【跃渊风暴】【恒心】高考数学二轮复习-平面向量(教师版)


高考数学二轮复习 平面向量(教师版)
【考纲解读】 1. 理解平面向量的概念与几何表示、 两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及 其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义. 2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐 标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系; 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹 角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【考点预测】 高考对平面向量的考点分为以下两类: (1)考查平面向量的概念、 性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、 共线向量、 方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算,高考中或直接考查或用以解决 有关长度,垂直,夹角,判断多边形的形状等,此类题一般以选择题形式出现,难度不大. (2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、 解析几何、 三角等内容交叉渗透, 使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,此类题一般以解答题形式出现,综合性较强. 【要点梳理】 1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,加法的运算律; 2.实数与向量的乘积及是一个向量,熟练其含义; 3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示; 4.两个向量夹角的范围是: [0, ? ] ; 5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律,向量的模,两个向量垂直的充要条件. 【考点在线】 考点一 向量概念及运算 例 1.(年高考山东卷理科 12)设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若

????? ????? ????? ????? 1 1 且 ? ? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A , A1 A3 ? ? A1 A2 (λ ∈R),A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R), 1 ? ?
A2 ,已知点 C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确
的是( )

(A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

1

【答案】D

考点二

平面向量的数量积

例 2. 年高考海南卷文科 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a ? b 与 ( 向量 ka ? b 垂直,则 k ? 【答案】1 【解析】 由题意知 (a ? b) ? (ka ? b) ? 0 ,即 k ? (k ?1)ab ?1 ? 0 ,所以 (k ?1)ab ? 1 ? k ,因为

?

?

? ?

? ?

.

? ?

? ?

??

??

? ? a 与 b 不共线,所以 k ? 1 ? 0 ,即 k=1.
【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积. 【备考提示】 :熟练向量的基础知识是解答好本题的关键. 练习 2: (年高考安徽卷文科 14)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且 a ? , b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 .

?

?

? 【答案】 3

2 2 【 解 析 】 a ? 2b ? a ? b ? ?6 , 则 a ? a ? b ? 2b ? ?6 , 即 1 ? a ? b ? 2 ? 2 ? ?6 ,

?

?

?

??

? ?

?

?2

? ?

?2

? ?

2

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 ? a , b? ? a ? b ? 1,所以 cos? a, b? ? ? ? ? ,所以 3. a?b 2
考点三 向量与三角函数等知识的综合 例 3. (2009 年高考江苏卷第 15 题) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

【解析】

【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍 角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力. 【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键. 练习 3: (2009 年高考广东卷 A 文科第 16 题) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0,

?
2

)

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值(2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? 【解析】 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

? ,求 cos ? 的值 2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?

1 2

3

又 0?? ?

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

w

【易错专区】

1.(年高考全国卷文科 3)设向量 a、 满足| a |=| b |=1, a ? b = ? b (A) 2 【答案】B 【解析】 a ? 2b ? (a ? 2b) ? a ? 4a ? b ? 4b ? (B) 3 (C) 5 (D) 7

??

?

?

? ?

? ? 1 ,则 a ? 2b ? ( 2

)

?

?

?

?? 2 ?

?2

? ?

?2

?2 ? ? ?2 a ? 4a ? b ? 4 b

1 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 4 ?1 ? 3 故选 B 2
2.(年高考辽宁卷文科 3)已知向量 a=(2,1) ,b=(-1,k) (2a-b)=0,则 k=( ) ,a· (A)-12 【答案】D 【解析】由题意,得 2a-b =(5,2-k) (2a-b)=2×5+2-k=0,所以 k=12. ,a· 3. (年高考四川卷文科 7)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF =( (B)-6 (C)6 (D)12

??? ??? ??? ? ? ?

)

4

(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF 【答案】D

??? ?

????

??? ?

【解析】 BA ? CD ? EF ? DE ? CD ? EF ? CD ? DE ? EF ? CF . 4. 年高考全国Ⅰ卷文科 11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为 ( 两切点,那么 PA ? PB 的最小值为( (A) ?4 ? 2 【答案】D (B) ?3 ? 2

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

) (D) ?3 ? 2 2

(C) ?4 ? 2 2

【 解 析 】 如 图 所 示 : 设 PA=PB= x ( x ? 0) , ∠ APO= ? , 则 ∠ APB= 2? , PO= 1 ? x2 ,

sin ? ?

