高二数学最新教案-§9.4.2直线与平面垂直 精品

直线和平面垂直(2) 一、课题:直线和平面垂直(2) 二、教学目标:1.进一步掌握线面垂直的定义和判定定理; 2.熟练应用定理解决有关问题. 三、教学重、难点:定理应用. 四、教学过程: (一)复习:1.直线与平面垂直的定义; 2.直线与平面垂直的判定定理; 3.练习:平行四边形 ABCD 所在平面 ? 外有一点 P ,且 PA ? PB ? PC ? PD , 求证:点 P 和平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 BC 和 AB . (二)新课讲解: 例 1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 已知:平面 ? 和一点 P 求证:过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条. ? P ? A B B a a 证明:不论 P 在平面 ? 内或外,设直线 PA ? ? ,垂足为 A (或 P )若另一直线 PB ? ? , 设 PA, PB 确定的平面为 ? ,且 ? ∴ PA ? a, PB ? a 又∵ PA, PB 在平面 ? 内,与平面几何中的定理矛盾 所以过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条。 例 2.定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (线面垂直的性质定理) 已知:如图, a ? ? , b ? ? 求证: a // b a b b' ? P ? A ? ?a 证明: (反证法)假定 b 不平行于 a ,则 b 与 a 相交或异面; (1)若 a 与 b 相交,设 a b ? A , ∵ a ? ?,b ? ? ? ∴过点 A 有两条直线与平面 ? 垂直, 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾, O ∴ a 与 b 不相交; (2)若 a 与 b 异面,设 b ? ? O ,过 O 作 b? // a , ∵a ?? ∴ b? ? ? 又∵ b ? ? 且 b b? ? O , ∴过点 O 有直线 b ? 和 b 垂直于 ? 与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, ∴ b 与 a 不异面,综上假设不成立, ∴ a // b . 说明:例 1 和例 2 结论可直接应用于其他的解题过程中. 例 3.已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A ,直线 AP ? l ,求证: AP 在平面 ? 内. 证明:设 AP 与 l 确定的平面为 ? , 如果 AP 不在 ? 内,则可设 ? ? ? ? AM , l A P M ∵ l ? ? ,∴ l ? AM ,又∵ AP ? l , 于是在平面 ? 内过点 A 有两条直线垂直于 l , ? 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, 所以 AP 一定在平面 ? 内. 点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足间线段的长,叫做点到平面的距 离。 例 4.如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到平面的距离相等. 已知:直线 a 和平面 ? ,且 a // ? . 求证:直线 a 上的各点到平面 ? 的距离相等; 证明:如图,过直线 a 上任意两点 A, B 分别引平面 ? 的垂线 AA?, BB? ,垂足分别为 A?, B? ∵ AA? ? ? , BB? ? ? , ∴ AA? // BB? , 设经过直线 AA?, BB? 的平面为 ? , ? ? ? A?B? , ∵ a // ? ∴ A?B? // a ∴四边形 AA?B?B 为平行四边形 ∴ AA? ? BB ? ,即直线上的各点到平面 ? 的距离相等。 线面距离: 如果一条直线和一个平面平行, 这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和 平面的距离. 五、课堂小结:直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 六、作业:课本 22 页 练习 5、7,课本 25 页习题 9.4 第 3 题.

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