学习k12精品高三上学期备考数学选择填空狂练:之六等差、等比数列(文)

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疯狂专练 6

等差、等比数列

一、选择题

1.[2018·阜阳三中]?an? 为等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1, a3 ? 0 ,则公差 d ? ( )

A. ?2

B. ? 1 2

C. 1 2

D.2

2.[2018·阜阳三中]在等比数列?an? 中,若 a3 ? 7 ,前 3 项和 S3 ? 21 ,则公比 q 的值为( )

A.1

B. ? 1 2

C.1 或 ? 1 2

D. ?1或 ? 1 2

3.[2018·阜阳调研]已知等比数列?an? 中有 a3a11 ? 4a7 ,数列?bn? 是等差数列,且 a7 ? b7 ,则 b5 ? b9 ? ( )

A.2

B.4

C.8

D.16

4.[2018·南海中学]已知等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? 2n?1 ? ? ,则 ? 的值为( )

A.4

B.2

C. ?2

D. ?4

5.[2018·长春实验]已知 ?an ?

为正项等比数列, S n

是它的前

n

项和,若

a1

? 16

,且

a4



a7

的等差中项为

9 8

,则

S5 的值是( )

A.29

B.30

C.31

D.32

6.[2018·琼海模拟]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如 下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升”.其 大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝,第一天派出 64 人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人,修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升”,在该问题中第 3 天共分发大米( )

A.192 升

B.213 升

C.234 升

D.255 升

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7.[2018·长寿中学]在等差数列 ?an? 中,满足 3a4 ? 7a7 ,且 a1 ? 0 , Sn 是?an? 前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,
则n?( )

A.7

B.8

C.9

D.10

8.[2018·潮南冲刺]已知各项均为正数的等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a6 , 3a4 , ?a5 成等差数列,
则 S4 ? ( ) S2

A.3

B.9

C.10

D.13

9.[2018·诸暨适应]等差数列 ?an? 的前 n 项和是 Sn ,公差 d 不等于零,若 a2 , a3 , a6 成等比,则( )

A. a1d ? 0 , dS3 ? 0

B. a1d ? 0 , dS3 ? 0

C. a1d ? 0 , dS3 ? 0

D. a1d ? 0 , dS3 ? 0

10.[2018·湖北模拟]设等差数列?an? 的前 n

项和

Sn

, a4

?

4 , S5

?

15

,若数列

? ? ?

an

1 an

?1

? ? ?

的前 m

项和为 10 11

,则

m?( )

A.8

B.9

C.10

D.11

11.[2018·郑州质测]已知 Sn 是等差数列?an? 的前 n 项和,则“ Sn ? nan 对 n ? 2 恒成立”是“数列?an? 为递增数列”
的( )

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必条件

12.[2018·衡水中学]已知数列?an? 是各项为正数的等比数列,点 M ?2,log2a2 ? 、N ?5,log2a5 ? 都在直线 y ? x ?1 上,则数列?an? 的前 n 项和为( )

A. 2n ? 2

B. 2n?1 ? 2

C. 2n ?1

D. 2n?1 ?1

二、填空题
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13.[2018·长春质测]各项均为正数的等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S6 ? 30 , S9 ? 70 ,则 S3 ? _____.

14.[2018·定远模拟]等比数列?an? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则 log2a1 ? log2a2 ? log2a3 ? log2a4 ? log2a5 ?
_____.
15.[2018·郑州质测]设有四个数的数列 a1 , a2 , a3 , a4 前三个数构成一个等比数列,其和为 k ,后三个数构 成一个等差数列,其和为 15,且公差非零.对于任意固定的实数 k ,若满足条件的数列个数大于 1,则 k 的取 值范围为________.

16.[2018·山西二模]数列 ?an ?

满足 an

?

? ?

an

?1

?2

,

an

是偶数
?1

,若 a1

? 34 ,则数列?an? 的前 100 项的和是

??3an?1 ? 1, an?1是奇数

__________.

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答案与解析

一、选择题

1.【答案】B

【解析】

a7

?

