江苏省2012届高三高考极限压轴卷 数学

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2012 年江苏省高考压轴卷 数学试题
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试 卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它 位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 5、如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 A ? {1, 2 }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? { } ,则 A ? B 为___▲__.
a

1 2

2.若命题“ ?x ? R, 使得x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ▲
2

3. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 内随机取一点 P ,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为



.

x2 y 2 4. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 则 ? ? 1 的右焦点重合, p 的值为 6 3
2





5. 已知 tan ? ? ? , cos ? ?

1 3

5 , ? , ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ? =___ ▲_____. 5

?x ? 0 ? 2 2 6.已知实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 0 ,则 x ? y ? 2 x ? 2 y 的最小值为 ▲ ?x ? y ? 1 ?

.

7. 按下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方 图, 已知图甲中从左向右第一组的频数为 4000. 在样本中记月收入在 ?1000,1500 ? ,

[1500, 2000), [2000, 2500),[2500,3000),[3000,3500) , [3500, 4000] 的人 数依次为 A1 、 A2 、??、 A6 .图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程
图,则样本的容量 n ? ▲ ;图乙输出的 S ? ▲ . (用数字作答)

第 1 页 共 14 页

8.已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n // ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题的个数为 _▲_. 9.若函数 f ( x) ? log a (2 x 2 ? x)( a ? 0, a ? 1)在区间( , )内恒有f ( x) ? 0, 则 f(x)的 0 单调递增区间是 ▲ . ②若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? ④若 m ? ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ?

1 2

10. 如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” , 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 ? n≥2 ? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,…, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
的数均为 则第10行第4个数(从左往右数)为 ▲

11 . 设 函 数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的 图 象 在
3

x=1

处 的 切 线 为 ▲

l , 则 圆 . y

2 x 2 ? 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 15 ? 0 上的点到直线 l 的最短距离为

x2 y2 12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 a b
( a ? b ? 0 )的左顶点, B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为 A 平行四边形,且∠OAB=30° ,则椭圆 E 的离心率等于 ▲ .

B O

C x

(第 12 题)

第 2 页 共 14 页

1 1 时, | ax ? 2 x 3 |? 恒成立,则实数 a 的取值范围是___▲________. 2 2 14. 已知正项等比数列 ? an ? 满足 a7 ? a6 ? 2 a5 ,若存在两项 am、an 使得 am an ? 4a1 ,则
13.当 0 ? x ?

1 4 ? 的最小值是 m n

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. 本小题满分 14 分) ( 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2 x)i (? , m, x ? R, ) , 且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

(2)设 ? = f ( x) ,已知当 x ? ? 时, ? ?

1 ? ,试求 cos(4? ? ) 的值. 2 3

16.(本小题满分 14 分)如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD , E 是 AB 的中点. 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF//平面 CDE. A

E

B

G

C

D 17. (本小题满分 14 分) 如图所示,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路为边界 的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径 OM ? R , ?MOP ? 45? , OB 与 OM 之间的夹角为 ? . (1)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 ? 的函数. (2)求当 ? 为何值时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值? 其最大值是多少?(用含 R 的式子表示)

Q

C M

D

F

B 第 3 页 共 14 页 O A P

18. (本小题满分 16 分) 已知 A 、 B 分别是直线 y ? 线段 AB 的长为 2 3 , P 是 AB 的中点. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点, 3 3

(2)过点 Q(1 , 0) 任意作直线 l (与 x 轴不垂直) ,设 l 与(1)中轨迹 C 交于 M、N 两 点,与 y 轴交于 R 点.若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.

???? ?

???? ?

????

????

19. (本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的通项是关于 x 的不等式 x ? x ? (2n ? 1) x
2

的解集中整数的个数. (1)求 a n 并且证明 {a n } 是等差数列; (2)设 m、k、p∈N*,m+p=2k,求证:

2 1 1 + ≥ ; Sm Sp Sk

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立, 请证明你的结论,如果不成立,请说明理由.

20. (本题满分 16 分)设函数 f ( x) ?

2x ? 3 , g ( x) ? ln x. x

(1)试判断当 x ? 0, g ( x)与f ( x) 的大小关系; (2)求证: (1 ? 1 ? 2)(1 ? 2 ? 3)?[1 ? n(n ? 1)] ? e
2 n ?3

(n ? N * ) ;

( 3 ) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 上 的 两 点 , 且

g ?( x0 ) ?

y2 ? y1 (其中g ?( x)为g ( x)的导函数) ,证明: x0 ? ( x1 , x2 ). x2 ? x1

第 4 页 共 14 页

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥BC,点 E , F 分 别在边 AB ,CD 上, ED 与 AF 相交于点 G , B ,C ,F , 设 若

A E G

D

E 四点共圆,求证: AG ? GF ? DG ? GE .

