2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1_1_图文

§3.3.1 函数的单调性与导数 [课标解读] 1.理解导数与函数的单调性的关系.(易错点) 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点) 3.会用导数求函数的单调区间.(重点、难点) 课前预习案·核心素养养成 教材知识梳理 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数y=f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性 单调递_增__ 单调递_减__ 2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上 导数的 函数值变化 绝对值 函数的图像 越大 快 比较“_陡_峭__”(向上或向下) 越小 慢 比较“_平__缓_”(向上或向下) 核心要点探究 知识点 导数与函数的单调性 探究1:观察下面一些函数的图像,探讨函数的单调 性与导函数正负的关系. (1)观察图像,完成下列填空. 图①中的函数y=x的导函数y′=_1,此函数的单调增 区间为_(-__∞___,__+__∞__) _; 图②中的函数y=x2的导函数y′=_2_x_,此函数的单调 增区间为_(_0_,__+__∞__);单调减区间为(-∞,0); 图③中的函数y=x3的导函数y′=_3_x_2_,此函数的单 调增区间为_(_-__∞__,__+__∞__) _; 图④中的函数 y=1x的导函数 y′=-__x_12_,此函数的单 调减区间为(-∞,0),(0,+∞). (2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思 考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系? 提示 根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间 与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时, 此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0 时,此时对应的函数为减函数. 探究2:根据函数的单调性与导数之间的关系,完成 以下问题. (1)在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上 单调递增,反过来也成立吗? 提示 不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数, 但f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分 不必要条件. (2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域? 提示 首先需要确定函数的定义域,函数的单调区 间是定义域的子集. 课堂探究案·核心素养提升 题型一 函数与导函数的图像 例1 已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是 函数f(x)的导函数),下列四个图像中为y=f(x)的大致 图像的是 【自主解答】 由题图知:当x<-1时,xf′(x)<0, ∴f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增; 当-1<x<0时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0, 函数y=f(x)单调递减; 当0<x<1时,xf′(x)<0,f′(x)<0, 函数y=f(x)单调递减; 当x>1时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0, y=f(x)单调递增. 【答案】 C ●规律总结 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时, 注意抓住各自的关键要素:对于原函数,要注意其图 像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减; 而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于 零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数 的单调区间是否一致. ◎变式训练 1.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图像如图所 示,则y=f(x)的图像最有可能是 解析 由导函数图像知: 当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 故f(x)在(-∞,-1)上单调递减; 当x∈(-1,1)时,f′(x)>0, 故f(x)在(-1,1)上单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, 故f(x)在(1,+∞)上单调递减.故选B. 答案 B 题型二 利用导数求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=3x-x3; (2)f(x)=3x2-2ln x. 【自主解答】 (1)∵f′(x)=3-3x2=-3(x+1)(x-1), 解法一 当f′(x)>0,即-1<x<1时,函数f(x)=3x -x3单调递增;当f′(x)<0,即x<-1或x>1时,函数 f(x)=3x-x3单调递减. 所以函数f(x)=3x-x3的单调递增区间为(-1,1),单 调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 解法二 令f′(x)=0,得x=-1或x=1. 当x<-1时,f′(x)<0;当-1<x<1时,f′(x)>0; 当x>1时,f′(x)<0. 所以函数f(x)=3x-x3的单调递增区间为(-1,1), 单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞). (2)函数的定义域为(0,+∞). ∵f′(x)=6x-2x=6???x2x-13???=6???x+ 33??????x- x 3? ? 3 ?, 又∵x>0,∴令 f′(x)=0,得 x= 33. 当 0<x< 33时,f′(x)<0;当 x> 33时,f′(x)>0. 所 以 函 数 f(x) = 3x2 - 2ln x 的 单 调 递 增 区 间 为 ? ? ? 33,+∞???,单调递减区间为???0, 3? 3 ?. ? ●规律总结 求函数y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y′=f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为增区 间. (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为减区 间. ◎变式训练 2.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=12x+sin x,x∈(0,2π ); (2)f(x)=2x-ln x. 解析 (1)∵f′(x)=12+cos x, ∴令 f′(x)>0 得12+cos x>0,即 cos x>-12. 又∵x∈(0,2π),∴0<x<23π或43π<x<2π. 同理,令 f′(x)<0,得23π<x<4

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