课时提升作业(一) 1.1.1

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课时提升作业(一)
集合的含义

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·重庆高一检测)已知集合 A 由 x<1 的数组成,则有( A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1?A )

【解析】选 C.很明显 3,1 不满足不等式,而 0,-1 满足不等式.故选 C. 【变式训练】 已知集合 A 为大于 A.2∈A 且 3∈A C.2?A 且 3∈A 【解析】选 C.因为 2< 的数构成的集合,则下列说法正确的是( )

B.2∈A 且 3?A D.2?A 且 3?A <3,所以根据元素与集合的关系可知选 C. )

2.(2014·桂林高一检测)考察下列每组对象,能组成一个集合的是( ①某校高一年级成绩优秀的同学; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的自然数; ④2013 年太平洋保险公司的投保人数. A.③④ B.②③④ C.②③
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D.②④

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【解析】选 B.①中“成绩优秀”没有明确的标准,所以不能组成一个集合.②③ ④中的对象都满足确定性,所以能组成集合. 3.(2014·亳州高一检测)已知集合 A 中含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A,有 6-a ∈A,那么 a 为( A.2 ) C.4 D.6

B.2 或 4

【解析】 选 B.若 a=2,则 6-2=4∈A;若 a=4,则 6-4=2∈A;若 a=6,则 6-6=0?A.故选 B. 4.已知 2a∈A,a2-a∈A,若 A 只含这 2 个元素,则下列说法中正确的是( A.a 可取全体实数 B.a 可取除去 0 以外的所有实数 C.a 可取除去 3 以外的所有实数 D.a 可取除去 0 和 3 以外的所有实数 【解析】选 D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得 a≠0 且 a≠3,故选 D. 5.由实数 x,-x,|x|, A.2 个元素 C.4 个元素 ,所组成的集合,最多含( ) )

B.3 个元素 D.5 个元素

【解题指南】应分 x>0,x=0,x<0 三种情况讨论,然后结合元素的特性判断. 【解析】选 A. =|x|,=-x.

当 x=0 时,它们均为 0;当 x>0 时,它们分别为 x,-x,x,x,-x; 当 x<0 时,它们分别为 x,-x,-x,-x,-x. 通过以上分析,它们最多表示两个不同的数,故集合中元素最多有 2 个. 6.(2014·宿州高一检测)集合 A 中的元素 y 满足 y∈N 且 y=-x2+1,若 t∈A,则 t
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的值为( A.0

) B.1 C.0 或 1 D.小于等于 1

【解析】选 C.因为 y=-x2+1≤1,且 y∈N,所以 y 的值为 0,1. 又 t∈A,则 t 的值为 0 或 1. 【误区警示】解题过程中要特别注意 y∈N 这个条件,否则极易错选为 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·南京高一检测)已知集合 A 中的元素 x∈R 且满足条件 ax2+x+2=0,若 A 中至少有一个元素,则 a 的取值范围是 .

【解析】当 a=0 时,A 含有一个元素-2,符合题意; 当 a≠0 时,则Δ≥0,即 1-8a≥0,解得 a≤ 且 a≠0. 综上可知,a 的取值范围是 a≤ . 答案:a≤ 8.下列四种说法正确的是 (1)若 a∈N*,b∈N*,则 a-b∈N. (2)若 x∈N*,则 x∈R. (3)若 x∈R,则 x∈N*. (4)若 x≤0,则 x?N. 【解析】对于(1),当 a=2,b=3 时,a-b=-1?N,故(1)错误;对于(3),x= ∈R,但 ?N*, 故(3)错误;对于(4),当 x=0 时,有 x∈N,故(4)错误. 答案:(2) 【变式训练】对于自然数集 N,若 a∈N,b∈N,则 a+b N,ab N. .

【解析】由于 a,b 都是自然数,故 a+b 是自然数,ab 是自然数.
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答案:∈ ∈ 9.(2014·济南高一检测)设 是由方程 x2-ax- =0 的根构成集合的元素,则由方程 x2- x-a=0 的根构成集合的所有元素的积为 【解析】由题意知 式Δ= -4× = .

- a- =0,解得:a=- ,当 a=- 时,方程 x2- x+ =0 的判别 >0,所以由方程 x2- x-a=0 的根构成集合的所有元素的

积为方程的两根之积等于 . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·淮北高一检测)设集合 B 中的元素 a 满足:当 a∈N 时, (1)试判断元素 1,2,3 与集合 B 的关系. (2)写出集合 B 的所有元素. 【解析】(1)当 a=1 时, 当 a=2 时, 当 a=3 时, = ?N. = ?N. =2∈N. ∈N.

所以 1∈B,2?B,3?B. (2)当 a=0 时, =3∈N. 当 a=4 时, 当 a=5 时, =1∈N. = ?N.

