2012北京海淀高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)


海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学(文科)
2012.05 一、选择题:本大 题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)函数 y ? ? x ? 1, ? 1 ? x ? 2 的值域是
2

(A) (- 3, 0 ]

(B) (- 3,1]
1 2 x . 则?p 为

(C) [0,1]

(D) [1, 5)

(2)已知命题 p : ? x ? R , sin ? (A) ? x ? R , sin ? (C) ? x ? R , sin ?
2 ? 2

1 2 1 2

x x

(B) ? x ? R , sin ? (D) ? x ? R , sin ?

1 2 1 2

x x

(3) cos 15 - sin 15 的值为
1 2

?

(A)

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

6 2

(4)执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 10,则输出 的 x 值为 (A)4 (B)2 (C)1 (D)0

开始 输入 x 否
x> 2


x= 2
x

x = x- 2

输出 x 结束

(5)已知平面 ? , ? 和直线 m ,且 m ? ? ,则“ ? ∥ ? ”是“ m ∥ ? ”的 (A)充要条件 (C)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)为了得到函数 y =

1 2

lo g 2 ( x - 1) 的图象,可将函数 y = lo g 2 x 的图象上所有的点的
1

(A)纵坐标缩短到原来的 (B)纵坐标缩短到原来的

1 2 1 2

倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 (7)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正方 形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)
20 3

(B)

4 3

(C) 6

(D) 4

主视图

左视图

俯视图

(8)点 P ( x , y ) 是曲线 C : y =

1 x

( x > 0 ) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于

A , B 两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① P A = P B ;② ? OAB 的面积为定值;③曲线 C 上存在

两点 M , N ,使得 ? O M N 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

]

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)复数 z =
1+ i i
3

,则 z =
2 2

.

(10)已知双曲线

x a

-

y b

2 2

= 1 的渐近线方程是 y =

2 x ,那么此双曲线的离心率为

.

(11)在 ? A B C 中,若 ? A

120 , c = 6 , ? A B C 的面积为 9 3 ,则 a =
1 4

. 的概率是_________.

(12) 在面积为 1 的正方形 A B C D 内部随机取一点 P , ? P A B 的面积大于等于 则

(13)某同学为研究函数 f ( x ) =

1+ x +

2

1 + (1 - x ) (0 # x

2

1) 的性质,构造了如图所示的两个边长

为 1 的正方形 A B C D 和 B E F C , P 是边 B C 上的一个动点, C P = x , 点 设
D C P F

则 A P + P F = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知函数 f ( x ) 的极值点 是 ;函数 f ( x ) 的值域是

.
A B E

2

(14)已知定点 M (0, 2), N (- 2, 0) ,直线 l : kx - y - 2 k + 2 = 0 ( k 为常数). 若点 M , N 到直线 l 的距 离相 等,则实数 k 的 值是 是 . ;对于 l 上 任意一点 P , ? M P N 恒 为锐角,则 实数 k 的取值 范围

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 , S 5 = 4 a 3 + 6 ,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
1 Sn } 的前 n 项和公式.

(16) (本小题满分 13 分) 在一次“知识竞赛”活动中,有 A1 , A 2 , B , C 四道题,其中 A1 , A2 为难度相同的容易题,B 为中档题,
C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.

(Ⅰ)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率; (Ⅱ)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

(17)(本小题满分 14 分) 在正方体 A B C D ? A' B ' C ' D ' 中, 棱 A B , B B ', B ' C ', C ' D ' 的中 点分别是 E , F , G , H , 如图所示. (Ⅰ)求证: A D ' ∥平面 E F G ; (Ⅱ)求证: A ' C ^ 平面 E F G ; (Ⅲ)判断点 A , D ', H , F 是否共面? 并说明理由.
A A' M D' H G B' F D N E B C C'

(18)(本小题满分 13 分)
x?a x ? 3a
2 2

已知函数 f ( x ) ?

( a ? 0 , a ? R ).
3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若对任意 x1 , x 2 ? [ ? 3, ? ? ) ,有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? m 成立,求实数 m 的最小值.

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F (1, 0) ,且点 ( ? 1,

2 2

) 在椭圆 C 上.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 Q ( , 0 ) ,动直线 l 过点 F ,且直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,证明: Q A ? Q B 为定值.
4 5
??? ??? ? ?

(20) (本小题满分 14 分) 将一个正整数 n 表示为 a1 + a 2 + ? + a p ( p
N *) 的形式,其中 a i ? N * , i = 1, 2, ? , p , 且

a 1 ? a 2 ? ? ? a p ,记所有这样的表示法的种数为 f ( n ) (如 4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,

故 f ( 4 ) ? 5 ). (Ⅰ)写出 f ( 3 ), f ( 5 ) 的值,并说明理由; (Ⅱ)证明: f ( n + 1) - f ( n )
1 ( n = 1, 2, ? ) ;

(Ⅲ)对任意正整数 n ,比较 f ( n ? 1) 与 [ f ( n ) ? f ( n ? 2 )] 的大小,并给出证明.
2

1

4

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学(文科) 2012.05
(8) C

参考答案及评分标准
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) B (2) D (3) C (4) A (5) C (6) A (7) A

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9) 2
[ 5 , 2 + 1]

10) 5 (14) 1 或

(11) 6 3
1 3

(12)
1 7 ) ? (1, + )

1 2

(13)

1 2



; (- ? ,

注: (13)(14)题第一空3分;第二空2分. 、 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S 5 = 4 a 3 + 6 , 所以 5 a1 +
5 创4 2 d = 4 ( a1 + 2 d ) + 6 .

