高中数学讲义:解析几何-椭圆(解析版)

高中数学讲义之解析几何 圆锥曲线第 1 讲 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 2a ( 椭圆 2a ? F1 F2 )的点的轨迹叫椭圆,这 两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注 1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作 2a )大于这两个定点之 间的距离 F1 F2 (记作 2c ) ,否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是椭圆; 1F2 ; (ⅱ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是线段 F (ⅲ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹不存在。 注 2 :若用 M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 MF1 ? MF2 ? 2a ( 2a ? 2c , F1 F2 ? 2c ) ,即 MF1 ? MF2 ? F1 F2 . 注 3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条 件: MF1 ? MF2 ? 2a 千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹叫做 椭圆。 二、椭圆的标准方程 x2 y2 ? 2 ?1 2 b (1)焦点在 x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a (a ?b ? 0 ) ; y2 x2 ? 2 ?1 2 y b (2)焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a ( a ? b ? 0 ). 1 高中数学讲义之解析几何 注 1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在 x 轴还是在 轴,主要看长半轴跟 谁走。长半轴跟 x 走,椭圆的焦点在 x 轴;长半轴跟 走,椭圆的焦点在 轴。 (1)注 2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 y y y x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 其方程为 a ( a ? b ? 0 )或 a (a ?b?0) ;若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在 x 轴上还是 y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ). 三、椭圆的性质 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 以标准方程 a (a ?b ? 0 ) 为例, 其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 ?b ? y ? b ; (1)范围: ? a ? x ? a , (2)对称性:关于 x 轴、 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; 1 (?a,0) , A2 (a,0) ;上下顶点分别为 B 1 (0, b) , B2 (0,?b) ; (3)顶点:左右顶点分别为 A y (4)长轴长为 2a ,短轴长为 2b ,焦距为 2c ; (5)长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 a ? b ? c ; 2 2 2 x?? (6)准线方程: a2 c ; b2 (7)焦准距: c ; e? (8)离心率: c a 且 0 ? e ? 1 . e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁; x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 为椭圆 a 2 b 2 (9)焦半径:若 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义, 有 PF1 ? a ? ex 0 , PF2 ? a ? ex 0 ; 2 高中数学讲义之解析几何 b2 (10)通径长: a . 2 注 1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点 F2 (c,0) 和右 准线 l : x? a2 a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? c 为例,可求得其焦准距为 c c c . 注 2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。 椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。 通径是椭圆的所有焦点弦中最 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 短的弦。设椭圆的方程为 a (a ?b ?0 ) ,过其焦点 F2 (c,0) 且垂直于 x 轴的直线 b2 b2 A( c , ) B ( c , ? ) a , a ,于是该 交该双曲线于 A 、 B 两点(不妨令点 A 在 x 轴的上方) ,则 AB ? 椭圆的通径长为 b2 b2 b2 ? (? ) ? 2 a a a . 四、关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征, 并给出了“特征值” (指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合 c ? a ? b , 2 2 2 我们可以确定出 a 、 b 、 c 的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当 题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到 a 、 b 、 c 的值。 (2)椭圆的标准方程中的参数 a 、b 、c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关;a 、b 、 2 2 2 c 三者之间的关系: c ? a ? b 必须牢固掌握。 (3)求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 a 、 b 。根据题目已知 条件,我们列出以 a 、 b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出 a 、 b 的值。特别需要 注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在 x 轴或 轴上,则以 a 、b 为未知参数的方程组 只有一个解,即 a 、 b 只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以 a 、 b 为未 y 3 高中数学讲义之解析几何 知参数的方程组应有两个解,即 a 、 b 应有两个值。 (4)有时为方便解题, 中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 mx ? ny ? 1 , 但此时 m 、 2 2 n 必

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