优化方案2016高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修4


§6 平面向量数量积的坐标表示 , ) 1.问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同? (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知,两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有 什么关系? 2.例题导读 P96 例 1.通过本例学习, 学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值. 试一试:教材 P99 练习 T1 你会吗? P98 例 2,P99 例 3.通过此二例学习,体会向量在解析几何中的应用,学会利用平面向量 的数量积求曲线的方程. 试一试:教材 P100 习题 2-6B 组 T6 你会吗? P99 例 4.通过本例学习,学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角. 试一试:教材 P100 习题 2-6A 组 T6 你会吗? 1.向量数量积的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于相应坐 标乘积的和.简记为“对应相乘计算和”. 2.两个向量垂直的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 3.度量公式 长度 2 2 2 2 2 向量 a=(x,y),则|a|= x +y 或|a| =x +y 公式 距离 → P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 公式 夹角 公式 非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 cos θ = = |a||b| x1x2+y1y2 2 2 x2 x2 1+y1· 2+y2 a·b 4.直线 l 的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量. 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,2).( ) (2) 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 向 量 a , b 的 夹 角 θ x1x2+y1y2 .( ) 2 2 x2 x2 1+y1 2+y2 满 足 cos θ = 1 → (3)若 A(1,0),B(0,-1),则|AB|= 2.( ) 1 解析:(1)错误.直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,- ). 2 (2)错误.当 a≠0 且 b≠0 时,向量 a,b 的夹角θ 满足 cos θ = x1x2+y1y2 ,即向 2 2 x +y1 x2 2+y2 2 1 量夹角公式的适用范围是 a≠0 且 b≠0. (3)正确.由两点间的距离公式,得 → 2 2 |AB|= (0-1) +(-1-0) = 2. 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知向量 a=(-4,7),向量 b=(5,2),则 a·b 的值是( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析:选 D.因为 a=(-4,7),b=(5,2),所以 a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+ 7×2=-20+14=-6. π 3.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m). 若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=( ) 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 解析:选 B.因为 a·b=(1, 3)·(3,m)=3+ 3m, π 2 2 2 2 又 a·b= 1 +( 3) × 3 +m ×cos ,

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