①??????????????3 分

因为 a1 , a 3 , a 9 成等比数列, 所以 a1 ( a1 + 8 d ) = ( a1 + 2 d ) 2 . ② ??????????????5 分

由①,②及 d ? 0 可得: a1 = 2, d = 2 . ??????????????6 分 所以 a n = 2 n . (Ⅱ)由 a n = 2 n 可知: S n =
(2 + 2n) 2 n
2

??????????????7 分
= n + n.

??????????????9 分 所以
1 Sn 1 S1 = 1 n ( n + 1) 1 S2 = 1 n 1 S n- 1 1 n+ 1 1 Sn

.

??????????????11 分

所以

+

+ ?+

+

=

1 1

-

1 2

+

1 2

-

1 3

+ ?+

1 n- 1

-

1 n

+

1 n

-

1 n+ 1

5

= 1-

1 n+ 1
1 Sn

=

n n+ 1

.

??????????????13 分

所以 数列 {

} 的前 n 项和为

n n+ 1

.

(16)(本小题满分 13 分)
( 解: 由题意可知, 乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题, 甲、 所有可能的结果有 16 个, 它们是: A1 , A1 ) , ( A1 , A2 ) ,( A1 , B ) ,( A1 , C ) ,( A2 , A1 ) ,( A 2 , A 2 ) ,( A 2 , B ) ,( A 2 , C ) ,( B , A1 ) ,( B , A 2 ) ,( B , B ) ,( B , C ) , ( C , A1 )
(C , C ) .



( C , A2 )



(C , B )



??????????????3 分

( ( (Ⅰ) M 表示事件 用 “甲、 乙两位同学所选的题目难度相同” 则 M 包含的基本事件有: A1 , A1 ) , A1 , A2 ) , , ( A2 , A1 ) , ( A 2 , A 2 ) , ( B , B ) , ( C , C ) . 所以 P ( M ) =
6 16 = 3 8

.

??????????????8 分 (Ⅱ)用 N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度” ,则 N 包含的基本事件有: ( B , A1 ) ,
( B , A 2 ) , ( C , A1 ) , ( C , A 2 ) , ( C , B ) . 所以 P ( N ) =
5 16

.

??????????????13 分 (17)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 B C ' . 在正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中, A B ? C ' D ' , A B ∥ C ' D ' . 所以 四边形 A B C ' D ' 是平行四边形. 所以 A D ' ∥ B C ' . D' 因为 F , G 分别是 B B ', B ' C ' 的中点, A' 所以 F G ∥ B C ' . FG 所 以 ∥
D A
AD '.

H G B'

C'

F C E B

??????????????2 分

因为 E F , A D ' 是异面直线, 所以 A D ' ? 平面 E F G . 因为 F G ? 平面 E F G ,
6

所以 A D ' ∥平面 E F G . ???????????????4 分 (Ⅱ)证明:连接 B ' C . 在正方 体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中, A ' B ' ^ 平面 B C C ' B ' , B C ' ? 平面 B C C ' B ' , 所以 A ' B ' ? B C ' . 在正方形 B C C ' B ' 中, B ' C ? B C ' , 因为
A'B '?

D'

H G B' F

C'

平 面 A ' B 'C , B 'C ?

平 面 A ' B 'C ,
A'

A ' B '? B ' C = B ' ,

所以 B C ' ? 平面 A ' B ' C . ??????????????6 分 因为
A ' C ? 平面 A ' B ' C ,

D A B

C E

所以 B C ' ? A ' C . ??????????????7 分 因为 F G ∥ B C ' , 所以 A ' C ? F G . 同理可证: A ' C ? E F . 因为 E F ? 平面 E F G , F G ? 平面 E F G , E F ? F G = F , 所以 A ' C ^ 平面 E F G . (Ⅲ)点 A , D ', H , F 不共面. 理由如下: 假设 A , D ', H , F 共面. 连接 C ' F , A F , H F .
D'

??????????????9 分 ??????????????10 分

H G B' F

由(Ⅰ)知, A D ' ∥ B C ' , 因为 B C ' ? 平面 B C C ' B ' , A D ' ? 平面 B C C ' B ' . 所以 A D ' ∥平面 B C C ' B ' . ??????????????12 分 因为 C ' ? D ' H , 所以 平面 A D ' H F ? 平面 B C C ' B ' ? C ' F . 因为 A D ' ? 平面 A D ' H F , 所以 A D ' ∥ C ' F . 所以 C ' F ∥ B C ' ,而 C ' F 与 B C ' 相交,矛盾. 所以 点 A , D ', H , F 不共面. (18)(本小题满分 13 分) 解: f '( x ) ?
? ( x ? a )( x ? 3 a ) ( x ? 3a )
2 2 2

C'

A'

D A B

C E

??????????????14 分

.

