高中数学讲义:解析几何-椭圆(解析版)


高中数学讲义之解析几何 圆锥曲线第 1 讲 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 2a ( 椭圆 2a ? F1 F2 )的点的轨迹叫椭圆,这 两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注 1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作 2a )大于这两个定点之 间的距离 F1 F2 (记作 2c ) ,否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是椭圆; 1F2 ; (ⅱ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是线段 F (ⅲ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹不存在。 注 2 :若用 M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 MF1 ? MF2 ? 2a ( 2a ? 2c , F1 F2 ? 2c ) ,即 MF1 ? MF2 ? F1 F2 . 注 3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条 件: MF1 ? MF2 ? 2a 千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹叫做 椭圆。 二、椭圆的标准方程 x2 y2 ? 2 ?1 2 b (1)焦点在 x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a (a ?b ? 0 ) ; y2 x2 ? 2 ?1 2 y b (2)焦点在 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a ( a ? b ? 0 ). 1 高中数学讲义之解析几何 注 1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在 x 轴还是在 轴,主要看长半轴跟 谁走。长半轴跟 x 走,椭圆的焦点在 x 轴;长半轴跟 走,椭圆的焦点在 轴。 (1)注 2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 y y y x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 其方程为 a ( a ? b ? 0 )或 a (a ?b?0) ;若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在 x 轴上还是 y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ). 三、椭圆的性质 x2 y2 ? 2 ?1 2 b 以标准方程 a (a ?b ? 0 ) 为例, 其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 ?b ? y ? b ; (1)范围: ? a ? x ? a , (2)对称性:关于 x 轴、 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; 1 (?a,0) , A2 (a,0) ;上下顶点分别为 B 1 (0, b) , B2 (0,?b) ; (3)顶点:左右顶点分别为 A y (4)长轴长为 2a ,短轴长为 2b ,焦距为 2c ; (5)长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 a ? b ? c ; 2 2 2 x?? (6)准线方程: a2 c ; b2 (7)焦准距: c ; e? (8)离心率: c a 且 0 ? e ? 1 . e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁; x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 为椭圆 a 2 b 2 (9)焦半径:若 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义, 有 PF1 ? a ? ex 0 , PF2 ? a ? ex 0 ; 2 高中数学讲义之解析几何 b2

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