1 1 ? x2



??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 = 2 ,令 PA ? PB ? y , PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) = x2 ? 1 x ?1
x4 ? x2 2 则y? 2 ,即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 x ?1

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

??? ??? ? ?

2 ?1 .
??? ? ??? ?

5. 年高考全国卷Ⅱ文科 10) ( △ABC 中, D 在边 AB 上, 平分∠ACB, CB = a , CA = 点 CD 若 b,

??? ? a = 1 , b = 2, 则 CD =(
1 2 a+ b 3 3
(B)

) (C)

(A)

2 1 a+ b 3 3

3 4 a+ b 5 5

(D)

4 3 a+ b 5 5

【答案】B

5

【 解 析 】 ∵ CD 为 角 平 分 线 , ∴

BD BC 1 ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? A D A C 2 , ∵ AB ? CB? CA a , ∴ ? ? b

???? 2 ???? 2 ? 2 ? ???? ???? ???? 2 ? A D ? A B? a? b C D ? C A? A D? b ? 3 3 3 ,∴ 3

? 2 a ? 3

? 2 b? 3

? 1 a ? 3

b

?

6. (年高考四川卷文科 6)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 ,

??? 2 ?

???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ? (
(A)8 【答案】C (B)4 (C)2

) (D)1

【解析】由 BC =16,得|BC|=4,? ? AC AB ???AB ? AC BC ? =4 ??? 而?AB ? AC ??AM?,故?AM?? 2. ?? 7. (年高考江西卷文科 11)已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???? ?

???? ?

? ,若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , 3

b2 ? 3e1 ? 4e2 ,则 b1 ? b2 =___.
【答案】-6 【解析】要求 b1 * b2 ,只需将题目已知条件带入,得: b1 * b2 =( e1 -2 e2 )*(3 e1 +4 e2 ) = 3 e1 ? 2 e1 ? e2 ? 8 e2 带入,原式=3*1—2*
? 2 ? ? ? 2
? 1 1 ,其中 e1 =1, e1 ? e2 ? = e1 ? e2 ? cos 60 =1*1* = , e2 ? 1 , 2 2
? ?
? ? ? ? ?
?

?

?

? 2

?

?

2

?

1 —8*1=—6. 2

8. (年高考福建卷文科 13)若向量 a=(1,1) ,b(-1,2) ,则 a· 等于_____________. b 【答案】1 【解析】因为向量 a=(1,1) ,b(-1,2) ,所以 a· 等于 1. b 9. 年高考湖南卷文科 13)设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反, a 的 ( 则 坐标为 .

? ?

?

?

? ?

?

【答案】 (?4, ?2) 【解析】由题 | b |? 2 2 ? 1 ? 5 ,所以 a ? ?2b ? (?4, ?2). 10.(年高考浙江卷文科 15)若平面向量 α 、β 满足 ? ? 1,

?

?

?

? ? 1 ,且以向量 α 、β 为邻

6

边的平行四边形的面积为 【答案】 [

? 5?
6 , 6

1 ,则 α 和 β 的夹角 θ 取值范围是 2

.

]

? ?

? ? ? ? ?2 ? ? ?? 2 ? ? 2? a? b ? (e1 ? 2 e2 )(k e1 ? e2 ) ? k e1 ? (1 ? 2k )e1 ? e2 ? 2e2 ? k ? (1 ? 2k ) cos ? 2 ? 0, 解 得 3

k?

5 . 4

【高考冲策演练】 一、选择题: 1. 年高考山东卷文科 12) ( 定义平面向量之间的一种运算 ? ”如下: “ 对任意的 a ? (m, n) ,

b ? ( p, q) ,令 a ? b ? mq ? np ,下面说法错误的是(
(A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 (B) a ? b ? b ? a (C)对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) (D) (a ? b) ? (a ? b) ?| a | | b |
2 2 2 2

)

【答案】B 【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ? b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a ? pn-qm ,而

?

?

?

?

?

?

7

? ? ? ? ? ? a ? b=mq-np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,故选 B。
2. (年高考天津卷文科 9)如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则

??? ?

??? ?

????

