高中数学集合逻辑函数向量数列不等式立体几何综合

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体 几何
综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每 小题选出答案后,请填涂在答题卡上.
1. 若非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且若 a ? S ,则必有 6 ? a ? S ,则所有满足上述条件的集合 S 共有

A. 6 个

B. 7 个

C. 8 个

D. 9 个

2.

命题 P :若函数

f

? x? 有反函数,则

f

?

x?

为单调函数;命题

Q



a1 a2

? b1 b2

?

c1 c2

是不等式 a1x2 ? b1x ? c1 ? 0 与 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 ( a1,a2,b1,b2,c1,c2 均不为零)同解的充要条件,则以下是真命 题的为

A. ?P 且 Q B. P 且 Q

C. ?P 或 Q

D. P 或 Q

3. 若函数 f (x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间[a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a ?

A. 2 4

B. 2 2

C. 1 4

D. 1 2

4. 如图,一个空间几何体的三视图如图所示,其中,主视图中 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么
该几何体的体积为

A. 3

B. 3 2

C. 3 2

D. 3

5. 已知函数 f (x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? 2y ? 2 ? 0 平行,若数列{ 1 }的前 n 项和为 f (n)

Sn , 则 S 2012 的值为

A. 2009 2010

B. 2010 2011

C. 2011 2012

D. 2012 2013

6. 若 f (a) ? (3m ?1)a ? b ? 2m ,当 m ?[0,1]时, f (a) ? 1恒成立,则 a ? b 的最大值为

A. 1 3

B. 2 3

C. 5 3

D. 7 3

7. 已知 a 、 b 是不共线的向量, AB ? ?a ? b,AC ? a ? ?b(?,? ? R) ,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为

A. ?? ? 1

B. ?? ? ?1 C. ? ? ? ? 1 D. ? ? ? ? 2

8. 设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2DA) ? (AB ? AC) ? 0, 则 ?ABC 的形状是

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

9. 设函数 f (x) ? ex (sin x ? cos x)(0 ? x ? 2011? ), 则函数 f (x) 的各极大值之和为

e? (1-e2012? )

A.

1-e2?

e? (1-e1006? ) C. 1-e2?

e? (1-e1006? )

B.

1-e?

e? (1-e2010? ) D. 1-e2?

10. y ? f ?x?的定义域为 R,且 f ?2 ? x? ? f ?2 ? x?, f ?7 ? x? ? f ?7 ? x? 在 ?0,7?上只有 f ?1? ? f ?3? ? 0 ,则 f ?x? 在

[?2012,2012] 上的零点个数为

A. 403

B. 402

C. 806

D. 805

11. 函数 f (x) ? 2?x ? 2x 的反函数为 f ?1 (x) ,则使不等式 f ?1(x) ? 2 成立的 x 的取值范围为

A. (? 15 , ??) B.[0,15)

4

4

C. (? 15 , 0) 4

D. (??, ? 15) 4

12.

已知函数

f (x) ?

x3

?

3x2

?1,

g(x)

?

??x ?

?

1 4x

,

x

?

0

,关于方程 g ?? f ? x??? ? a ? 0 ( a 为正实数)的根的叙

???x2 ? 6x ? 8, x ? 0

述有下列四个命题

①存在实数 a ,使得方程恰有 3 个不同的实根;

②存在实数 a ,使得方程恰有 4 个不同的实根;

③存在实数 a ,使得方程恰有 5 个不同的实根;

④存在实数 a ,使得方程恰有 6 个不同的实根;

其中真命题的个数是

A. 3

B. 2

C.1

D. 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相应的空内.

13. 定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是减函数,且函数 y ? f (x ?1) 的图象关于 (1,0) 成中心对称,若 s,t 满足不等式

f (s2 ? 2s) ? ? f (2t ? t2 ) ,则当1? s ? 4 时, t 的取值范围



s

14. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 Sn , 若 a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 , 设

bn ? 2n an ,则b1 ? b2 ? ? bn 的结果为



? ? 15. 已知正项数列?an? (n ? N*,an ? 0) 的前 n 项和 Sn 满足: 2 Sn ? an ?1;设 bn ? ?2an ? 39 ,则数列 bn 的前 n 项
和的最大值为___________.

16. 如图,直线 l ? 平面? ,垂足为 O ,已知长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中 ,

A 1A? 5 , A ?B 6 , A?该D长方8 体做符合以下条件

的自由运动:(1)A ? l ;(2)

C ?? ,则 C1, O 两点间的最大距离为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程 字说明、证明过程或演算步骤.

? ? 17. (本题满分 10 分)已知集合 A ? x x2 ? px ?15 ? 0 ,

书写在答题纸上,并写出文

? ? B ? x x2 ? 5x ? q ? 0 , A B ? ?2,3,5?, A B ? ?3? ,求集合 A 和 B .

? ? 18. (本题满分 12 分)设数列 an 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2 ,点( S n?1 , S n )在直线 nx ? (n ? 1) y ? n2 ? n ( n ? N * )
上.a1=2
(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

(Ⅱ)设 Tn

?

Sn S n?1

?

S n?1 Sn

? 2, 证明: 4 3

? T1

? T2

? T3

? ? ? Tn

? 3.

