2015-2016学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置 上. 1.(★★★★)已知集合 A={x|x≥0},B={x|x<1},则 A∪B= R .

2.(★★★★)若 的值为 1 .

(k,a∈R)为幂函数,且 f(x)的图象过点(2,1) ,则 k+a

3.(★★★)已知直线 l 1:x+ay+6=0 和 l 2: (a-2)x+3y+2a=0,则 l 1∥l 2 的充要条件是 a= -1 .

4.(★★★★)若曲线

在 x=x 0 处的切线斜率为 0,则实数 x 0 的值为

e



5.(★★★★)已知函数

,则 f(1+log 23)=



6.(★★★)将函数 y=sinωx(ω>0)的图象向左平移

个单位,平移后

的图象如图所示,则平移后的图象所对应的函数的解析式是

y=sin(2x+ )



7.(★★★)已知等比数列{a n}的各均为正数,且 的通项公式为
n

,则数列{a n}

a

n

=



8.(★★★)下列说法中正确的个数为
2

2


2

①命题:“若 a<0,则 a ≥0”的否命题是“若 a≥0,则 a <0”; ②若复合命题“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件;

④命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题.

9.(★★★★)在锐角三角形 ABC 中,若 tanA,tanB,tanC 依次成等差数列,则 tanAtanC 的 值为 3 .

10.(★★★)正方形 ABCD 的中心为(3,0) ,AB 所在直线的方程为 x-2y+2=0,则正方形 ABCD 的外接圆的方程为
22

(x-3) +y =10

2

2



11.(★★★★)已知正实数 a,b 满足 9a +b =1,则

2

2

的最大值为



12.(★★★)如图,A,B,C 是直线上三点,P 是直线外一点,AB=BC=1,

∠APB=90o,∠BPC=30o,则

=



13.(★★)已知函数 f(x)= 两个零点,则 a 的取值范围是 {a|a<0 或 a>1}

若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有 .

14.(★★)已知数列{a n}满足

,设 -3 .

为均不等于 2 的且互不相等的常数) ,若数列{b n}为等比数列,则 λ?μ 的值为

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(★★★)在直角坐标系 xoy 中,不共线的四点 A,B,C,D 满足 , (1) 的坐标; ,求: ,且

(2)四边形 ABCD 的面积.

16.(★★★)设向量

=(2cosx,-2sinx) ,

=

,f(x)=

?



(1)求函数 f(x)的单调增区间和图象的对称中心坐标; (2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(C)=0,c=1,求 a+b 的取值 范围.

17.(★★★)如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截

取一个内接等腰梯形部件 ABCD,设梯形部件 ABCD 的面积为 y 平方米. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设 CD=2x(米) ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠BOC=θ(rad) ,将 y 表示成 θ 的函数关系式. (Ⅱ)求梯形部件 ABCD 面积 y 的最大值. 18.(★★★)已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上, 过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60o,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 的方程; (3)经过 A,P,M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经 过,请说明理由. 19.(★★)已知 a>0,f(x)=ax -2x+1+ln(x+1) ,l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0) ) 处的切线. (Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)若切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求 a 的值; (Ⅲ)证明对任意的 a=n(n∈N ) ,函数 y=f(x)总有单调递减区间,并求出 f(x)单调递减 区间的长度的取值范围. (区间 x 1,x 2 的长度=x 2-x 1) 20.(★★)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,数列{b n}是等比数列. (1)若 c n=(a
n+1 * 2 2 2

时,求直线 CD

-a n)b n(n∈N ) ,求证:{c n}为等比数列;
*

*

(2)设 c n=a nb n(n∈N ) ,其中 a n 是公差为 2 的整数项数列,b n=

,若 c 5>2c 4>

4c 3>8c 2>16c 1,且当 n≥17 时,{c n}是递减数列,求数列{a n}的通项公式; (3)若数列{c n}使得 是等比数列,数列{d n}的前 n 项和为 ,且数列{d n}满

足:对任意 n≥2,n∈N ,或者 d n=0 恒成立或者存在正常数 M,使

*

<|d n|<M 恒成立,求

证:数列{c n}为等差数列.


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