? 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为
2 2

?

0

1

2

3

P
所以 E (? )=0 ?

1 80

1 8

33 80

9 20

1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2.3 .????????????10 分 80 80 80 80

【思路点拨】此题主要考查离散型随机变量的期望和方差,此类题也是高考必考的热点,平 时我们要多加练习. 【题文】23.(本小题满分 10 分)
2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物 y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?

1 , 4

过点 M(0,-2)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O).直线 l 过点 M 与抛物 线交于两点 B,C,与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程;

- 19 -

(2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由。 MB MC

【知识点】抛物线的性质.H7 【答案】 【解析】(1) y = x ; (2) 是定值,理由见解析。 解析: (1)由题设知, 2

p 1 1 = - ,即 p = 2 4 2

所以抛物线的方程为 y 2 = x ??????????????????????2 分

(2)因为函数 y = -

x 的导函数为 y ?= -

1 2 x

,设 A( x0 , y0 ) ,

则直线 MA 的方程为 y - y0 = -

1 ( x - x0 ) ,????????????4 分 2 x0 1 1 ? ( x0 ) . 2 x0

因为点 M (0, - 2) 在直线 MA 上,所以 - 2 - y0 = -

ì 1 ? ? ? y0 = - 2 - 2 联立 í ? 2 ? ? ? y0 = x0 .

x0 ,

解得 A(16, - 4) .??????????????5 分

所以直线 OA 的方程为 y = -

1 x . ?????????????????? 6 分 4

设直线 BC 方程为 y = kx - 2 , 由? í

ì ? y 2 = x, ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , ? y = kx 2 ? ?
4k + 1 4 , xB xC = 2 .????????????????? 7 分 2 k k

所以 xB + xC =

ì 1 ? ? y = - x, 8 ? 由í .??????????????????? 8 分 4 ,得 xN = ? 4k + 1 ? y = kx 2 ? ?

- 20 -

x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B 所以 MB MC xB xC xB xC


8 ? 4k + 1

4k + 1 k2 4 k2

8 4k + 1 ? 4k + 1 4

2,

MN MN ? 为定值 2.???????????????????????10 分 MB MC p 1 1 = - ,即 p = 【思路点拨】 (1) 由题设知, ,进而可求得抛物线方程; (2) 对数 2 4 2

y= -

x 求导,可求出直线 MA 的方程,然后求出直线 OA 的方程,设直线 BC 方程为

ì ? y 2 = x, y = kx- 2 ,由 ? ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 ,利用根与系数的关系代入即可. í ? ? ? y = kx - 2

- 21 -


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