1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)奇偶性_图文

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时(奇偶性及对称性)

回顾:
1.周期函数的定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函 数.非零常数T叫做这个函数的周期.
f(x)=f(x+T)的特点

练习:
1.求下列函数的周期:

x (1) y ? sin 3 x, x ? R;(2) y ? cos ; 3 x ? (3) y ? 3sin , x ? R;(4) y ? sin( x ? ); 4 10 (5) y ? cos(2 x ? ), x ? R; 3 1 ? (6) y ? 3 sin( x ? ), x ? R. 2 4

?

例 1 已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x + 2) + f(x)=0 ,

试判断f(x)是否为周期函数?
解:由已知有:f(x+2)= -f(x) ∴f(x+4)= f[(x+2)+2]= -f(x+2) = -[-f(x)]= f(x) 即f(x+4)=f(x) ∴由周期函数的定义知,f(x)是周期函数.

变式训练:

1 函数f ( x)满足f ( x ? 2) ? ? , f ( x) 求证:f ( x)是周期函数,并求出它的一个周期。

思考题:
判断下列函数的周期性:

?1? y ? sin x ? 2? y ? sin x

x?R x?R

图像法(观察法) 可结合定义证明

例2.

变式训练:
1.若f(x)是以4为周期的偶函数,且当x∈[0,2]

时,f(x)=x,求f(7.6)的值.
【解析】∵f(x)是以4为周期的偶函数, ∴f(7.6)=f(-0.4+8)=f(-0.4)=f(0.4), 又∵当x∈[0,2]时,f(x)=x,

∴f(0.4)=0.4,即f(7.6)=0.4.

2.奇偶性: 正弦函数y=sinx(x∈R)的图像
y

关于原点对称
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

-

正弦函数是奇函数 余弦函数y=cosx(x∈R)的图像
y

-

x

关于y轴对称
1-

? 6?

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?
-

6?
-

余弦函数是偶函数

-

x

探究:正弦函数、余弦函数的对称性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

? 对称性:(1)对称轴为 x ? k? ? , k ? Z , 2
(2)对称中心为
y
1 -4? -3? -2? -?

(k? , 0), k ? Z .
? 2? 3? 4? 5? 6?

o
-1

x

对称性:(1)对称轴为 x ? k? , k ? Z ,
(2)对称中心为 (k? ?

?

2

, 0), k ? Z .

函数图象的对称性
若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x), 则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.
注意对抽象函数y=f(x)的对称性与周期性的识别, 如f(a+x)=f(a-x)表示函数的图象关于直线x=a对称,而 f(x+a)=f(x-a)表示函数是周期函数,且周期为2a,它们 在形式上相近,要注意加以区别.

例.函数f ? x ? 的定义域为R,并且对一切实数x都 满足f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? . 证明:函数y ? f ? x ? 的图象关于直线x ? 2对称;

例3:
1.

A

2.

B

小结:
1、 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x) =f(x+T),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数 T叫做这个函数的周期. 2、由周期函数的定义知:f(x+T)=f(x)的两端作用 的是相同的对应法则f. 3、 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数,且 A≠0,ω>0)的周期T=2π /ω .

4、理解正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数; 掌握其对称轴与对称中心的求法。

作业布置:
1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是 周期函数的是( )

2.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,

则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有_____个实数根.

2 2 sinx ? sin x . (3)f ? x ? ? cosx ? 1;(2)f ? x ? ? 1 ? sinx
4.

(1)y=sinx+tanx;(2)f(x)=cos(π -x)-xcos( ? -x)

3.判断下列函数的奇偶性:

5. 函数f ? x ?的定义域为R,并且对一切实数x 都满足f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ?.若f ? x ? 是偶函数, 且x ? ? 0, 2?时,f ? x ? ? 2x ? 1,求x ? ? ?4, 0?时, f ? x ?的表达式.


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