1.4.3正切函数的性质与图象(两个课时)

1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ?k ? , , z ?

? ? ? t a n x ? ? ? ? t a x? x R , ? ? k n ? 且 x ? ? 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 无穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

? k ? Z ? 所隔开的

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

??? ?k ? z ?, x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

?

2 (3)周期性: T ? ? ;

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ? k? 时, tan x ? ?? 。

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

(5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ? 2 ? 2 ? 5.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

? 2? ? 13? ? ? 17? ? , ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
? 2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

又: 0 ?

?
4

? tan

?
4

? tan

王新敞
奎屯

新疆

例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质 4?

王新敞
奎屯

新疆

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数 4 4?

王新敞
奎屯

新疆

图象:可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 例 3 求函数 y=tan2x 的定义域 解:由 2x≠kπ+
王新敞
奎屯 新疆

? 单位 4

王新敞
奎屯

新疆

? ,(k∈ Z) 2 k? ? 得 x≠ + ,(k∈ Z) 2 4
∴ =tan2x 的定义域为: x|x∈ 且 x≠ y { R

k? ? + ,k∈ Z} 2 4

例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 为:0<x<

? 2

? ? , )上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围 2 2
? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+ )(k∈ Z) 2 2
王新敞
奎屯 新疆

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵ 90°<135°<138°<270° 又∵ =tanx 在 x∈ y (90°,270°)上是增函数

∴ tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象 解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠ 即 x≠

王新敞
奎屯

新疆

?
2

+kπ,k∈ Z

?
4



k? ,k∈ Z 2

∴ 函数 y=tan2x 的定义域为{x∈ R|,x≠ (2)设t=2x,由 x≠

?
4

?

k? ,k∈ Z} 2

?
4

?

k? ? ,k∈ Z}知t≠ + 2 2

kπ,k∈ Z
∴ y=tant的值域为(-∞,+∞) 即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞) (3)由 tan2(x+

?
2

)=tan(2x+π)=tan2x

∴ y=tan2x 的周期为

?
2



(4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 讨 论函 数的单 调性 应借助 图象 或相关 的函 数的单 调性 ;形如 y = tan(ωx) ,

x≠

k?

?

?

? ? (k∈ Z)的周期 T= ;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

五、课后作业: 六、板书设计:

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(2)
教学目的: 知识目标:熟练掌握正切函数的图象和性质,并能用之解题; 能力目标:渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:正切函数的图象和性质的运用。 教学难点:灵活应用正切函数的性质解决相关问题. 授课类型:新授课

教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.作正切曲线的简图,说明正切曲线的特征。 2.回忆正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 二、讲解新课: 例 1:求下列函数的周期:

? 5? ?? ? (2) y ? tan ? 3x ? ? 6? ?

(1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??

答: T ? ? 。 答: T ?

?
3



说明:函数 y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的周期 T ? 例 2:求函数 y ? tan? 3x ?

? . ?

? ?

??
?

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性,并说 3?
得x ?

明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

k? 5? ? , 3 2 3 18 ? k? 5? ? ? ∴所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? ? , k ? z ? ,值域为 R,周期 T ? ,是非奇非偶 3 3 18 ? ? ? k? ? k? 5? ? 函数,在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?
解:由 3 x ?

?

? k? ?

将 y ? tan x 图象向右平移

? ?? ? 个单位,得到 y ? tan ? x ? ? 的图象;再将 3 3? ? 1 ?? ? ,就得到函数 y ? tan ? x ? ? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 3 3? ? ?? ? y ? tan? 3x ? ? 的图象。 3? ?
tan x ? 3 的定义域。

例 3:用图象求函数 y ?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 , 利用图象知,所求定义域为 ? k? ? 亦可利用单位圆求解。

? ?

?
3

, k? ?

??

??k ? Z ? , 2?

y y

3
0

T

3
x
0 ? ?

A

x

3 2

三、巩固与练习 t 1. a x ? ”是“ x ? 0 ”的 既不充分也不必要 条件。 “n 0 2.与函数 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( D ) 4?

? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?

?
8

3.函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 2 4? ?
?
? , k ? Z ? 的值域是 2 ? ?3 ? ? ? 4 , ?? ? . ?

4.函数 y ? tan x ? tan x ? 1? x ? k? ?
2

? ?

5.函数 y ? tan x ? cot x 的奇偶性是 奇函数 ,周期是 四、小 结:本节课学习了以下内容: 正切函数的性质。 五、课后作业: 以下函数中,不是奇函数的是( ) .. A.y=sinx+tanx B.y=xtanx-1 C.y= 3.下列命题中正确的是( ) A.y=cosx 在第二象限是减函数 C.y=|cos(2x+ 六、板书设计:

? . 2

sin x ? tan x 1 ? cos x

D.y=lg

? tan x 1 ? tan x

B.y=tanx 在定义域内是增函数

?
3

)|的周期是

?
2

D.y=sin|x|是周期为 2π 的偶函数


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