??? ???? ? AC ? AD =(

)

(A) 2 3 【答案】D

(B)

3 2

(C)

3 3

(D) 3

【解析】 AC ?AD = | AC | ? | AD | cos ?DAC ? | AC | cos ?DAC ? | AC | sin ?BAC ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? | BC | sin B ? 3 | BD | sin B = 3 ,故选 D。
3. (年高考福建卷文科 8)若向量 a ? (x,3)(x ? R) ,则“ x ? 4 ”是“ | a |? 5 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?

【解析】由 x ? 4 得 a ? (4,3) ,所以 | a |? 5 ;反之,由 | a |? 5 可得 x ? ?4 。

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为 4. (年高考福建卷文科 11)若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 3
椭圆上的任意一点,则 OP?FP 的最大值为( A.2 【答案】C B.3 C.6

??? ??? ? ?

) D.8

【解析】由题意,F(-1,0) ,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,解得 y0 2 ? 3(1 ? 0 ) , 4 3 4

因为 FP ? ( x0 ? 1, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? y02 = OP ? FP ? x0 ( x0 ?1) ? 3(1 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

x0 2 x2 ) = 0 ? x0 ? 3 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 4 4

8

??? ??? ? ? 22 x0 ? ?2 ,因为 ?2 ? x0 ? 2 ,所以当 x0 ? 2 时, OP ? FP 取得最大值 ? 2 ? 3 ? 6 ,选 C。 4
5. (年高考北京卷理科 6)a、b 为非零向量。 a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) “ ( 为一次函数”的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

? ?

? ?

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】B

【解析】若 a ? b ,则有 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) ? x(| a |2 ? | b |2 ) 不一定是一次函数(当 (

?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ;反之,成立,故选 B。 | a |?| b | 时不是一次函数)
6.(年高考安徽卷文科 3)设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是( (A) a ? b (C) a / / b 【答案】D (B) a? ? b

1 1 2 2

)

2 2

(D) a ? b 与 b 垂直

b 【解析】 a ? b = ( , ? ) , (a ? b)? ? 0 ,所以 a ? b 与 b 垂直.
7. (年高考辽宁卷文科 8)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面 积等于 ( (A) )

1 2

1 2

??? ?

? ??? ?

?

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

(B)

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

(C) 【答案】C

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

(D)

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

【 解 析 】 S?OAB

? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? (a ? b)2 2 ? | a || b | sin ? a, b ?? | a || b | 1 ? cos ? a, b ? ? | a || b | 1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 |a| |b|

?

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

8.(年高考宁夏卷文科 2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角 的余弦值等于( ) (A) 【答案】C

8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

9

? ? ? ? ? ? a ?b 解析:由已知得 b ? (3,18) ? 2a ? (3,18) ? (8,6) ? (?5,12) ,所以 cos ? a, b ?? ? ? a b
? 4 ? (?5) ? 3 ? 12 16 ? . 5 ?13 65
?

9. (年高考广东卷文科 5)若向量 a =(1,1) b =(2,5) c =(3,x)满足条件 (8 a - , ,

?

?

?

b 【解析】 a? ? 6 ? m ? 0 ,所以 m =6.
11. (年高考湖北卷文科 8)已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得

??? ???? ???? ? ?

???? ??? ? ? ???? ? AM ? AC ? mAM 成立,则 m =(
A.2 【答案】B B.3 C.4

)

D.5

【解析】由 MA ? MB ? MC ? 0 知,点 M 为 V ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点,则

uuu uuu r r

uuu r

r

u r uur uuu u r uuur u r ???? 2 ???? 2 1 uur uuu 1 uur uuu ? AM= AD= ? ( AB ? AC) = ( AB ? AC ) ,所以有 AB ? AC ? 3AM ,故 m =3,选 3 2 3 3
B。 12. (年高考湖南卷文科 6)若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角 为(
0

) B. 600 C. 1200 D. 1500

A. 30 【答案】C 二、填空题:

13.(年高考江西卷文科 13)已知向量 a , b 满足 b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60° ,则 b 在 a 上 的投影是 【答案】1 .

?

?

?

?

?

?

?

10

【解析】 | b | cos 60 ? 2 ?
0

?

