河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考数学(理)试题

河南省郑州市第一中学 2018 届高三上学期第二次月考

数学(理)试题

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} ,S ? {1,2,3,4,5} ,T ? {3,5,7},则 S ? (CUT ) ? ( )

A.{1,2,4}

B.{1,2,3,4,5,7}

C.{1,2}

D.{1,2,4,5,6,8}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 2 ,则 z ? z 等于( ) 1? i

A.2

B. 2i

C. ? 2i

D.0

3.执行如图所示的程序框图,如果输入 m ? 36, n ?15,则输出的 n 的值为( )

A.12

B.6

C.3

D.0

4.已知 f (x) ,g(x) 是定义在[a,b] 上连续函数,则“ f (x) ? g(x) 对一切 x ?[a,b] 成立”

是“ f (x) 的最大值小于 g(x) 的最小值”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.如下左图所示的一个正三棱柱被平面 A1B1C1 截得的几何体,其中 AB ? 2 , AA1 ? 3 ,

BB1 ? 2 , CC1 ? 1,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是( )

6.设 x2 ? ( y ?1)2 ? 1,则 x ? y ? 2 的概率为( )

A. 1 4

B. ? ? 2 4?

C. 1 2?

D. 3? ? 2 4?

7.设?, ? 为锐角,且 2? ? ? ? ? , tan? cos ? ? 1,则 x ? ( ) 2 x ? sin ?

A.1

B.2

C. 3

D. 2

8.若非零向量 a, b 的夹角为锐角? ,且 | a | ? cos ? ,则称 a 被 b “同余”.已知 b 被 a “同余”, |b|

则 a ? b 在 a 上的投影是( )

2

2

A. a ? b

|a|

2

2

B. a ? b

2

a

2

2

C. b ? a

|a|

2

2

D. a ? b

|b|

9.已知椭圆

C1



x2 m2

?

y2

? 1(m

? 1) 与双曲线 C2 :

x2 n2

?

y2

? 1(n

?

0) 的焦点重合,e1, e2

分别为 C1, C2 的离心率,则 e12 ? e22 的取值范围为( )

A.[2,??)

B. (0,2)

C. (2,??)

D. (0, 2 ) 2

10.平面? 过正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的面对角线 AB1,且平面? ? 平面 C1BD ,平面? ?

平面 ADD1A1 ? AS ,则 ?A1AS 的正切值为( )

A. 3 2

B. 5 5

C. 3 3

D. 1 2

11.已知点 P(s,t) 在曲线 C : y ? 2 ? x2 上运动,给出以下命题: 2
p1 :在 x 轴上一定存在两个不同的定点 Q, R ,满足 PQ ? PR 为定值; p2 :在 y 轴上一定存在两个不同的定点 Q, R ,满足| PQ ? PR | 为定值;

p3 : (s ? 2)2 ? t 2 的最小值为 1;

p4 : (s ? 2)2 ? (t ? 2 ? 2)2 ? (s ? 2)2 ? t 2 的最大值为 2 3 ? 4 .
则下列命题为真命题的是( )

A. (?p1) ? p2

B. p1 ? (?p3 )

C. p3 ? (?p4 )

D. p2 ? p3

m

? 12.

C C n?m k n?k n

?(



k ?0

A. 2m?n

B.

C

m n

2m

C.

2

n

C

m n

D. 2m Cnm

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知 a 是任意实数,则关于 x 的不等式 (a2 ? a ? 2017)x2 ? (a2 ? a ? 2017)2x?3 的解集





14.已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市,三人分别给出了以下说法:

甲说:“我去过上海,乙也去过上海,丙去过北京.”

乙说:“我去过上海,甲说得不完全对.” 丙说:“我去过北京,乙说得对.”

已知甲、乙、丙三人中恰好有 1 人说得不对,则去过北京的是



15.已知函数 f (x) ?

3 2

sin(x

?

? 6

)

?

1 2

cos(x

?

