2017-2018学年人教A版选修1-1 导数应用题 学业分层测评

学业分层测评(十九) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( A.6 m C.4 m B.8 m D.2 m ) 256 【解析】 设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x2h=256,所以 h= x2 .所用 256×4 256 材料的面积设为 S m2 ,则有 S = 4x· h + x2 = 4x·x2 + x2 = x + x2.S′= 2x - 256×4 256 x2 ,令 S′=0 得 x=8,因此 h= 64 =4(m). 【答案】 C 2.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本 x3 增加 100 元,若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390) 的关系是 R(x) =- 900 + 400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( A.150 C.250 【解析】 B.200 D.300 x3 由题意可得总利润 P(x)=-900+300x-20 000,0≤x≤390. ) 由 P′(x)=0,得 x=300. 当 0≤x<300 时,P′(x)>0;当 300≤x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,P(x)最大.故选 D. 【答案】 D 3.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的 墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙壁所用的材料最省,堆料场的长和宽 应分别为(单位:米)( A.32,16 C.40,20 【解析】 第 1 页 共 8 页 ) B.30,15 D.36,18 要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短. 512 设场地宽为 x 米,则长为 x 米, 512 因此新墙总长 L=2x+ x (x>0), 512 则 L′=2- x2 . 令 L′=0,得 x=16 或 x=-16(舍去). 512 此时长为 16 =32(米),可使 L 最小. 【答案】 A 4.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 P 元,销售量为 Q 件,且销量 Q 与零售价 P 有如下关系:Q=8 300-170P-P2, 则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( A.30 元 C.28 000 元 【解析】 毛利润为(P-20)Q, B.60 元 D.23 000 元 ) 即 f(P)=(P-20)(8 300-170P-P2), f′(P)=-3P2-300P+11 700 =-3(P+130)(P-30). 令 f′(P)=0,得 P=30 或 P=-130(舍去). 又 P∈[20,+∞),故 f(P)max=f(P)极大值, 故当 P=30 时,毛利润最大, ∴f(P)max=f(30)=23 000(元). 【答案】 D 5.三棱锥 OABC 中,OA,OB,OC 两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y, 且 x+y=3,则三棱锥 OABC 体积的最大值为( A.4 4 C.3 【解析】 B.8 8 D.3 2 1 2x2 x2y x ?3-x? V=3× 2 · y= 3 = 3 ) 3x2-x3 = 3 (0<x<3), 第 2 页 共 8 页 6x-3x2 V′= 3 =2x-x2=x(2-x). 令 V′=0,得 x=2 或 x=0(舍去). 4 ∴x=2 时,V 最大为3. 【答案】 二、填空题 6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的 底面半径为________. 【导学号:97792113】 【解析】 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,所以 L 27 27 =R2.要使用料最省, 只需使圆柱表面积最小.S 表=πR2+2πRL=πR2+2π· R , 令 S′ 表 C 54π =2πR- R2 =0,得 R=3,即当 R=3 时,S 表最小. 【答案】 3 7.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为________米. 【导学号:97792114】 【解析】 设广场的长为 x 米,则宽为 40 000 x 米,于是其周长为 y = 40 000? ? 40 000? ? 2?x+ x ?(x>0),所以 y′=2?1- x2 ?,令 y′=0,解得 x=200(x=-200 舍 ? ? ? ? 去),这时 y=800.当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0.所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至少为 800 米. 【答案】 800 8.某公司租地建仓库, 每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站的距离成反比, 而每月库存货物的运费 y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千 米处建仓库,y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么,要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站________千米处. 【解析】 k1 设仓库与车站相距 x 千米,依题意可设每月土地占用费 y1= x , 每月库存货物的运费 y2=k2x,其中 x 是仓库到车站的距离,k1,k2 是比例系数, 第 3 页 共 8 页 k1 4 于是由 2=10得 k1=20;由 8=10k2 得 k2=5. 20 4x ∴两项费用之和为 y= x + 5 (x>0), 20 4 y′=- x2 +5,令 y′=0, 得 x=5 或 x=-5(舍去). 当 0<x<5 时,y′<0; 当 x>5 时,y′>0. ∴当 x=5 时,y 取得极小值,也是最小值. ∴当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小. 【答案】 三、解答题 9.如图 343,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 m2 的三级污水 处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每 米 400 元,

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