优化方案2016高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修4

§6 平面向量数量积的坐标表示 , ) 1.问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同? (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知,两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有 什么关系? 2.例题导读 P96 例 1.通过本例学习, 学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值. 试一试:教材 P99 练习 T1 你会吗? P98 例 2,P99 例 3.通过此二例学习,体会向量在解析几何中的应用,学会利用平面向量 的数量积求曲线的方程. 试一试:教材 P100 习题 2-6B 组 T6 你会吗? P99 例 4.通过本例学习,学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角. 试一试:教材 P100 习题 2-6A 组 T6 你会吗? 1.向量数量积的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于相应坐 标乘积的和.简记为“对应相乘计算和”. 2.两个向量垂直的坐标表示 向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 3.度量公式 长度 2 2 2 2 2 向量 a=(x,y),则|a|= x +y 或|a| =x +y 公式 距离 → P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),则|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 公式 夹角 公式 非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 cos θ = = |a||b| x1x2+y1y2 2 2 x2 x2 1+y1· 2+y2 a·b 4.直线 l 的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量. 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,2).( ) (2) 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 向 量 a , b 的 夹 角 θ x1x2+y1y2 .( ) 2 2 x2 x2 1+y1 2+y2 满 足 cos θ = 1 → (3)若 A(1,0),B(0,-1),则|AB|= 2.( ) 1 解析:(1)错误.直线 x+2y-1=0 的方向向量为(1,- ). 2 (2)错误.当 a≠0 且 b≠0 时,向量 a,b 的夹角θ 满足 cos θ = x1x2+y1y2 ,即向 2 2 x +y1 x2 2+y2 2 1 量夹角公式的适用范围是 a≠0 且 b≠0. (3)正确.由两点间的距离公式,得 → 2 2 |AB|= (0-1) +(-1-0) = 2. 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知向量 a=(-4,7),向量 b=(5,2),则 a·b 的值是( ) A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析:选 D.因为 a=(-4,7),b=(5,2),所以 a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+ 7×2=-20+14=-6. π 3.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m). 若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=( ) 6 A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 解析:选 B.因为 a·b=(1, 3)·(3,m)=3+ 3m, π 2 2 2 2 又 a·b= 1 +( 3) × 3 +m ×cos , 6 π 2 2 2 2 所以 3+ 3m= 1 +( 3) × 3 +m ×cos ,所以 m= 3. 6 1.对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明 (1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化,其将数与形紧密联系在一起,使向量的 运算方式得到拓展. (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度, 其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离, 如 a=(x, y), → → 则在平面直角坐标系中, 一定存在点 P(x, y),使得OP=a=(x,y),故|OP|=|a|= x2+y2, → → 即|a|为点 P 到原点的距离;同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),故|AB| 2 2 = (x2-x1) +(y2-y1) ,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量 的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 2.在不同表示形式下求向量夹角的策略 (1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求出 a·b,|a|和|b|或直接得出它 们之间的关系. x1x2+y1y2 (2)当 a,b 是坐标形式时,则可直接利用公式 cos θ = 2 (其中 a=(x1, 2 x1+y2 x2 1· 2+y2 y1),b=(x2,y2))求解. 3.如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角, 但必须注意两者的范围不同, 向量夹角的 ? π? 范围是[0,π ],而直线夹角的范围是?0, ?. 2? ? 设 m,n 分别为直线 l1,l2(l1 与 l2 不重合)的方向向量,θ 为 m 与 n 的夹角,α 为 l1 与 l2 所成的角,则 (1)当 θ =0°或 180°时,l1∥l2,此时 α =0°, 2 (2)当 0°<θ ≤90°时,l1 与 l2 所成的角 α =θ , (3)当 90°<θ <180°时,l1 与 l2 所成的角 α =180°-θ . 平面向量数量积的坐标运算 已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a·b; (2)(a+b)·(2a-b); (3)(a·b)c, a(b·c);(4)(a+b)2,(a+b)·(a-b). (链接教材 P98 例 1) [解] (1)a·b=(1,3)·(2

相关文档

优化方案2016高中数学 第二章 平面向量 5从力做的功到向量的数量积 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 6平面向量数量积的坐标表示 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 6平面向量数量积的坐标表示课件 新人教A版必修4
优化方案2016高中数学第二章平面向量章末优化总结新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 6平面向量数量积的坐标表示 训练案知能提升 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 5从力做的功到向量的数量积 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 5从力做的功到向量的数量积课件 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 5从力做的功到向量的数量积 训练案知能提升 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量章末优化总结 新人教A版必修4
【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 3.2平面向量基本定理 新人教A版必修4
电脑版