2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆练习理北师大

第5讲 椭 一、选择题 1.椭圆 + =1 的焦距为 2,则 m 的值等于( m 4 A.5 B.3 圆 x2 y2 ) C.5 或 3 D.8 解析 当 m>4 时,m-4=1,∴m=5;当 0<m<4 时,4-m=1,∴m=3. 答案 C 2.“2<m<6”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 若 + =1 表示椭圆. m-2 6-m + =1 表示椭圆”的( m-2 6-m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 ) x2 y2 m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ∴2<m<6 且 m≠4. ? ?m-2≠6-m, 故“2<m<6”是“ 答案 B x2 m-2 6-m + y2 =1 表示椭圆”的必要不充分条件. x2 y2 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2, a b ∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. 3 6 B. 1 3 ) C. 1 2 D. 3 3 解析 在 Rt△PF2F1 中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|= 3.故 e 2c |F1F2| 3 = = = .故选 D. 2a |PF1|+|PF2| 3 答案 D 1 4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: 2 y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 2 ) B.6 C.9 D.12 解析 抛物线 C:y =8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2.从而椭圆 E 的半焦距 x2 y2 c 1 c=2.可设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),因为离心率 e= = ,所以 a=4,所以 a b a 2 b2=a2-c2=12.由题意知|AB|= 2b 2 a 12 =2× =6.故选 B. 4 1 答案 B 5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆 ax +by =1(a>0,b>0)与直线 y=1-x 交于 A,B 两 点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. 3 2 B. 2 3 3 3 b ,则 的值为( 2 a C. 9 3 2 ) 2 3 27 2 2 D. 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ax1+by1=1,ax2+by2=1, 即 ax1-ax2=-(by1-by2), 2 2 2 2 2 2 by1 -by2 2 2=-1, ax1-ax2 2 2 2 2 b(y1-y2)(y1+y2) b 3 =-1,∴ ×(-1)× =-1, a(x1-x2)(x1+x2) a 2 b 2 3 ∴ = ,故选 B. a 3 答案 B 二、填空题 6.焦距是 8,离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为________. 2c=8, ? ? ? ?a=5, 解析 由题意知?c 解得? ?c=4, =0.8, ? ? ?a 又 b =a -c ,∴b =9,∴b=3. 当焦点在 x 轴上时,椭圆方程为 + =1, 25 9 当焦点在 y 轴上时,椭圆方程为 + =1. 25 9 答案 + =1 或 + =1 25 9 25 9 2 2 2 2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 7.(2017·南昌质检)椭圆 + =1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m, 当 m 取最大值 9 25 时,点 P 的坐标是________. 解析 记椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,有|PF1|+|PF2|=2a=10. 则 m=|PF1|·|PF2|≤? x2 y2 ?|PF1|+|PF2|? =25,当且仅当|PF |=|PF |=5,即点 P 位于椭圆的 ? 1 2 2 ? ? 2 短轴的顶点处时,m 取得最大值 25. ∴点 P 的坐标为(-3,0)或(3,0). 答案 (-3,0)或(3,0) 2 8.(2017·乌鲁木齐调研)已知 F1(-c, 0), F2(c, 0)为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, x2 y2 a b P 为椭圆上一点,且PF1·PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________. → → 2 2 2 2 解析 设 P(x,y),则PF1·PF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x -c +y =c ,① 将 y =b - 2x 代入①式解得 (2c -b )a (3c -a )a x= = , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → → b2 a 2 c c 2 又 x ∈[0,a ],∴2c ≤a ≤3c , ∴e= ∈? 答案 ? 2 2 2 2 c ? 3 2? , ?. a ?3 2 ? 2? ? 3 , ? 2 ? ?3 三、解答题 9.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴 垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解 (1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, ?,2b =3ac. a 2 2 x2 y2 a b ? ? b2? ? 2 c 1 c 1 2 2 2 2 将 b =a -c 代入 2b =3ac,解得 = 或 =-2(舍去).故 C 的离心率为 . a 2 a 2 (2)由题意,知原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线 b2 2 段 MF1 的中点,故 =4,即 b =4a.① a 由|MN|=5|F1

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