F

B
(第 21—A 题)

C

B. (选修4-2:矩阵与变换) 已知 M= ?

?1 -2 ? ?3? 20 ? ,? ? ?1 ? ,试计算 M ? -2 1? ? ? ?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系下,已知圆 O : ? ? cos? ? sin ? 和直线

? 2 。 l : ? sin(? ? ) ? 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;
第 5 页 共 14 页

(2)当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标。

D. (选修4-5:不等式选讲)求函数 y ? 1 ? x ? 4 ? 2 x 最大值.

22.(本小题满分 10 分)某大楼共 5 层,4 个人从第一层上电梯,假设每个人都等可能地在 每一层下电梯,并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. (Ⅰ) 求某乘客在第 i 层下电梯的概率 (i ? 2,3,4,5) ; (Ⅱ)求电梯在第 2 层停下的概率; (Ⅲ)求电梯停下的次数 ? 的数学期望.

23.(本小题满分 10 分) 设数列{ a n}满足 a 1= a , a n+1= a n2+ a 1, M ? ?a ? R n ? N*,| an | ≤ 2? . (Ⅰ)当 a ∈(-∞,-2)时,求证: a? M; (Ⅱ)当 a ∈(0, (Ⅲ)当 a ∈(
1 ]时,求证: a ∈M; 4

1 ,+∞)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论. 4

第 6 页 共 14 页

2012 年江苏省高考压轴卷 数学试题(参考答案)
一、填空题 1
1 {?1, ,1} 2

2
(3,+∞) ? (-∞, -1)

3
1?

4
6

5
5? 4

6

7
10000 , 6000

?
12

?
12

3 2
13

8
1

9
1 (??,? ) 2

10
1 840

11

14
3 2

2

2 2 3

1 3 ? ?a? 2 2

二、解答题
15. 解: (1)∵ z1 ? z2 ∴

?sin 2 x ? m ? ? ?? ? m ? 3 cos 2 x ?



?=sin 2 x ? 3 cos 2 x --------------------------------------2 分


? ?0



sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 0



tan 2 x ? 3 -----------------------------------------------4 分
∵0 ? x ??, ∴ 2x ? ∴

?0 ? 2x ? 2 ?
4? 3 x?

?
3

, 或 2x ?

?
6



2? 3

------------------------------------------------------------------------------------------6 分
第 7 页 共 14 页

(2)∵ ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? =

1 2

3 cos 2 x) 2

? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) -----------------------------------------8 分 3 3 3 1 ∵当 x ? ? 时, ? ? 2 ? 1 ? 1 ∴ , 2sin(2? ? ) ? sin(2? ? ) ? 3 2 3 4 ? 1 sin( ? 2? ) ? ? ------------------------------10 分 3 4 2(sin 2 x cos
∵ cos(4? ?

?

?

?



) = cos 2(2? ? ) ? 2cos 2 (2? ? ) ? 1 = 2sin 2 ( ? 2? ) ? 1 3 6 6 3 ? 1 7 ∴ cos(4? ? ) ? 2 ? (? ) 2 ? 1 ? ? .------------------------------------------------------------14 分 3 4 8
16. 证明: (1)

?

?

?

?

BC ? AC ? AD ? BD ? ? ? CE ? AB 同理, ? ? DE ? AB AE ? BE ? AE ? BE ?

又∵ CE ? DE ? E ∴ AB ? 平面 CDE . …………………5 分 (2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC .………………9 分 (3)连接 AG 并延长交 CD 于 H,连接 EH,则 在 AE 上取点 F 使得 分

AG 2 ? , GH 1

AF 2 则 易知 …………………14 ? , GF∥EH, GF∥平面 CDE. FE 1

? 17.解(Ⅰ)由题意可知,点 M 为 PQ 的中点,所以 OM ? AD .
设 OM 于 BC 的交点为 F,则 BC ? 2R sin ? , OF ? R cos? .

AB ? OF ?

1 AD ? R cos ? ? R sin ? . 2
2 2

所以 S ? AB ? BC ? 2R sin ? ( R cos ? ? R sin ? ) ? R (2sin ? cos ? ? 2sin ? )

? R 2 (sin 2? ? 1 ? cos 2? ) ? 2 R 2 sin(2? ? ) ? R 2 , ? ? (0, ) . 4 4 ? ? ? 3? (Ⅱ)因为 ? ? (0, ) ,则 2? ? ? ( , ). 4 4 4 4
所以当 2? ?

?

?

?

4

?

?

2

,即 ? ?

?

8

时,S 有最大值.

Smax ? ( 2 ? 1) R 2 .
故当 ? ?