1 ?1 2

14. (年高考浙江卷文科 13)已知平面向量 ? , ? , ? ? 1, 值是 。

? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ? 的

【答案】 10

16. (年高考陕西卷理科 11)已知向量 a ? ?2,?1?, b ? ?? 1, m?, c ? ?? 1,2? ,若 a ? b ∥ c , 则 m ? _________ . 【答案】-1 【 解 析 】 ∵

? ?


a ? b ? ?1, m ? 1?, c ? ?? 1,2? , ∴ 由

?a ? b?

c



1? 2 ? ?? 1? ? ?m ? 1? ? 0 ? m ? ?1 .
三.解答题: 17. (年高考江苏卷试题 15) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 【解析】 (方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则 (1)

??? ?

??? ?

11

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 . (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

11 。 5
5

??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ? AB ? OC 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? ???? 2 ? ? 11 | OC |
18.年高考福建卷文科 18) ( 设平顶向量 am =( m , 1) bn = ( 2 , n ), , 其中 m,n ? {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 am ? ( am - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

19. (2009 年高考湖北卷理科第 17 题) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

12

【解析】 (1)解法 1: b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则

| b ? c |2 ? (cos? ?1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,?0 ?| b ? c |2 ? 4 ,即 0 ?| b ? c |? 2.
w.w. w..c.o.m

解法 2:若 ? ?

?
4

,则 a ? (

2 2 , ) ,又由 b ? (cos ? ,sin ? ) , c ? (?1, 0) 得 2 2

? a ? (b ? c) ? (

2 2 2 2 2 , ) ? (cos ? ? 1,sin ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2

? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 ? sin ? ? 1 ? cos ? ,平方后化简得 cos ? (cos ? ? 1) ? 0
w

解得 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 ,经检验, cos ? ? 0或 cos ? ? 1 即为所求 20. (山东省烟台市年 1 月“十一五”课题调研卷理科) 如图,平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|=2,P 为该平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 ( PF ? PQ) ? (PF ? PQ ) ? 0. (1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点 P 的 轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

13

线 l 于点 N,已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求证 : ?1 ? ?2 为定值. 【解析】 (1)方法一:如图,以线段 FM 的中点为原点 O ,以线段 FM 所在的直线为 y 轴 建立直角坐标系 xOy .则, F (0,1) .????2 分 设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则动点 Q 的坐标为 ( x, ?1)

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ? ??? ? PF ? (? x,1 ? y) , PQ ? (0, ?1 ? y) , ?????3 分 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 由 ( PF ? PQ) · ( PF ? PQ) ? 0 ,得 x2 ? 4 y . ???5 分 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 方法二: ( PF ? PQ) ? ( PF ? PQ) ? 0得, PQ ? PF . ???2 由
分 所以,动点 P 的轨迹 C 是抛物线,以线段 FM 的中点 为原点 O ,以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy ,可得 轨迹 C 的方程为:

x2 ? 4 y . ??????????????????????????5 分 (2)方法一:如图,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,??6 分 2 则 N (? , ?1) . ??????????????????????????????7 分 k
联立方程组 ?

? x 2 ? 4 y, 消去 y 得, ? y ? kx ? 1,

x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? ? (?4k )2 ? 16 ? 0 , ???????????????????8 分

? x1 ? x2 ? 4k , ????????????????????????????9 分 ? x1 ? x2 ? ?4. ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得, 2 2 x1 ? ? ??1 x1 , x2 ? ? ??2 x2 ,?????????????????????10 分 k k
故? 整理得, ?1 ? ?1 ?

2 2 , ?2 ? ?1 ? kx1 kx2

?1 ? ?2 ? ?2 ? (

2 1 1 2 x ?x 2 4k ? ) ? ?2 ? · 1 2 ? ?2 ? ? ? 0 . ???????12 分 x1 ? x2 k ?4 k x1 x2 k

方法二:由已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,得 ?1 ? ?2 ? 0 . ??????????7 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? NA ?1 AF 于是, ??? ? ? ? ??? , ? ?2 BF NB ??? ???? ??? ? ? NA AA1 AF 则有 ??? = ???? = ??? , ? ? NB BB1 BF

① ??????????????????8 分

如图,过 A 、 B 两点分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A 、 B1 , 1 ② ??????????????????10 分

由①、②得 ?1 ? ?2 ? 0 . ?????????????????????????12 分

14

15


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