2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数练习 新人教A版必修1

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2.3 幂函数

【选题明细表】 知识点、方法 幂函数的定义 幂函数的图象 幂函数的性质

题号 2,4,12 3,6,7,10 1,5,8,9,11,12,13,14,15

1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )

(A)y= (B)y=x3 (C)y=x2 (D)y=x

解析:y= ,y=x3,y=x 在(-∞,0)上都是增函数,故选 C.

2.幂函数 f(x)=(m2-4m+4)

在(0,+∞)为减函数,则 m 的值为( C )

(A)1 或 3

(B)1 (C)3 (D)2

解析:因为 f(x)=(m2-4m+4)

为幂函数,

所以 m2-4m+4=1, 解得 m=3 或 m=1. 由 x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则 m2-6m+8<0, 解得 2<m<4. 所以 m=3,故选 C. 3.如图,曲线 C1 与 C2 分别是 y=xm,y=xn 在第一象限的图象,则( B )

(A)n<m<0

(B)m<n<0

(C)n>m>0

(D)m>n>0

解析:由题图及其单调性可得 m<n<0.故选 B.

4.若幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m 是偶函数,则实数 m 等于( A )

(A)-1 (B)2

(C)3

(D)-1 或 2

解析:因为幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m 是偶函数,

所以

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解得 m=-1.故选 A.

5.三个数 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) 的大小顺序是( B )

(A)c<a<b (C)a<b<c

(B)c<b<a (D)b<a<c

解析:因为- <- ,所以 a=( ) >b=( ) . 因为函数 f(x)= 在(0,+∞)上单调递减,

所以 b=( ) >c=( ) , 所以 a>b>c.故选 B.

6.已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, ),则 f(4)的值等于

.

解析:由 f(x)=xα 的图象经过点(2, ),得 =2α ,所以α =- ,则 f(4)= =2-1= .

答案:

7.函数 y=xα +2(x>0)的图象恒过定点

.

解析:由 x=1,y=3 得图象过定点(1,3).

答案:(1,3)

8.若幂函数 f(x)的图象过点(4, ),则 f(x)的值域为

.

解析:由题意设 f(x)=xm,由点(4, )在函数图象上得 4m= ,解得 m=-2.

所以 f(x)=x-2= , 故其值域为(0,+∞). 答案:(0,+∞)
9.已知(m2+m ≤(3-m ,求实数 m 的取值范围.
解:设函数 y= , 函数为 R 上的单调递增函数, 得 m2+m≤-m+3,
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即 m2+2m-3≤0, 得(m-1)(m+3)≤0, 所以 m 的取值范围为 m∈[-3,1].

10.下列结论中,正确的是( C ) (A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) (B)幂函数的图象可以出现在第四象限

(C)当幂指数α 取 1,3, 时,幂函数 y=xα 是增函数
(D)当幂指数α =-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 解析:当幂指数α =-1 时,幂函数 y=x-1 的图象不通过原点,故选项 A 不正确;因为所有的幂函数在区 间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα (α ∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B 不正确;当α =-1 时,y=x-1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故 选项 D 不正确.故选 C.

11.幂函数 f(x)=(m2-m-1)

(A)m=2

(B)m=-1

(C)m=2 或 m=-1 (D)-3≤m≤1

在(0,+∞)上为减函数,则 m 的取值是( B )

解析:因为函数 f(x)=(m2-m-1)

是幂函数,

所以 m2-m-1=1,解得 m=2,或 m=-1. 又 x∈(0,+∞)时 f(x)为减函数, 当 m=2 时,m2+2m-3=5,幂函数为 f(x)=x5,不满足题意; 当 m=-1 时,m2+2m-3=-4,幂函数为 f(x)=x-4,满足题意. 综上,m=-1.故选 B.

12.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n

的值为

.

解析:由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,

解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意.

答案:1

13.已知,幂函数 f(x)=



.

(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则 f(2)的值

解析:因为幂函数 f(x)=

(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,

则指数是偶数且大于 0, 因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4, 因此指数等于 2 或 4,当指数等于 2 时,求得 m 非整数, 所以 m=-1,即 f(x)=x4. 所以 f(2)=24=16. 答案:16

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14.若不等式 x2-logmx<0 在(0, )内恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:由 x2-logmx<0,得 x2<logmx, 要使 x2<logmx 在(0, )内恒成立,只需 y=logmx 在(0, )内的图象在 y=x2 的上方,于是 0<m<1.

在同一坐标系中作 y=x2 和 y=logmx 的草图,如图所示. 因为 x= 时,y=x2= , 所以只要 x= 时,y=logm ≥ =logm . 所以 ≤ ,即 ≤m. 又 0<m<1,所以 ≤m<1, 即实数 m 的取值范围是[ ,1).

15.已知函数 f(x)= +1.
(1)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明; (2)求 f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值. 解:(1)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. 证明如下: 设 x1,x2 是区间(0,+∞)上任意两个实数,且 x1<x2,

则 f(x1)-f(x2)=( +1)-( +1)=

,

因为 x2>x1>0, 所以 x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,

所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),

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所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. (2)由(1)知函数 f(x)在区间[1,3]上是减函数, 所以当 x=1 时,取最大值,最大值为 f(1)=2, 当 x=3 时,取最小值,最小值为 f(3)= .
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