?
8

时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 ( 2 ? 1)R .
2

第 8 页 共 14 页

18. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

???2 分

3 3 3 3 x和y?? x2 . x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? 3 3 3 3
????4 分

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 2 2 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 12 .
∴ 12 y 2 ?

????5 分 ????8 分

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 9 3

(2)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 设 M ( x3 , y 3 ) 、 N ( x 4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 2 ? 9 ? y ? 1. ? 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
∴ x3 ? x 4 ?

????10 分 ???12 分

18k , ① 1 ? 9k 2

2

x3 x4 ?

9k ? 9 . 1 ? 9k 2
2



∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ???14 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x4 ∴? ? ? ? . ? ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . ????16 分 4
即? 19.解: (1)不等式 x ? x ? (2n ? 1) x 即 x( x ? 2n) ? 0
2

解得: 0 ? x ? 2n ,其中整数有 2n-1 个

? an ? 2n ? 1
(2)由(1)知 S n ?

???????3 分

由通项公式可得: a n ? a n?1 ? 2 ,所以数列 {a n } 是等差数列???????4 分
n(1 ? 2n ? 1) 2 2 2 ? n 2 ,∴ Sm=m ,Sp=p ,Sk=k . 2 1 1 2 1 1 2 k 2 ( m 2 ? p 2 ) ? 2m 2 p 2 ? ? ? 2? 2? 2 ? 由 Sm S p Sk m m2 p 2k 2 p k
w

第 9 页 共 14 页

≥ 即

2mp ? mp ? 2m 2 p 2 =0, m2 p 2k 2

2 1 1 ≥ . ????????????????????????10 分 ? Sm S p Sk

(3)结论成立,证明如下: 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn ? na1 ? ∵ Sm ? S p ? 2Sk ? ma1 ?

把 m ? p ? 2k 代入上式化简得

m(m ? 1) p( p ? 1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ? 1)d ] 2 2 m 2 ? p 2 ? (m ? p) ? (m ? p)a1 ? d ? [2ka1 ? (k 2 ? k )d ] , 2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) , d? 2 2

S m ? S p ? 2S k =
∴ Sm+Sp≥2Sk. 又 Sm ? S p ?

m2 ? p 2 ? 2 ? ( 2

m? p 2 ) (m ? p) 2 d 2 ≥0, ?d ? 4
=

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4
(

mp[a12 ? a1 (am ? a p ) ? am ? a p ] 4
am ? a p

m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1 ? ak ? ( )2 ] 2 2 ≤ 4 2 2 k 2 (a1 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak ) 2 S ? ? ? ( k )2 , 4 4 2 Sm ? S p 1 1 2S k 2 ∴ ≥ . ? ? ? Sk 2 Sk Sm S p Sm S p ( ) 2 故原不等式得证.????????????????????????16 分
20. (1)解:设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x)( x ? 0) 则 F '( x) ?

1 3 ? ……1分 x x2

由 F '( x) ? 0, 得x=3

当0<x<3时,F '( x) ? 0, 当x ? 3时F '( x) ? 0

? x=3 时, F ( x) 取得最小值为 F (3)=ln3-1>0
? F ( x) ? 0, 即 g ( x) ? f ( x) ????5 分
(2)证明:由(1)知 ln( x ? 1) ? 2 *

3 3 ? 2 - ( x ? -1) x ?1 x
3 ??7 分 n(n ? 1)

令 x ? n(n ? 1)(n ? N ), 则 ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 -

第 10 页 共 14 页

? ln(1 ? 1 ? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ? ? ? ln[1 ? n( n ? 1)] 3 3 3 ) ? (2 ) ??? [2 ] 1? 2 2?3 n ? ( n ? 1) 1 1 1 ? 2n - 3[ ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n ? ( n ? 1) 1 ? 2n - 3(1) n ?1 ? 2n - 3 ? (2 ? (1 ? 1? 2)(1 ? 2 ? 3)?[1 ? n(n ? 1)] ? e2 n ?3 (n ? N * ) ????10 分
(3)证明: g '( x0 ) ?

x2 -x1 1 1 y -y ,于是 = 2 1 , x0 = , x0 ln x2 - ln x1 x0 x2 -x1

以下证明 x1 <

x2 -x1 ln x2 - ln x1

等价于 x1 ln x2 -x1 ln x1 -x2 +x1 <0 。 令 h(x)=x ln x2 -x ln x1 -x2 +x ????12 分 则 h '( x) ? ln x2 - ln x1 ,在 (0, x2 ] 上, h '( x) ? 0 所以 h( x)在(0, x2 ]上为增函数。 当 x1 ? x2时, h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0, 即 x1 ln x2 -x1 ln x1 -x2 +x1 <0 从而 x0 ? x1 ,得到证明。对于 x2 ? 所以 x0 ? ( x1 , x2 ). ????16 分 另法: (3)证明:

x2 ? x1 同理可证。 ln x2 ? ln x1

g '( x0 ) ?

