2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数习题 新人教A版选修2-2

第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数 A 级 基础巩固 一、选择题 1.在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数; (2)单调减函数的导数也是单调减函数; (3)单调函数的导数也是单调函数; (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [解析] 分别举反例:(1)y=lnx,(2)y=1x(x>0),(3)y=2x,(4)y=x2,故选 A. 2.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A ) A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤13 [解析] f ′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,∴a≤0. 3.(2017·宣城高二检测)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题 的能力. ∵f(x)=2x+x3-2,0<x<1,∴f ′(x)=2xln2+3x2>0 在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1) 上单调递增. 又 f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至 少有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点. 4.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( B ) A.y=sinx B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=lnx-x [解析] 对于 B,y=xe2,则 y′=e2,∴y=xe2 在 R 上为增函数,在(0,+∞)上也为 增函数,选 B. 5.(2018·商洛模拟)设 f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数 f′(x)的图 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 象可能是( B ) [解析] 由 f(x)的图象可得,在 y 轴的左侧,图象下降,f(x)递减, 即有导数小于 0,可排除 C,D; 再由 y 轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降, 函数 f(x)递减,再递增,后递减, 即有导数先小于 0,再大于 0,最后小于 0, 可排除 A;则 B 正确. 故选 B. 6.若 f(x)=lxnx,e<a<b,则( A ) A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 [解析] 因为 f′(x)=1-xl2 nx, ∴当 x>e 时,f′(x)<0,则 f(x)在(e,+∞)上为减函数,因为 e<a<b, 所以 f(a)>f(b).选 A. 二、填空题 7.(2018·无锡期末)函数 f(x)=x+2cosx(0≤x≤2π )的单调递减区间为(π6 ,5π6 ). [解析] ∵函数 y=x+2cosx,∴y′=1-2sinx<0, ∴sinx>12, 又∵x∈[0,2π ],∴x∈(π6 ,5π6 ),故答案为(π6 ,56π ). 8.(2018·沙市区校级期中)函数 y=x3-x2-x 1 的单调增区间为(-∞,3),(1,+∞). [解析] 由 y=x3-x2-x,∴f′(x)=3x2-2x-1=3(x+13)(x-1). 2 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 令 f′(x)=0,解得 x=-13,1. 列表如下: x (-∞,-13) -13 (-13,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知:函数 f(x)的单调递增是(-∞,-13),(1,+∞); 故答案为(-∞,13),(1,+∞). 三、解答题 9.(2018·天津理,20(1))已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a>1.求函数 h(x) =f(x)-xln a 的单调区间. [解析] 由已知,h(x)=ax-xln a,有 h′(x)=axln a-ln a. 令 h′(x)=0,解得 x=0. 由 a>1,可知当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) h′(x) - 0 + h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). 10.(2017·长沙高二检测)已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex.设 f(x)在区间[-1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. [解析] ∵f(x)=(x2-2ax)ex, ∴f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex =ex[x2+2(1-a)x-2a] 令 f′(x)=0,即 x2+2(1-a)x-2a=0, 解 x1=a-1- 1+a2,x2=a-1+ 1+a2, 其中 x1<x2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表 x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减, ∴x2≥1,即 a-1+ 1+a2≥1, 3 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 ∴a≥34. B 级 素养提升 一

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