推荐学习K12高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数自主训练苏教版必修1

推荐学习 K12 资料 3.3 幂函数 自主广场 我夯基 我达标 1.下列命题中正确的是( ) A.当α =0 时,函数 y=xα 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数 y=xα 的图象关于原点对称,则 y=xα 在定义域内 y 随 x 的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限 思路解析:当α =0 时,函数 y=xα 定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为两条射线,故 A 不正确; 当α <0 时,函数 y=xα 的图象不过(0,0)点,故 B 不正确; 幂函数 y=x-1 的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故 C 不正确; 幂函数的图象都不在第四象限,故 D 正确. 答案:D 2.下列函数中,定义域为(0,+∞)的函数为( ) ?2 A.y= x 3 ?3 B.y= x 2 3 C.y= x 2 思路解析:先把指数式化为根式,再求定义域. 答案:B 3.下列函数中不是幂函数的是( ) D.y=x3 A.y= x B.y=x3 C.y=2x D.y=x-1 思路解析:根据幂函数的定义:形如 y=xα 的函数称为幂函数,可知 C 不是幂函数. 答案:C 1 4.函数 y= x 2 的图象是( ) 1 思路解析:函数 y= x 2 的定义域为(0,+∞),且过(0,0)、(1,1)点. 答案:C 5.下列函数在(-∞,0)上为减函数的是( ) 1 A.y= x 3 B.y=x2 C.y=x3 思路解析:由幂函数的性质可知,y=x2 在(-∞,0)上为减函数. 答案:B D.y=x-2 6.已知函数 f(x)=(a-1)· x a2 ?a?1 当 a=_______________________时,f(x)为正比例函数; 当 a=_______________________时,f(x)为反比例函数; 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 当 a=_______________________时,f(x)为二次函数; 当 a=_______________________时,f(x)为幂函数. 思路解析:当 f(x)为正比例函数时, ?a 2 ? ? a ?1 ? 1, 即 a=-2; ?a ?1 ? 0, 当 f(x)为反比例函数时, ?a2 ? ? a ?1 ? ?1, 即 a=0 或 a=-1; ?a ?1 ? 0, 当 f(x)为二次函数时, ?a2 ? a ? ?a ?1 ? ?1 0, ? 2, 即 a= ? 1 ? 2 13 ; 当 f(x)为幂函数时,a-1=1,即 a=2. 答案:-2 0 或-1 ?1 ? 13 2 2 7.求下列函数的定义域: 1 ?1 (1)y=(3x-2 ) 2 + (2 ? 3x) 3 ; (2)y= (? x ? 1) ? 1 2 . 2 思路解析:注意开方次数的奇偶和分式是否出现. 解答:(1)令 ?3x ? 2 ??2 ? 3x ? ? 0 0 ? ???x ? ???x ? ? 2 3 2 3 ? x> 2 3 , 由此得,函数 y=(3x-2 ) 1 2 + (2 ? 1 ? 3x) 3 的定义域为( 2 ,+∞). 3 (2)令- x ?1 >0 ?x+1<0 ?x<-1, 2 由此得,函数 y= (? x ? 1) ? 1 2 的定义域为(-∞,-1). 2 ?1 ?1 8.若 (a ? 1) 3 < (3 ? 2a) 3 ,试求 a 的取值范围. 思路解析:根据幂函数的性质求解. ?a ? 1 ? 0, ?a ? 1 ? 0, 解答:有三种可能情况: ??3 ??a ? ? 2a 1? ? 3 0?,2a或???3a ? ? 1? 2a ?0,0或????3a ? ? 2a ? 1?3 0, ? 2a. 解得 a∈(-∞,-1)∪( 2 , 3 ). 32 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 3 9.m 为怎样的值时,函数 f(x)=(mx2+4x+m+2 ? )4 +(x2-mx+1)0 的定义域是 R? 思路解析:根据幂函数的性质求解. 解答:因为函数的定义域是 R,所以 ?mx ? ? 2 x ? 4x ? 2 ? mx m?2? ?1 ? 0, 0, (1) (2) 由① ?m ? 0 ???1 ? 0 ? ?m ??16 ? ? 0 4m(m ? 2) ? 0 ? m> 5 -1. 由②Δ 2=m2-4<0,∴-2<m<2. 综上, 5 -1<m<2. 我综合 我发展 2 10.讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 2 思路解析:函数 y= x 5 是幂函数,按幂函数的性质求解. 2 解答:(1)要使 y= x 5 = 5 x2 有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为 R. (2)∵x∈R,∴x2≥0.∴y≥0. (3)f(-x)= 5 (?x)2 = 5 x2 =f(x), 2 ∴函数 y= x 5 是偶函数. (4)∵n= 2 >0, 5 2 ∴幂函数 y= x 5 在[0,+∞)上单调递增. 2 由于幂函数 y= x 5 是偶函数, 2 ∴幂函数 y= x 5 在[-∞,0)上单调递减. (5)其图象如右图所示. 11.幂函数 y=f(x)的图象过点(4, 1 ),求 f(8)的值. 2 思路解析:本题要想求得 f(8)的值,必须要先求得幂函数的解析式. 解答:设 f(x)=a,则 1 =4a,a=- 1 . 2 2 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12

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