x2 -x1 1 1 y -y ,于是 = 2 1 , x0 = , x0 ln x2 - ln x1 x0 x2 -x1

x2 ?1 x1 x2 -x1 x x 以下证明 x1 < 。只要证: 1 ? ,即证: ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 x2 ln x2 - ln x1 x1 x1 ln x1
设:

x2 ? t , F (t ) ? ln t ? t ? 1 ????12 分 x1

第 11 页 共 14 页

? t ? 1,? F '(t ) ?

1? t ? 0, t

? F (t )在[1,+?) 上为减函数,

? F (t ) ? F (1) ? 0 ,
? ln x2 x2 ? ?1 ? 0 x1 x1 x2 -x1 ,即 x1 <x0 。 ln x2 -ln x1

? x1 <

同理可证: x2 >x0 所以 x0 ? ( x1 , x2 ). ????16 分

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. A. 证明:连结 EF,∵ B, C, F , E 四点共圆,∴ ?ABC ?∠EFD ……………2 分 ∵ AD ∥ BC ,∴ ?BAD ? ?ABC ? 180°,∴ ?BAD ? ?EFD ? 180° …………6 分 ∴ A, D, F , E 四点共圆…………8 分 ∵ ED 交 AF 于点 G,∴ AG ? GF ? DG ? GE ……10 分 B. 解:矩阵 M 的特征多次式为 f (? ) ? (? ? 1)2 ? 4 ? 0, ?1 ? 3, ?2 ? ?1 , 对应的特征向量分别为 ?
?1 ? ?1? ?1 ? ?1? 和? ?, ?1? ? ? ?1?

而 ? ? ? ? ? 2 ? ? ,所以 M 20? ? 320 ? ? ? 2(?1) 20 ? ? ? ? 20 ? ? ?1? ?1? ? ?3 ? 2 ? ? ?1? ?1? ? ? C.解: (1)圆 O : ? ? cos? ? sin ? ,即 ? ? ? cos? ? ? sin ?
2

?1 ?

?1?

?320 ? 2 ?

圆 O 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2 2 2

直线 l : ? sin(? ?

2 ,即 ? sin? ? ? cos? ? 1 则直线的直角坐标方程为: 4 2 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 。 )?

?

(2)由 ?

?x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

得?

?x ? 0 ?y ?1

故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1,

?
2

)。

第 12 页 共 14 页

D.解:因为 y ? ( 1 ? x ? 2 ? 2 ? x ) ≤ [1 ? ( 2) ][1 ? x ? 2 ? x] ? 3 ? 3
2 2
2 2

∴ y ≤ 3 …8 分,当且仅当 22.解: (Ⅰ) F (i ) ?

1 2 ? 时取“ ? ”号,即当 x ? 0 时, ymax ? 3 1? x 2? x

1 ; 4 1 175 (Ⅱ) P ? 1 ? (1 ? ) 4 ? 4 256

(Ⅲ) ? 可取 1、2、3、4 四种值
1 C4 1 ; P(? ? 1) ? 4 ? 64 4 2 C 4 (2 4 ? 2) 21 ; P(? ? 2) ? ? 64 44

P(? ? 3) ?

3 2 3 C 4 C 4 A3 36 A4 6 ; P(? ? 4) ? 4 ? ? 4 4 64 64 4 4

故 ? 的分别列如下表:

?
P
∴ E? ?

1
1 64

2
21 64

3
36 64

4
6 64

1 21 36 6 175 ? 2? ? 3? ? 4? ? 64 64 64 64 64

23. 证明: (1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M . ………………………………2 分
1 1 (2) 当 0 ? a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥1 ) . 2 4 1 事实上,当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) , 2

则对 n ? k , ak ≤ ak ?1

2

?1? 1 1 ? a ≤? ? ? ? . ?2? 4 2
1 <2,所以 a∈M.…………………6 分 2

2

由归纳假设,对任意 n∈N*,|an|≤ (3) 当 a ?

1 时, a ? M .证明如下: 4

对于任意 n≥1 , an ? a ?

1 2 ,且 an ?1 ? an ? a . 4

1 1 1 2 对于任意 n≥1 , an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ≥ a ? , 2 4 4

则 an ?1 ? an ≥ a ?
第 13 页 共 14 页

1 . 4

1 所以, an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 4

当n ?

2?a 1 时, an ?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an?1 ? 2 ,因此 a ? M .10 分 1 4 a? 4

第 14 页 共 14 页


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