第一章 集合与函数概念(二)A卷


高中同步创优单元测评 A 卷 数 学

班级:________ 姓名:________ 得分:________ 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) [名师原创· 基础卷] (时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)= 1 的定义域是( 2x-3 )

3? 3? ? ?3 ? ? ?3 ? A.?0,2? B.?2,+∞? C.?-∞,2? D.?2,+∞? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=2 的公共点有( A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.不能确定 3.函数 y=x2-4x+1,x∈[2,5]的值域是( ) )

A.[1,6] B.[-3,1] C.[-3,6] D.[-3,+∞)
? ?x ?x≥0?, 4.已知函数 f(x)=? 2 则 f(f(-2))的值是( ?x ?x<0?, ?

)

A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.已知函数 f(x)=(a-x)|3a-x|,a 是常数且 a>0,下列结论正确 的是( ) B.当 x=3a 时,有最大值 0 D.有最小值,但无最大值

A.当 x=2a 时,有最小值 0 C.无最大值也无最小值

6.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+ a)的值域为( ) B.[a,b] D.[-a,a+b] )

A.[2a,a+b] C.[0,b-a]

7.已知函数 f(x+1)=3x+2,则 f(x)的解析式是( A.3x+2 B.3x+1 C.3x-1 D.3x+4

8.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,若 x1<0, 且 x1+x2>0,则( A.f(x1)>f(x2) C.f(x1)<f(x2) ) B.f(x1)=f(x2) D. 无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小

k 9.已知反比例函数 y=x的图象如图所示,则二次函数 y=2kx2 -4x+k2 的图象大致为( )

10.若 φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=aφ(x)+bg(x)+2 在(0,+∞) 上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 C.最小值-1 )

B.最大值-5 D.最大值-3

11.已知 f(x)为奇函数,在区间[3,6]上是增函数,且在此区间上

的最大值为 8,最小值为-1,则 2f(-6)+f(-3)=( A.-15 B.-13 C.-5 D.5

)

12.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集为( x A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 第Ⅱ卷 ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正 确答案填在题中横线上) 13.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域 为________. 14.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),则下列各式 恒成立的是________.
?1? 1 ①f(0)=0;②f(3)=3f(1);③f?2?=2f(1);④f(-x)· f(x)<0. ? ?

15.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它 的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. 16.若函数 f(x)=x2-(2a-1)x+a+1 是(1,2)上的单调函数,则 实数 a 的取值范围为______________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知二次函数 f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2. (1)若函数的图象经过原点,且满足 f(2)=0,求实数 m 的值; (2)若函数在区间[2,+∞)上为增函数,求 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 1+x2 已知函数 f(x)= . 1-x2 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断并证明 f(x)的奇偶性;
?1? (3)求证:f? x?=-f(x). ? ?

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)的定义域为(-2,2),函数 g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数 g(x)的定义域; (2)若 f(x)是奇函数,且在定义域上单调递减,求不等式 g(x)≤0 的解集.

20.(本小题满分 12 分) 已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x. (1)当 x<0 时,求 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象,并指出其单调区间.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)为增函数,f(x· y)=f(x) +f(y).
?x? (1)求证:f?y?=f(x)-f(y); ? ?

(2)若 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范 围.

详解答案 第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) [名师原创· 基础卷] 3 1.D 解析:由 2x-3>0 得 x>2. 2.C 解析:如果 x=2 与函数 y=f(x)有公共点,则只有一个公 共点,因为自变量取一个值只对应一个函数值;若无交点,则没有公 共点,此时的 x=2 不在 y=f(x)的定义域内. 3.C 解析:函数 y=(x-2)2-3 在[2,+∞)上是增函数,所以 最小值为 f(2)=-3,又 x∈[2,5],故最大值为 f(5)=6. 4.C 解析:∵x=-2<0,∴f(-2)=(-2)2=4. 又 4>0,∴f(f(-2))=f(4)=4. 5.C
2 2 ? ??x-2a? -a ,x≤3a, 解析:由 f(x)=? 可画出简图. 2 2 ?-?x-2a? +a ,x>3a, ?

分析知 C 正确. 6.B 解析:y=f(x+a)可由 y=f(x)的图象向左或向右平移|a|个 单位得到,因此,函数 y=f(x+a)的值域与 y=f(x)的值域相同. 7. C 解析: 设 x+1=t, 则 x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1, ∴f(x)=3x-1,故选 C. 解题技巧:采用换元法求函数解析式是常用方法.换元时,一定 注意自变量的取值范围的变化情况. 8.C 解析:x1<0,且 x1+x2>0,∴x1>-x2. 又 f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴f(x1)<f(-x2). 又 f(x)是偶函数,∴f(x1)<f(x2). 9. D 解析: 由反比例函数的图象知 k<0, ∴二次函数开口向下, 1 排除 A,B,又对称轴为 x=k<0,排除 C. 10.C +2≤5. 对任意 x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),且 φ(x),g(x)都是奇函 数, 有 f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+2≤5.即-aφ(x)-bg(x)+2≤5, ∴aφ(x)+bg(x)≥-3. ∴f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1. 11.A 解析:因为函数在[3,6]上是增函数,所以 f(6)=8,f(3) 解析:由已知对任意 x∈(0,+∞),f(x)=aφ(x)+bg(x)

=-1, 又函数 f(x)为奇函数, 所以 2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=- 2×8+1=-15,故选 A. 12.D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x), ∴
?f?x?<0, ?f?x?>0, f?x?-f?-x? 2f?x? ? ? = <0 ,即 或 x x ?x>0 ?x<0.