19. (本题满分 12 分) 阅读下面材料:

根据两角和与差的正弦公式,有
sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ------①

sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ------②

由①+② 得 sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ? ? 2sin? cos ? ------③

令? ? ? ? A,? ? ? ? B 有? ? A ? B , ? ? A ? B

2

2

代入③得 sin A ? sin B ? 2sin A ? B cos A ? B .

2

2

(Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin A ? B sin A ? B ;

2

2

(Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B,C 满足 cos 2A? cos 2B ?1? cos 2C ,试判断 ?ABC 的形状.(提示:如果需要,也可

以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
20. (本题满分 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC中,

PA ? PB ? PC ? AC ? 4, AB ? BC ? 2 2 .

(1)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (2)求直线 PA与平面 PBC 所成角的正弦值; ( 3 ) 若 动 点 M 在 底 面 三 角 形 ABC 上 , 二 面 角 A
值为 2 2 ,求 BM 的最小值.
3
21. (本题满分 12 分)已知正数数列{an } 和{bn}满足:对任 等差数列,且总有 an?1 ? bn ?bn?1 成立.
? ? (1)判断数列 bn 是否为等差数列;
(2)若 a1 ? 1, b1 ? 2, a2 ? 3, 求数列{an } 和{bn}的通项公式.

第 20 题图 B

CC M ? PA? C 的余弦
B
意 n , an , bn , an?1 成

22. (本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x 2 ? 2x , g(x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0] 时, g(x) ? f (x) ? x 2 .

(Ⅰ)求函数 g(x) 在 R 上的解析式; (Ⅱ)若函数 h(x) ? x[g(x) ? ?f (x) ? 2 ] 在 (0,??) 上是增函数,且 ? ? 0,求 ? 的取值范围.
3
试题答案
1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA
13. [? 1 ,1] 14. n ? 2n?1 15. 190 16. 5 ? 5 2 2
? ? 17. 由 3? A, A ? x x2 ? px ?15 ? 0 ,得 p ? 8; …….3 分 ? ? 由 3? B, B ? x x2 ? 5x ? q ? 0 ,得 q ? 6.………….6 分

2? A B, 2? A,?2? B,?B ? ?2,3? ………….8 分

3? A B,3? B,?3? A,?A ? ?5,3?……….10 分

18. 解:(I)? (Sn?1, Sn )在直线nx ? (n ? 1) y ? n2 ? n 上,

? Sn?1 ? Sn ? 1, …………………………………………1 分 n?1 n

∴{ Sn }构成以 S1=a1=2 为首项,公差为 1 的等差数列, n
证明:(II)? Sn ? n 2 ? n
∴原不等式成立.……………………………………………………………………12 分
19. 解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ?) ? cos? cos ? ?sin ?sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ,------②…………………1 分

①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin? sin ? .------③……………………2 分

令? ? ? ? A,? ? ? ? B 有? ? A ? B , ? ? A ? B ,

2

2

代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin A ? B sin A ? B .………………………………5 分

2

2

(Ⅱ)由二倍角公式, cos 2A? cos 2B ?1? cos 2C 可化为

1? 2sin2 A ?1? 2sin2 B ? 1?1? 2sin2 C ,…………………………………7 分

所以 sin2 A ? sin2 C ? sin2 B .…………………………………10 分 设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c ,

由正弦定理可得 a2 ? c2 ? b2 .………………………………11 分 根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.…………………………………12 分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2A? cos 2B ?1? cos 2C 可化为
?2sin ? A? B?sin ? A? B? ?1?1? 2sin2 C ,…………………………………7 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? ,
所以 ?sin? A? B?sin? A? B? ? sin2 ? A? B? .

又因为 0 ? A? B ? ? ,所以 sin? A? B? ? 0 ,

所以 sin? A? B? ? sin ? A? B? ? 0 .

从而 2sin Acos B ? 0 .……………………………………………10 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,故 ?B ? ? .……………………………………11 分
2 所以 ?ABC 为直角三角形. ………………………………12 分

20. (满分 12 分)解:(1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC

由已知易得三角形 ABC 为直角三角形,

∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC⊥平面 APC

4分

(2) 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),

C(0,2,0),P(0,0, 2 3 ),

5分



?
BC

?

(?2,2,0),

?
PB

?

(2,0,?2

?
3), AP ? (0,2,2

3)

设平面 PBC 的法向量 n1 ? (x, y, z) ,

由 BC ? n1 ? 0, PB? n1 ? 0 得方程组

?? 2x ? ?2x ?

? 2

2y ? 0 3z ? 0

,取

?
n1

?

(

3,

3,1)

6分



??
cos ? AP, n1 ??

21 7

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 21 。

8分

7

?

?

(2)由题意平面 PAC 的法向量 n2 ? OB ?(2,0,0) ,

设平面 PAM 的法向量为 n3 ? (x, y, z),M (m, n,0)

∵ AP ? (0,2,2 3), AM ? (m, n ? 2,0) 又因为 AP? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0



?2 ?

y

?

2

3z ? 0

?mx ? (n ? 2) y ? 0

取 n3 ? (

3(n ? 2) ,? m

3,1)

∴ 3( n ? 2)2 ? 32 m

∴ (3 n ? 2)? 4 2m

11 分

∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ? 8 2 ? 2 3 ? 8 70 ? 2 105 。

35

35

? ? 21.

bn

是等差数列, bn

?

1 2

(n

? 1)2



an

?

n(n ?1) 2

22.

12 分


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