? 6

)

,若存在

x1,

x2

,?,

xn

满足

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 6? ,且

| f (x1) ? f (x2 ) | ? | f (x2 ) ? f (x3 ) | ??? | f (xn?1) ? f (xn ) |? 12(n ? 2, n ? N *) ,则 n 的最

小值为



16 . 在 斜 三 角 形 ABC 中 , D 为 BC 的 中 点 , 且 ?BAD? ?C ? 900 , 则 ?B 的 值 ?C





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.)

17.对于数列{an}( n ? N? ),若存在 bn ? N ,cn ?{0,1,2,3} ,an ? 4bn ? cn ,则称数列{bn} ,

{cn} 分别为数列{an} 的“商数数列”和“余数数列”.已知数列{an} 是等差数列, Sn 是其

前 n ( n ? N? )项和, a2 ? 4 , S4 ? 22 . (1)求数列{an} 的通项公式;

(2)证明: cn?4 ? cn (?n ? N? ) .
18.为了增强高考与高中学习的关联度,考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语 3 个科 目成绩和高中学业水平考试 3 个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变, 分值不变,不分文理科,外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目, 由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息 技术七科目中自主选择三科. (1)某高校某专业要求选考科目物理,考生若要报考该校该专业,则有多少种选考科目的 选择; (2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合,各学科成绩达到二级的概率都 是 0.8,且三人约定如果达到二级不参加第二次考试,达不到二级参加第二次考试,如果设
甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19.如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为长方体,点 P 是 CD 上的一点.

(1)若

P



DC

的中点,当

BC AB

为何值时,平面

PBC1

?

平面

AA1C1C



(2)若 AB ? 2 , BC ? CC1 ? 1,当 DP ? ?DC(0 ? ? ?1) 时,直线 A1C 与平面 PBC1 所

成角的正弦值是否存在最大值?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20.已知椭圆

C



x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F

和上顶点 B 在直线 3x ?

3y ?3 ? 0

上,A 为椭圆上位于 x 轴上方的一点且 AF ? x 轴,M , N 为椭圆 C 上不同于 A 的两点,且 ?MAF ? ?NAF . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 MN 与 y 轴交于点 D(0, d ) ,求实数 d 的取值范围.

21.已知函数 fa (x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R .

(1)若函数 fa (x) 在 (1,2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

(2)当

x ? (0, e]时,分别求函数

fe2 (x) ?

x2

的最小值和

g(x)

?

ln x x

?

5 2

的最大值,并证

明当 x ? (0, e]时, fe2 (x) ? x2 ? g(x) 成立;

(3)令 ha (x) ? fa (x) ? ax ? (a ?1) ln x ,当 a ? 0 时,判断函数 ha (x) 有几个不同的零点
并证明.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 cos?

在平面直角坐标系中,已知曲线 C 的参数方程为 ? ?y ?

(? 为参数),以坐标原点为 3 sin?

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 过极坐标系内的两点 A( 2, ? ) 和 B(3, ? ) .

4

2

(1)写出曲线 C 的普通方程,并求直线 l 的斜率;

(2)设直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,求| BP | ? | BQ | .

23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| 2x ?1| . (1)若不等式 f (x ? 1) ? 2m ?1(m ? 0) 的解集为[?2,2] ,求实数 m 的值;
2 (2)若不等式 f (x) ? a ? 1 ? | 2x ? 3 | 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
a

试卷答案 一、选择题
1-5:ACCBA 6-10:BAACD 11、12:BD
二、填空题 13.{x | ?1 ? x ? 3} 14.甲、丙 15.8 16.1

三、解答题 17.(1)设等差数列{an} 的公差为 d .

由题意可得

??a1 ? d ? 4

? ??4a1

?

1 2

?

4

?

(4

?1)d

?

解得
22

???da1

?1 ?3

所以 an ? 1? 3(n ?1) ? 3n ? 2 .

(2)证明:因为 an ? 3n ? 2 ,所以 an?4 ? 3(n ? 4) ? 2 ? an ?12 ,

因为 cn 是 an 除以 4 的余数,所以 cn?4 是 an?4 除以 4 的余数,

由 an?4 ? an ? 12 两边同时除以 4,得

左边的余数为 cn?4 ,右边的余数为 cn ? 0 ? cn ,所以 cn?4 ? cn .
18、(1)考生要报考该校该专业,除选择物理外,还需从其他六门学科中任选两科,故共有

C62 ? 15 种不同选择.
(2)因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立,所以参加第二次考
试的总次数 X 服从二项分布 B(9,0.2) ,所以分布列为

所以 X 的数序期望 E(X ) ? 9? 0.2 ? 1.8.

