推荐学习K12高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算课堂探究

推荐学习 K12 资料 3.1.1 有理指数幂及其运算 探究一 简单的指数幂运算 课堂探究 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形 式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分 数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【典型例题 1】 计算: (1) ? ?? 125 27 ? ? ? ? 2 3 ; ?2 (2) 0.008 3 ; (3) ? ?? 81 2401 ? ? ? ? 3 4 ; (4)(2a+1)0; (5) ? ? ?? 5 6 ? ? ?? 3 5 ?1 ? ?? ? ? ?? ?1 . 思路分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如 (1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比 较简便. 在幂的运算中,对于形如 m0 的式子,要注意对底数 m 是否为零进行讨论,因为只有在 m≠0 时,m0 才有意义;而对于形如 ? ?? b a ??n ?? 的式子,我们一般是先变形为 ? ?? a b ?n ?? ,然后再进行运算. 解:(1) ? ?? 125 27 ? ? ?? 2 3 = ? ? ? 53 33 ?? 2 3 ? ? = 5?2 3?2 = 32 52 = 9. 25 ? ? ?2 (2) 0.008 3 = 0.23 ?2 3 =0.2-2= ? ? ? 1 5 ?2 ? ?? =52=25. (3) ? ?? 81 ?3 ?4 2401 ?? = ? ? ? 34 74 ?3 ?4 ? ? = 3?3 7 ?3 = 73 33 = 343 27 . (4)(2a+1)0= ???????1无,意义,aa???-1212 . (5) ? ? ?? 5 6 ? ? ?? 3 5 ??1 ?? ? ? ?? ?1 = ? ?? 5 6 ? 5 3 ?1 ? ?? 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 = ? ?? ? 5 6 ?1 ? ?? =- 6 5 . 探究二 利用根式的性质化简或求值 1.n 次方根的个数及符号的确定 任意实数的奇次方根只有一个,正数的偶次方根有两个且互为相反数,0 的任何次方根 都是 0. 2.根式化简注意事项 (1)解决根式的化简问题,首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的 性质进行化简. ? ?n (2)注意正确区分 n an 与 n a . 【典型例题 2】 (1)计算下列各式: ? ?2 ① 5; ② 3 ??2?3 ; ③ 4 ??2?4 ; ④ ?a ? b?2 (a>b). (2)化简下列各式: ① 6 81 ; ② 6 ??2?2 ; ③15 ?32 ; ④ 4 x8 ; ⑤ 6 a2b4 . ? ?2 解:(1)① 5 =5. ② 3 ??2?3 =-2. ③ 4 ??2?4 =|-2|=2. ④∵a>b,∴ ?a ? b?2 =|a-b|=a-b. 4 2 (2)① 6 81 = 6 34 = 36 = 33 = 3 32 = 3 9 . 1 ? ? ② 6 ?2 2 = 6 22 = 23 = 3 2 . 1 ③ 15 ?32 =- 15 25 =- 23 =- 3 2 . ? ? ④ 4 x8 = 4 x2 4 =x2. ? ? ? ? ⑤ 6 a2b4 = 6 a ?b2 2 = 1 a ·b2 3 = 3 a ? b2 . 探究三 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的规律 1.根指数 化为 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子. 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 2.在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理指数幂的运 算性质解题. 3.当所求根式含有多重根号时,应先由里向外用分数指数幂的形式写出,然后进行化 简. ?2 【典型例题 3】 (1)5- 5 11 化为根式形式为__________; (2) 2 4 b? (b>0)化为分数指数幂的形式为__________; 3 (3) 1 (x≠0)化为分数指数幂的形式为__________. ? ?2 3 x 5 x2 解析:(1)原式= 1 = 1 . 2 511 11 52 1 ? ?2 ?4 ? 2?1 ?1 (2)原式= ? b 3 ? = b 3 4 = b 6 . ?? (3)原式= 1 ? 2 2 ? 3 x?? x5 ? =1 4 3 x? x5 =1 9 3 x5 =1 1 ? 9 ?3 ? x5 ? =1 3 x5 ?3 =x 5. ?? ?? 答案:(1) 1 11 52 ?1 ?3 (2) b 6 (3) x 5 探究四 知值求值问题 已知代数式的值求其他代数式的值,通常又简称为“知值求值”,解决此类题目要从整 体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系,然后采取“整体代换”或“求值后 代换”两种方法求值.要注意正确地变形,对平方立方等一些常用公式要熟练应用. 1 1 【典型例题 4】 已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 x2 ? y 2 的值. 1 1 x2 ? y2 ? 思路分析:观察已知代数式和所求代数式的特点可知,? x 1 2 ?2 ? =x,?? y 1 2 ?2 ? =y.于是联 ?? ?? 1 1 想到用完全

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