2a4

?

?1,? a3

?

4d

?

2 ? a3

?

d

?

?

?1 ,?4d

? 2d

?

?1,?d

?

?

1 2

.故选

B.

2.【答案】C

【解析】设等比数列?an? 的首项为 a ,公比为 q ,

所以有方程组

??aq2 ? 7 ? ??a ? aq ?

aq2

?

,解得 21

q

?1或

q

?

?1 2

,答案选择

C.

3.【答案】C

【解析】在等比数列?an? 中有 a3a11 ? 4a7 ,所以 a72 ? 4a7 , a7 ? 4 ,所以 a7 ? b7 ? 4 ,

又 ?bn? 是等差数列, b5 ? b9 ? 2b7 ? 8 ,答案选择 C.
4.【答案】C

【解析】根据题意,当 n ?1时, 2S1 ? 2a1 ? 4 ? ? ,故当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ,

数列 ?an ?

是等比数列,则 a1

? 1 ,故

4

?? 2

?1 ,解得

?

?

?2

,故选

C.

5.【答案】C

【解析】设正项等比数列的公比为 q ,则 a4 ? 16q3 , a7 ? 16q6 ,

a4



a7

的等差中项为

9 8

,即有

a4

?

a7

?

9 4

,即16q3

? 16q6

?

9 4

,解得

q

?

1 2

(负值舍去),

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? ? 则有

S5

?

a1

1? q5 1? q

?

16 ?

???1 ?

1 25

? ??

?

31 .故选

C.

1? 1

2

6.【答案】C

【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列?an? ,

可得数列是首项 a1 ? 64 ,公差为 7 的等差数列,

则第三天派出的人数为 a3 ,且 a3 ? 64 ? 2 ? 7 ? 78 , 又根据每人每天分发大米 3 升,则第 3 天共分发大米 78?3 ? 234 升,故选 C. 7.【答案】C

【解析】设等差数列首项为 a1 ,公差为 d ,由题意可知 4a1 ? 33d ? 0 , a1 ? 0 ,

? ? Sn

n?n ?1?d
? na1 ? 2

? a1 33

35n ? 2n2

,二次函数的对称轴为 n ? 35 ? 8.75 ,开口向下,又因为 n ? N* , 4

所以当 n ? 9 时, Sn 取最大值.故选 C.

8.【答案】C

【解析】设各项均为正数的等比数列?an? 的公比为 q ? 0 ,

? ? 满足 a6 , 3a4 , ?a5 成等差数列,?6a4 ? a6 ? a5 ,?6a4 ? a4 q2 ? q , q ? 0 ,

? ? a1 34 ?1 ? ? ?q2 ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得 q ? 3 ,则 S4 ? 3 ?1 ? 32 ? 1 ? 10 ,故选 C.
S2 a1 32 ? 1 3?1
9.【答案】C

【解析】由 a2 , a3 , a6 成等比数列.可得 a32 ? a2a6 ,
可得 ?a1 ? 2d ?2 ? ?a1 ? d ??a1 ? 5d ? ,即 2a1d ? d 2 ? 0 ,
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∵公差

d

不等于零,?a1d

?

0



2a1

?

d

?

0

,?dS3

?

d ?3a1

? 3d ?

?

3 2

d2

?

0

,故选

C.

10.【答案】C

【解析】 Sn 为等差数列?an? 的前 n 项和,设公差为 d , a4 ? 4 , S5 ? 15 ,



???aS45

?4 ? 15

?

5a3

,解得

d

?1,则 an

?

4

?

?n

?

4?

?

n



由于

1 an an ?1

?

1
n?n ?1?

?

1 n

?

n

1 ?

1

,则

Sm

?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

? 1 ? 1 ? 1? 1 ? 10 , m m ?1 m ?1 11

解得 m ?10,故答案为 10.故选 C.

11.【答案】A

【解析】由题可得,

Sn

?

n?a1 ?
2

an

?