令 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ? 3 a .

??????????????2 分

(Ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表
7

x
f '( x ) f (x)

(?? , ? 3a )

? 3a

(? 3a , a )

a
0

(a, ?? )

?

0

?

?



极小值



极大值



函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ? 3a ,a ), 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ( ? ? , ? 3 ), ( a , ? ? ) . a ??????????????4 分 当 a ? 0 时, f '( x ) , f ( x ) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x ) f (x)

(?? , a )

a
0

(a , ?3a )

? 3a
0

(?3a , ?? )

?

?

?



极小值



极大值



函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (a , ?3a ) , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 (?? , a ) ,
(?3a , ?? ) .

??????????????6 分

(Ⅱ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)得 f ( x ) 是 ( ? 3,1) 上的增函数,是 (1, ? ? ) 上的减函数. 又当 x ? 1 时, f ( x ) ?
x ?1 x ?3
2

?0.

??????????????8 分
1 6 2 3 2 3

所以 f ( x ) 在 [ ? 3, ? ? ) 上的最小值为 f ( ? 3) ? ?

,最大值为 f (1) ?

1 2

.

??????????????10 分 所以 对任意 x1 , x 2 ? [ ? 3, ? ? ) , f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f (1) ? f ( ? 3) ? . .

所以 对任意 x1 , x 2 ? [ ? 3, ? ? ) ,使 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? m 恒成立的实数 m 的最小值为

??????????????13 分

(19) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: 由题意知: c = 1 . 根据椭圆的定义得: 2 a =
( - 1 - 1) + (
2

2 2

) +

2

2 2

,即 a =

2 .

??????????????3 分
8

所以 b 2 = 2 - 1 = 1 .
x
2

所以 椭圆 C 的标准方程为

? y ?1.
2

??????????????4 分

2

(Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率为 0 时 , A ( 2 , 0 ), B ( ? 2 , 0 ) . 则 QA ?QB ? ( 2 ?
??? ??? ? ? 5 4 , 0) ? (? 2 ? 5 4 , 0) ? ? 7 16

.

??????????????6 分 当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为: x = ty + 1 , A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
ì x2 ? 2 ? + y = 1, 2 2 ? 由í 2 可得: ( t + 2 ) y + 2 ty - 1 = 0 . ? ? x = ty + 1 ? ?

显然 ? > 0 .
ì 2t ? ? y1 + y 2 = , ? 2 ? t + 2 ? í ? 1 ? y y = . ? 1 2 2 ? t + 2 ? ?

??????????????9 分

因为 x1 = ty1 + 1 , x 2 = ty 2 + 1 , 所以 ( x1 5 4 , y 1 ) ?( x 2 5 4 , y 2 ) = ( ty 1 2

1 4

)( ty 2 -

1 4 1 4

) + y1 y 2 1 16

= ( t + 1) y 1 y 2 -

t ( y1 + y 2 ) +

= - ( t + 1)

2

1 t + 2
2

+

1

t

2t
2

+

1 16

4 t + 2

=
??? ??? ? ? 7 16

- 2t - 2 + t 2 (t + 2 )
2

2

2

+

1 16

= -

7 16

.

即 QA ?QB ? ?

.

??????????????13 分

(20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 3=3 ,3=1+2,3=1+1+1,所以 f ( 3 ) ? 3 . 因为 5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1, 所以 f ( 5 ) ? 7 . ??????????????3 分

(Ⅱ)证明:因为 n ? 1 ? 2 ,把 n ? 1 的一个表示法中 a 1 = 1 的 a 1 去掉,就可得到一个 n 的表示法;
9

反之,在 n 的一个表示法前面添加一个“1+” ,就得到一个 n + 1 的表示法,即 n ? 1 的表示法中 a 1 = 1 的表 示法种数等于 n 的表示法种数, 所以 f ( n ? 1) ? f ( n ) 表示的是 n ? 1 的表示法中 a 1 ? 1 的表示法数. 即 f ( n + 1) - f ( n )
1.

??????????????8 分
[ f ( n ) ? f ( n ? 2 )] .

(Ⅲ)结论是 f ( n ? 1) ?

1 2

证明如下:由结论知,只需证 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1). 由(Ⅱ)知: f ( n ? 1) ? f ( n ) 表示的是 n ? 1 的表示法中 a 1 ? 1 的表示法数, f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) 是
n ? 2 的表示法中 a 1 ? 1 的表示法数.

考虑到 n ? 1 ? 2 ,把一个 a 1 ? 1 的 n ? 1 的表示法中的 a p 加上 1,就可变为一个 a 1 ? 1 的 n ? 2 的表 示法,这样就构造了从 a 1 ? 1 的 n ? 1 的表示法到 a 1 ? 1 的 n ? 2 的表示法的一个对应,所以有
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1).

??????????????14 分

10


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