因为 f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数,故 f(x)在(-∞,0) 上是增函数. 由 f(1)=0 知 f(-1)=0,
?f?x?<f?-1?, ?f?x?<0, ? ∴? 可化为? ∴0<x<1; ? ?x>0 ?x>0, ? ?f?x?>0, ?f?x?>f?1?, ? 可化为? ∴-1<x<0. ? ?x<0 ?x<0,

1? ? 1 13.?-1,-2? 解析:由-1<2x+1<0,解得-1<x<-2,故函数
? ?

1? ? f(2x+1)的定义域为?-1,-2?.
? ?

解题技巧:已知 f(x)的定义域为[a,b],求 f(g(x))的定义域,可从 a≤g(x)≤b 中解得 x 的取值范围,即为 f(g(x))的定义域. 14.①②③ 解析:令 x=y=0,得 f(0)=0;令 x=2,y=1,得

f(3)=f(2)+f(1)=3f(1);
?1? ?1? 1 1 令 x=y=2,得 f(1)=2f?2?,∴f?2?=2f(1); ? ? ? ?

令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x), ∴f(-x)· f(x)=-[f(x)]2≤0. 15. -2x2+4 解析: f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 为偶函数,则 2a+ab=0,∴a=0 或 b=-2. 又 f(x)的值域为(-∞,4],∴a≠0,b=-2,∴2a2=4. ∴f(x)=-2x2+4. 2a-1 5 3 1 16.a≥2或 a≤2 解析:函数 f(x)的对称轴为 x= 2 =a-2, 1 1 5 3 ∵函数在(1,2)上单调,∴a-2≥2 或 a-2≤1,即 a≥2或 a≤2.

2 ? ?m -5m+4=0, 17.解:(1)∵f(0)=0,f(2)=0,∴? ∴m=1. 2 ?m-m =0, ?

(2)∵y=f(x)在[2,+∞)为增函数, 2?m-2? ∴对称轴 x=- 2 ≤2, ∴m≥0. 18.(1)解:由 1-x2≠0 得 x≠± 1, ∴f(x)的定义域为{x|x≠± 1,x∈R}. (2)解:f(x)是偶函数,证明如下: 设 x∈{x|x≠± 1,x∈R},则-x∈{x|x≠± 1,x∈R}. 1+?-x?2 1+x2 ∵f(-x)= = =f(x), 1-?-x?2 1-x2 ∴f(x)是偶函数.
?1? (3)证明:∵f?x ?= ? ?

x +1 1+x ? ? = = =- = 2 1 x -1 ?1?2 1-x2 1-?x ? 1-x2 ? ?

?1? 1+?x ?2

1 1+x2

2

2

?1? -f(x),∴f? x?=-f(x)成立. ? ? ? ?-2<x-1<2, 19.解:(1)由题意可知? ?-2<3-2x<2, ?

?-1<x<3, ∴?1 5 < x < ?2 2.

1 5 解得2<x<2.

?1 5? 故函数 f(x)的定义域为?2,2?. ? ?

(2)由 g(x)≤0,得 f(x-1)+f(3-2x)≤0, ∴f(x-1)≤-f(3-2x). ∵f(x)为奇函数,∴f(x-1)≤f(2x-3).

而 f(x)在(-2,2)上单调递减,

?x-1≥2x-3, ∴?1 5 < x < ?2 2.
?

1 解得2<x≤2.

?1 ? ∴g(x)≤0 的解集为?2,2?. ?

20.解:(1)当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴当 x<0 时,f(x)=x2+2x.
2 ? ?x -2x (2)由(1)知,f(x)=? 2 ? ?x +2x

?x≥0?, ?x<0?.

作出 f(x)的图象如图所示.

由图得函数 f(x)的递减区间是(-∞,-1],[0,1]. f(x)的递增区间是[-1,0],[1,+∞).
?x ? ?x? y?=f?y?+f(y)(y≠0), 21.(1)证明:∵f(x)=f?y· ? ? ? ? ?x? ∴f?y?=f(x)-f(y). ? ?

(2)解:∵f(3)=1,∴f(9)=f(3· 3)=f(3)+f(3)=2. ∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f [9(a-1)]. 又 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, a>0, ? ? ∴?a-1>0, ? ?a>9?a-1?, 9 ∴1<a<8.

1 1 22.解:(1)当 a=2时,f(x)=x+2x+2, 1 ? ? 1 设 x2>x1>1,则 f(x2)-f(x1)=x2+2x +2-?x1+2x +2?
2

?

1

?

x1-x2 1 ? ? =(x2-x1)+ 2x x =(x2-x1)?1-2x x ?. ? 1 2? 1 2 ∵x2>x1>1, 1 1 1 ∴x2-x1>0,2x x <2,1-2x x >0, 1 2 1 2 ∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在[1,+∞]上单调递增. 7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)=2. x2+2x+a (2)在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立, x 等价于 x2+2x+a>0 恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞). ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在[1,+∞)上单调递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a. 于是,当且仅当 ymin=3+a>0 时,f(x)>0 恒成立. ∴a>-3. 解题技巧:不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题,分离

参数法是求解此类问题的常用方法.


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