数学:3.3.1《几何概型》课件(人教a版必修3)


3.3.1几何概型

古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只 有有限个,即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相 等的. 现实生活中,有没有实验的所有可能结果 是无穷多的情况? 相应的概率如何求?

?

问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况 下分别求甲获胜的概率是多少?

? 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆 弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因 为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的. 不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是 不变的.

几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
?

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为
1 6

练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用 一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯 水中含有这个细菌的概率.

2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.

3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 求下列事件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?

解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离 家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形 区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条 件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开 家前能得到报纸,即时间A发生,所以
2 30 602 ? 2 ? 87.5%. P( A) ? 602

例1 抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一 .参与者 只须将手上的“金币”(设“金币”的半径为 r)抛 向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若 恰好落在任何一个阶砖(边长为 a 的正方形)的范围 内(不与阶砖相连的线重叠),便可获奖.

玩抛阶砖游戏的人,一般需 换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问:参加者获奖的概率有 多大? 显然,“金币”与阶砖的相对大小将决定成 功抛中阶砖的概率.

设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上,其圆心必 位于右图的绿色区域 A内. a A
S

a 问题化为:向平面区域S (面积为a2)随机投 点( “金币” 中心),求该点落在区域A内 的概率.

于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 p? S的面积
2

a

A

(a ? d ) 0<d<a ? 2 a 由此可见,当d接近a, p接近于0; a 而当d接近0, p接近于1. 2 (a ? d ) 成功抛中阶砖的概率 p ? 0<d<a a2

若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗?

课堂小结
1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.
?

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
?

3.公式的运用.



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都很好,你就放心吧!”小青也说:“爹啊,我现在不再总是伤心了。以后,我会好好生活,好好孝敬姆妈的,您就放心吧!”耿老爹朝着江 心拱拱手,说:“白兄弟啊,这边的事情你就放心吧,兄弟媳妇和小青都好着呢。等再过些日子五间新屋最后完工了以后,你可一定要回来看 看啊!如果哪些地方不满意,你给我托梦来,我一定再修改!你自己在那边也要保重啊!”耿正也朝着江心拱拱手,低声说:“幺爹啊,我好 想念您!一百天了,可我”耿英也鼻子发酸地说:“幺爹啊,我也好想念您!”耿直学着哥哥的样子,也朝着江心拱拱手,大声说:“幺爹啊, 五间新屋完工以后,你真得能回来看看吗?你回来之前,可要早点儿告诉我们啊!我让哥哥再给您拉二胡!”船老大摸摸耿直的头,轻轻地说: “唉,只要你们都好好儿的,你幺爹他就放心了!”说完了,大家轮番动手,往江心里抛了一些祭品。剩下的,船老大和耿老爹帮着乔氏收拾 起来。船老大一边收拾,一边对小青和耿正兄妹三人说:“你们随便到江边上玩儿去吧,我们大人们也在周围转一转,晒晒太阳,说说话儿。” 实在是,自从来到这长江边上,耿家父子们从来也没有在江边上游玩过。早先在汉口镇时,一心只想着开店做生意,根本没有想过应该去江边 上游玩游玩。遭受大洪灾之后,父子四人渡江逃难来到这里,就更没有这份闲情逸致了。所以,在这个已经暖意融融的大好春日里,在江边上 走走的感觉确实很不错。不但孩子们显得很兴奋,就连耿老爹自己也觉得浑身轻快。他眼望前方无限感慨地对乔氏和船老大说:“唉,‘逝者 如斯夫’。最难熬的日子总算过去了,希望今后的日子能够慢慢好起来!人生苦短啊,想做的事情又太多”这边,耿老爹的感慨话还没有表达 完呢,那边耿直就开始喊他了:“爹,快来看,好些大鱼,好像是我们吃过的武昌鱼耶!”耿老爹笑着对乔氏和船老大说:“我去看看,不要 扫了这小家伙的兴!”船老大也笑着说:“你是个慈父呢,快看去吧!”乔氏高兴地说:“直伢子不简单啊,居然能认出来是武昌鱼!”看耿 老爹走远了,船老大对乔氏说:“兄弟媳妇,你觉得耿兄弟这人怎么样?”乔氏说:“没得说啊,最好的人了。小青她爹在世时,就很敬重他 的这位大哥呢!”船老大说:“那我就直说了吧。今儿个把你们约在江边转悠,我就是想给你们提这事儿呢。你看他拖儿带女的也不容易。原 来吧,白兄弟跟我多次提起他来,只说是认了一个就好像亲兄弟一样的大哥,看他的意思是想撮合小青丫头与耿大哥大儿子的婚事呢。但现在 白兄弟已经不在了,是不是你和耿兄弟就一块儿过吧。这样一来,等将来小青丫头与耿兄弟的大儿子成婚时,岂不是亲上加亲了!”让船老大 没有想到的是,乔氏听了


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