19、(1)要使平面 PBC1 ? 平面 AA1C1C ,只需 PB ? 平面 AA1C1C .

因为四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为长方体,

所以 AA1 ? 平面 ABCD,所以 AA1 ? PB .

又因为 AA1 ? AC ? A ,所以只需 PB ? AC ,

只需 ?BAC ? ?CBP ,只需 ?BAC∽ ?CBP ,

因为 ?PCB ? ?ABC ? ? ,所以只需 BC ? PC ,

2

AB BC

AB

因为 P 为 DC 的中点,所以 BC ? 2 ,所以 BC ?

2
.

AB BC

AB 2

所以当 BC ? AB

2 2

时,平面

PBC1

?

平面

AA1C1C

.

(2)存在.理由如下:建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 B(1,2,0), C(0,2,1), A1(1,0,1), C(0,2,0) ,所以 A1C ? (?1,2,?1),BC1 ? (?1,0,1) ,

由 DP ? ?DC(0 ? ? ?1) 得 P(0,2?,0) ,则 BP ? (?1,2? ? 2,0) ,

设平面

PBC1

的法向量为

n

?

(x,

y,

z)

,则

??n ?

?

BC1

?

0



??n ? BP ? 0

所以

?? ???

x x

? ?

z?0 (2? ?

2)

y

?

,取
0

x

?1 ,则

z

? 1,

y

?

1 2(? ?1)



所以 n ? (1, 1 ,1) , 2(? ?1)

设直线 A1C 与平面 PBC1 所成的角为? ,

则 sin? ? | n ? AC1 | ? | n | ? | AC1 |

|2? 1 |

1??

?

6?

2

?

4(1

1 ?

?)2

2? 1 1? ?

6?

2

?

4(1

1 ?

?)2

令 2 ? 1 ? t ,则 t ? (3,??) , 1 ? t ? 2 ,

1??

1??

所以 sin? ?

t

?

1

?

1

6 ? 2 ? (t ? 2)2 4

6?

3

t2 ?1? 1

6 ? 3(1 ? 1)2 ? 1 t6 6

t4

所以当 1 ? 1 ,即 t ? 6 , ? ? 3 时, sin? 取得最大值 1.

t6

4

20、(1)依题意得椭圆 C 的左焦点为 F(?1,0) ,上顶点为 B(0, 3) ,

故 c ? 1, b ? 3 ,所以 a ? b2 ? c2 ? 2,

所以椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43

(2)设直线 AM 的斜率为 k ,因为 ?MAF ? ?NAF ,所以 AM, AN 关于直线 AF 对称,

所以直线 AN 的斜率为 ? k ,

易知 A(?1, 3) ,所以直线 AM 的方程是 y ? 3 ? k(x ?1) ,

2

2

设 M (x1, y1), N (x2, y2 ) ,

联立

? ??

y

?

3 2

? ?

x

2

?? 4

?

?
y2 3

k(x ?1

?

1)

,消去

y

,得

(3

?

4k

2

)x2

?

(12

?

8k )k x

?

(4k

2

? 12 k

?

3)

?

0



所以

x1

?

?

4k 2 ?12k 3 ? 4k 2

?

3



将上式中的

k

换成

?

k

,得

x2

?

?

4k 2 ?12k 3 ? 4k 2

?

3



所以 kMN

?

y1 x1

? ?

y2 x2

?

k[(x1 ? x2 ) ? 2] x1 ? x2

?

k

(

? 8k 3?

2 ?6 4k 2

? 24k

? 2)

?

