2012年高中精品教案集:1.4.1正弦、余弦函数的图象(1)


4-1.4.1 正弦、余弦函数的图象(1)
教学目的: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的 形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工 作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象,周期性; 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y) P 与原点的距离 r( r ? 则比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
2 2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

记作: 记作:

y r x cos ? ? r sin ? ?

?

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) : 为了作三角函数的图象, 三角函数的自变量要用弧度制来度量, 使自变量与 函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的 形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.

(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). 第二步: 在单位圆中画出对应于角 0,

? ? ? , , ,?, 的正弦线正弦线 2π (等价于 “列 6 3 2

表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x ∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角 x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向 下平移,过 O1 作与 x 轴的正半轴成

? 角的直线,又过余弦线 O1 A 的终点 A 作 x 轴的垂线, 4

它与前面所作的直线交于 A′, 那么 O1 A 与 AA′ 长度相等且方向同时为正, 我们就把余弦线 O1 A “竖立”起来成为 AA′,用同样的方法,将其 它的余弦线也都“竖立”起来.再将它们平移, 使起点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则终点就是余 弦函数图象上的点.] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立” (把角 x 的余弦线 O1M 按逆时针方向旋转

? 到 2

O1M1 位置,则 O1M1 与 O1M 长度相等,方向相同.)根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 正弦函数 x=sinx 的图象向左平移 移曲线” )
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3?

?
2

) ,还可以把

? 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平 2
y=sinx
4? 5?

6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:

? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
(0,0) (

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点 法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2) y=|sinx|, (3)y=sin|x|
(0,1) ( 例 2 用五点法作函数 y ? 2 cos( x ? 例3

?
3

), x ? [0, 2? ] 的简图.

分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2
三、巩固与练习 四、小

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:作业: 补充:1.分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出 y=sinx 的图象 2.分别在[-4?,4?]内作出 y=sinx 和 y=cosx 的图象 3.用五点法作出 y=cosx,x?[0,2?]的图象

六、板书设计:


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