?

nan

,化简可得

na1

?

nan

,即

a1

?

an



所以 a1 ? a1 ? ?n ?1? d ,即 ?n ?1? d ? 0当n ? 2 恒成立,

所以 d ? 0 ,即数列?an? 为递增数列,故为充分条件.

若数列?an? 为递增数列,则 d ? 0 ,

nan

?

Sn

?

n ??a1

?

?n

?1? d ??

?

? ?na1 ?

?

n?n ?1?
2

? d?
?

?

n?n ?1? d
2



当 n ? 2 时, nan ? Sn ? 0 ,即 Sn ? nan ,故为必要条件, 综上所述为充分必要条件.故选 A. 12.【答案】C
【解析】因为点 M ?2,log2a2 ? 、 N ?5,log2a5 ? 都在直线 y ? x ?1上,

所以 log2 a2 ? 2 ?1 ? 1,可得 a2 ? 2 , log2 a5 ? 5 ?1 ? 4 ,可得 a5 ? 16 ,

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a5 a2

?

q3

?

8

?

?q ? 2 ??a1 ? 1

?

Sn

?

1? 2n 1? 2

? 2n ?1 ,故选 C.

二、填空题

13.【答案】10 【解析】根据等比数列的前 n 项和的性质,若 Sn 是等比数列的和,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ,仍是等比
数列,得到: ?S6 ? S3 ?2 ? S3 ?S9 ? S6 ? ,解得 S3 ? 10 ,故答案为 10.
14.【答案】5
【解析】由题意知 a1a5 ? a32 ? 4 ,且数列 ?an? 的各项均为正数,所以 a3 ? 2 ,
? ? ? ? ? ? ?a1a2a3a4a5 ? a1a5 ? a2a4 ? a3 ? a32 2 ? a3 ? a35 ? 25 ,
?log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? log2 a4 ? log2 a5 ? log2 ?a1a2a3a4a5 ? ? log2 25 ? 5 .

15.【答案】

? ??

15 4

,

5

? ??

?5,15?

?15, ???

【解析】因为后 3 个数成等差数列且和为 15,故可依次设后 3 个数为 5 ? d ,5, 5 ? d ,( d ? 0 且 d ? 5 ), 又前 3 个数构成等比数列,

则第一个数为 ?5 ? d ?2 ,即 ?5 ? d ?2 ? 5 ? d ? 5 ? k ,化简得 d2 ?15d ? 75 ? 5k ? 0 ,

5

5

因为满足条件的数列的个数大于 1,需要 Δ ? 0 ,所以 k ? 15 . 4

再由

d

?

0



d

?

5

,得

k

?

5

,且

k

?

15

,故答案为

? ??

15 4

,

5 ???

?5,15?

?15, ??? .

16.【答案】450

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【解析】∵数列 ?an ?

满足

an

?

? ?

an?1

?2

,

??3an?1 ? 1,

an

是偶数
?1



an

是奇数
?1



a1

?

34

,∴

a2

?

1 2

a1

? 17



a3

?

3a2

?1?

3?17

?1?

52



a4

?

1 2

a3

?

26 ,

a5

?

1 2

a4

? 13 ,

a6

?

3a5

?1?

40



a7

?

1 2

a6

?

20



a8

?

1 2

a7

? 10 ,

a9

?

1 2

a8

?

5,

a10

?

3a9

?1 ?16



a11

?

1 2

a10

?

8,

a12

?

1 2 a11

?

4



a13

?

1 2 a12

?

2,

a14

?

1 2

a13

? 1,同理可得:

a15

?

4,

a16

?

2



a17

?1,



可得此数列从第 12 项开始为周期数列,周期为 3.

则数列?an? 的前 100 项的和 ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? a11 ? a12 ? a13 ? 29 a14 ? a15 ? a16

? ?34 ?17 ? 52 ? 26 ?13 ? 40 ? 20 ?10 ? 5 ?16 ? 8? ? 4 ? 2 ? 29? ?1? 4 ? 2?

? 450 .故答案为 450.

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