1, 2

3 ? 4k 2

所以直线 MN 的方程是 y ? ? 1 x ? d , 2

代入椭圆方程 x2 ? y2 ? 1 ,得 x2 ? dx ? d 2 ? 3 ? 0 , 43

所以 ? ? (?d )2 ? 4(d 2 ? 3) ? 0 ,解得 ? 2 ? d ? 2 ,

又因为 MN 在 A 点下方,所以 ?1? 1 ? 3 ? d ? d ? 1 , 22
所以 ? 2 ? d ?1.

21、(1)由题意得

f

' a

(

x)

?

2x

?

a

?

1 x

?

2x2

? ax x

?1

?

0



(1,2] 上恒成立,



m(x)

?

2x2

?

ax

? 1 ,有

?m(1) ? 0 ??m(2) ? 0



?2 ? ??8 ?

a ?1? 0 2a ?1 ? 0



??a ???a

? ?

?1 ?7
2

,所以

a

?

?

7 2

.

(2)由题意可得 fe2 (x) ? x2 ? e2x ? ln x, x ? 0

令[

fe2 (x)

?

x2 ]'?

e2

?

1 x

?

0 ,则

x

?

1 e2



1 e2

? (0, e] ,

所以

fe2

(x)

?

x2



(0,

1 e2

)

上单调递减,在

(

1 e2

, e)

上单调递增,

所以当

x

?

1 e2

时,

fe2 (x)

?

x2

取最小值

3.

g'

(x)

?

1

? ln x2

x

,令

g'

(x)

?

0

,得

x

?

e



当 0 ? x ? e, g'(x) ? 0 , g(x) 在 (0,e] 上单调递增,

所以

g(

x)max

?

g(e)

?

1 e

?

5 2



因为当

x

? (0,e] 时,[

fe2 (x) ?

x2 ]min

?

3

?

1 2

?

5 2

?

1 e

?

5 2

?

g(x)max ,

所以当 x ? (0, e] 时, fe2 (x) ? x2 ? g(x) .

(3)因为 ha (x) ? fa (x) ? ax ? (a ?1) ln x ,

所以 ha (x) ? ax ? (a ?1) ln x ? fa (x) ? a ln x ? x2 ,

其定义域为 (0,??) ,

ha'

(x)

?

a x

?

2x

?

a

? 2x2 x



因为 a ? 0 ,所以 ha' (x) ? 0 ,所以 ha (x) 在 (0,??) 上单调递减,

( a?1)2
因为 a ? 0 ,所以 (a ?1)2 ? 1, 0 ? [e a ]2 ? 1,

(a?1)2

( a?1)2

所以 ha (e a ) ? (a ?1)2 ?[e a ]2 ? 0 ,

又 ha (1) ? ?1 ? 0 ,所以函数 ha (1) 只有 1 个零点.

22、(1)由题意得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1 , 43

∵ A(1,1), B(0,3) ,∴直线 l 的斜率为 ? 2 .

(2)易知直线

l

的参数方程为

???x

?

? ??

y

? ?

? 3

1t 5 ?2
5

t



t

为参数)

代入 x2 ? y2 ? 1 ,得 19 t 2 ? 48 t ? 24 ? 0 ,

43

5

5

设方程 19 5

t2

?

48 5

t

?

24

?

0 的两个根为 t1, t2 ,

所以 |

BP

|

?

|

BQ

|?|

t1t2

|?

120 19

.

23、解:(1)由题意知,不等式| 2x |? 2m ?1(m ? 0) 的解集为[?2,2] ,

由| 2x |? 2m ?1得 ? m ? 1 ? x ? m ? 1 ,

2

2

∴ m ? 1 ? 2 ,解得 m ? 3 .

2

2

(2)不等式 f (x) ? a ? 1 ? | 2x ? 3 | 等价于| 2x ?1| ? | 2x ? 3 |? a ? 1 ,

a

a

因为不等式 f (x) ? a ? 1 ? | 2x ? 3 | 对任意 x ? R 恒成立, a

所以

(|

2x

?1|

?

|

2x

?

3

|)max

?

a

?

1 a

因为| 2x ?1| ? | 2x ? 3 |?| 2x ?1? (2x ? 3) |? 4 ,

所以 4 ? a ? 1 ,解得 0 ? a ? 2 ? 3 或 a ? 2 ? 3 . a


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