综合(1)(2)可得 B 中的元素有 0,1,4. 11.(2014· 海淀高一检测)已知集合 A 由元素 a-3,2a-1,a2-4 组成,且-3∈A,求实 数 a 的值. 【解题指南】由-3∈A,可得 a-3=-3 或 2a-1=-3 或 a2-4=-3,得出的 a 值应满足元
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素的互异性. 【解析】因为-3∈A, 所以 a-3=-3 或 2a-1=-3 或 a2-4=-3. 若 a-3=-3, 则 a=0,此时集合 A 的元素有-3,-1,-4,符合题意. 若 2a-1=-3,则 a=-1,此时集合 A 的元素有-4,-3,-3, 不满足集合中元素的互异性. 若 a2-4=-3,则 a=1 或 a=-1(舍去), 当 a=1 时,集合 A 的元素有-2,1,-3,符合题意. 综上可知,a=0 或 a=1.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.由 a,a,b,b,a2,b2 组成集合 A,则集合 A 中的元素最多有( A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 )

【解析】选 C.根据集合中元素的互异性可知,集合 A 中的元素最多有 4 个,故选 C. 2.(2014·安康高一检测)满足“a∈A 且 4-a∈A”,a∈N 且 4-a∈N 的有且只有 2 个元素的集合 A 的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】选 C.因为 a∈N,4-a∈N,a∈A 且 4-a∈A,且 A 中只含 2 个元素,所以集 合 A 中元素可能为 0,4 或 1,3,共 2 个.
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3.(2014·广州高一检测)集合 A 的元素 y 满足 y=x2+1,集合 B 的元素(x,y)满足 y=x2+1(A,B 中 x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( A.2∈A,且 2∈B C.2∈A,且(3,10)∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B D.(3,10)∈A,且 2∈B )

【解析】 选 C.集合 A 中元素 y 是实数,不是点,故选项 B,D 不对.集合 B 的元素(x,y) 是点而不是实数,2∈B 不正确,所以 A 错.故选 C. 4.若集合 A 有元素 2,3,a2+2a-3,集合 B 有元素 a+3,2,若 5∈A,且 5?B,则实数 a 的值为( A.2 或-4 ) B.-4 C.-2 D.4

【解析】选 B.因为 5∈A,且 5?B. 所以 即

所以 a=-4.检验 a=-4 满足题意. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014 ·宝鸡高一检测 ) 方程 1+x-2=0 的全体实数解组成的集合元素的个数 为 .

【解题指南】根据负指数幂的计算法则,对方程 1+x-2=0 进行化简,再根据平方的 性质进行求解. 【解析】由方程 1+x-2=0(x≠0), 所以 1+ =0,因为 >0, 所以 1+ >1,不可能等于 0, 所以方程 1+x-2=0 无实数解, 方程 1+x-2=0 的全体实数解组成集合的元素个数为 0.
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答案:0 6.(2014·青岛高一检测)已知集合 P 是由大于 2 且小于 a 的自然数构成,且 P 中 恰有 3 个元素,则整数 a= .

【解析】用数轴分析可知 a=6 时,集合 P 中恰有 3 个元素 3,4,5. 答案:6 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.设集合 A 中的元素是实数,且满足 1?A,且若 a∈A,则 (1)若 2∈A,写出集合 A 中的元素. (2)集合 A 能否只有一个元素?若能,求之;若不能,请说明理由. 【解析】(1)因为 2∈A,所以 所以 所以 = ∈A, =2, = =-1∈A, ∈A.

再求下去仍然只得到 2,-1, 这三个数, 所以集合 A 中的元素只有三个:-1, ,2. (2)因为若 a∈A,则 则必有 a= ,a-a2=1, ∈A,若集合 A 只有一个元素,

即 a2-a+1=0,此方程无解, 所以 a= 不成立,

即集合 A 不可能只有一个元素. 【拓展延伸】巧用元素的特征解题 在分析这类问题时要注意:(1)解决问题时要充分注意集合中元素的性质 ,特别 是互异性和无序性 .(2)用分类讨论的思想解决问题时 ,一定要按合理的方法进
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行分类,考虑到所有的情况 ,做到不重不漏 ,在较复杂的问题中抓住特殊元素往 往能起到事半功倍的效果. 8.(2014·濮阳高一检测)集合 A 中的元素 a 满足 a=3n+1,n∈Z;集合 B 中的元素 b 满足 b=3n+2,n∈Z;集合 C 中的元素 c 满足 c=6n+3,n∈Z. (1)若 c∈C,问是否存在 a∈A,b∈B,使 c=a+b. (2)对于任意 a∈A,b∈B,是否一定有 a+b∈C?并证明你的结论. 【解析】(1)令 c=6m+3, 则 c=3m+1+3m+2(m∈Z), 令 a=3m+1,b=3m+2,则 c=a+b. 故若 c∈C,一定存在 a∈A,b∈B,使 c=a+b 成立. (2)一定有 a+b∈C. 证明如下:设 a=3m+1,b=3n+2,m,n∈Z, 则 a+b=3(m+n)+3. 因为 m,n∈Z,所以 m+n∈Z, 不妨设 m+n=k, 则 a+b=3k+3 在 C 内.

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